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河北省黄骅中学2016-2017学年高二上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案


黄骅中学 2016-2017 年度高中二年级第一学期第三次月考

数学试卷(理科)
命题人: 审定人:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(客观题

共 60 分)

注意事项:答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相 应位置和涂在答题卡上;不能将题直接答在试卷上。

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.“吸烟有害健康” ,那么吸烟与健康之间存在什么关系( A. 正相关 B. 负相关 C. 无相关 D. 不确定 ) )

2.向量 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若 a 与 b 共线,则( A.x=1,y=1 1 3 C.x= ,y=- 6 2 1 1 B.x= ,y=- 2 2 1 2 D.x=- ,y= 6 3

3. a ? ?6 是直线 l1 : ax ? ?1 ? a ?y ? 3 ? 0 和直线 l 2 : ?a ? 1?x ? 2?a ? 3?y ? 2 ? 0 垂直的 ( ) B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件

A. 充分不必要条件 C.充要条件

4.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A.a=4 B.a=5 C.a=6 ( C.2 )

9 ,则 ( 5

)

D.a=7

5.将 389 化成四进位制数的末位是 A.0 B.1

D.3

D、 3

6. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别 ( ). 1 2 3 4 2 0 0 1 4 3 5 6 1 1 2

A.23 与 26 B.31 与 26 C.24 与 30

D.26 与 30

7.一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形的边上爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的 三 个顶点的距离均超过 1 的概率为( A. ) D.

3 4

B.

2 3

C.

1 3

1 2

8.实验测得四组 线方程为( A.

? x , y ? 的值为 ?1, 2 ? ,? 2,3? ,? 3, 4 ? ,? 4,5 ? ,则 x 与 y 之间的回归直
B.



y ? x ?1

y? x?2

C.

y ? 2x ? 1

D.

y ? x ?1

9.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 ( ) C.有无穷多条 D.不存在

B.有且仅有两条

10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 ( A. )

6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5
2

11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(1)= ( A.-1 B.-2 C.1 D.2

)

12.已知 F1,F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的 a2 b2
)

|PF1|2 任意一点,若 的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( |PF2|
A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1, 3] D.(1,3]

第Ⅱ卷(共 90

分)

注意事项:第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
得分 阅卷人

13.命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为

a

b



x2 2 14.已知 F1、F2 是椭圆 +y =1 的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2|的最 4
大值是 15. .
4

?

0

(| x ? 1 | ? | x ? 3 |)dx ? ____________.

16.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是_________.

三、解答题(共 70 分)
17.(10 分) 已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ,q: x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不 3

充分条件,求实数 m 的取值范围.

18.(12 分) 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为 a , b . (Ⅰ)求直线 ax ? by ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 1 相切的概率;
2 2

(Ⅱ)将 a, b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.

19、 (12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,

PD⊥底面 ABCD.
(1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

得分

阅卷人

20. (12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时 取得极值.

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

21. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) . (1)求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA ? OB ? 2(其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

22、 (12 分)已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间;

x . x ?1

(2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

b . a

参考答案
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.D 13.若 a ? b ,则 2 ? 2 ?1 .
a b

14. 4

15. 10

16. 2 5

17.解:由 p: 1 ?
2

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3

q ?x ? 1? ? m 2 ?m? 0? 1 ? m ? x ? 1 ? m. ?p : x ? 10 x ? ?2, ?p : x ? 1 ? m x ? 1 ? m, ?p ?q , ?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 ? ?1 ? m ? ?2 m ? 9. ? ? ? ? ? ? ? 10'
18.解: (Ⅰ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. 因为直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 相切,所以有
2 2

5 a ?b
2 2

? 1 即:a2+b2=25,由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6}.

所以,满足条件的情况只有 a=3,b=4;或 a=4,b=3 两种情况. 所以,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相切的概率是
2 2

2 1 ? 36 18

--------6 分

(Ⅱ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. 因为,三角形的一边长为 5 所以,当 a=1 时,b=5, (1,5,5) 当 a=2 时,b=5, (2,5,5) 当 a=3 时,b=3,5, (3,3,5) , (3,5,5) 当 a=4 时,b=4,5, (4,4,5) , (4,5,5) 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6, (5,1,5) , (5,2,5) , (5,3,5) , (5,4,5) , (5,5,5) , (5,6,5) 当 a=6 时,b=5,6, (6,5,5) , (6,6,5) 故满足条件的不同情况共有 14 种. 6种 2种 1种 2种 2种 1种

所以,三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为

14 7 ? . 36 18

----------- 12 分

19.证明:(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)解 如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射 线 DA 为 x 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0), --------4 分
2 2 2

P(0,0,1).



AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0,0).
→ ? ?n·AB=0, ?-x+ 3y=0, 则? 即? → ? ?n·PB=0. ? 3y-z=0. 因此可取 n=( 3,1, 3). → ? ?m·PB=0, 设平面 PBC 的法向量为 m,则? → ? ?m·BC=0. -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3).cos〈m,n〉= =- . 7 2 7 2 7 故二面角 A?PB?C 的余弦值为- . 7 20..解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6x ? 6ax ? 3b ,
2





----------12 分

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
-----------4 分
3 2

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0,

当 x ? (1 , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,
---------12 分

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) .

21.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

--------4 分

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 即k ?
2

2 ? ?1 ? 3k ? 0, 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


1 3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? k 2 ? 3. ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1,?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

-----------12 分

22.解: (1) f ( x) ?

x ( x ? 1) 2
'

当 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 .
'

所以, f ( x) 的单调递增区间(-1,0) ,单调递减区间 (1,??) .

--------------4 分

f (1) ? ln 2 ?
(2)

1 1 f ' (1) ? 2, 4,

y?
切线方程为

1 3 x ? ln 2 ? 4 4.
b . a

--------------8 分

(3)证明:要证对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

ln
只需证

b b ? ?1 ? 0 a a f ' ( x) ? 1? x x
'

设 f ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,则
'

当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 . 所以, f ( x) ? f (1) ? 0 ,结论得证. ----------12 分


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