当前位置:首页 >> 数学 >>

等差等比数列知识点总结


等差等比数列知识点总结

1.等差数列: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数 d ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 d 叫做等差数列的公差,即 (n ? 2) ;. an ? an?1 ? d (d 为常数) 2.等差中项: (1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? 或 2A ? a ? b ( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列
a?b 2

?an ?











? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2
3.等差数列的通项公式: 一般地,如果等差数列 ?an ?的首项是 a1 ,公差是 d ,可以得到等差数列的通 项公式为:

an ? a1 ? ?n ? 1?d
推广: an ? am ? (n ? m)d . 4.等差数列的前 n 项和公式:
Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

从而 d ?

an ? am ; n?m

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法: 若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? (2) 等差中项:数列 ?an ? 是等差数列

?an ? 是等差数列.

? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 .
(3) 数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。 (4) 数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ?

?an ? 是等差数列.

7.等差数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2a p .
(2) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列 (3)设数列 ?an ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的 和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,
S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ? n ? a1 ? a2 n?1 ? ? nan 2

n ? a2 ? a2 n ? ? nan ?1 2

S偶 ? S奇 ? nan?1 ? nan ? n ? an?1 ? an ? =nd
S奇 nan a ? ? n S偶 nan ?1 an ?1

2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则
? S2 n ?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ? S n ?1 ? ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? ? ? S偶 ? nan+1 ?

(其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) . 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ?

3、等比中项: (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个 等比中项互为相反数)

(2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为 1? q 1? q

常数) 5、等比数列的判定方法: (1) 用定义: 对任意的 n , 都有 an?1 ? qan或 为等比数列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质: (1)若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

(2)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (3)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (4)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时,

S奇 1 ? S偶 q

随堂练习 一、选择题 1. 2005 是数列 7,13,19, 25,31, A. 332
, 中的第(

)项. D. 335 ) )

B. 333 C. 334 3.等差数列 ?3, ?7, ?11, , 的一个通项公式为( A. 4n ? 7 B. ?4n ? 7 C. 4n ? 1

D. ?4n ? 1 7.记等差数列的前 n 项和为 s n ,若 S2 ? 4 , S4 ? 20 ,则该数列的公差d=( A.2 B.3 C.6 D.7 10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 S7=14,则 a3 ? a5 的值为( ) A.2 B.4 C.7 D.8
a11 ?( a7

1. 已知等比数列 {an } 中 an?1 ? an ,且 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则 A.
1 2



B.

2 3

C.

3 2

D. 2
2

2.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = ( A.
1 2

)

B.

2 2

C.

2

D.2 ) D .? 2
2 ? an ?(

3. 在等比数列 {an } 中, a5 ? ?16, a8 ? 8, 则 a11 ? ( A. ? 4 B. ? 4

C. ? 2

2 2 10. 若 ?an ? 是等比数列,前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a12 ? a2 ? a3 ?

)

A. (2n ?1)2 二、填空题

1 B. (2n ? 1) 2 3

C. 4 n ? 1

1 D. (4 n ? 1) 3

13.等差数列 ?an ? 中, a3 ? 50 , a5 ? 30 ,则 a7 ? 14.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? 24 , a2 ? 3 ,则 a6 ?

. .

15.已知等差数列 ?an ? 中, a2与a6 的等差中项为 5 , a3与a7 的等差中项为 7 ,则

an ?

.

11. 已知数列 1, a1, a2, 4 成等差数列, 1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则
a1 ? a2 ? _______. b2

14. 在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 6, a2 ? a3 ?12, S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

log2 (S2010 ? 2) ?
三、解答题

.
2 f ( n) ? 1 (n ? N ? ) ,求 f (101) . 2

17.已知 f (1) ? 2 , f (n ? 1) ?

1 18.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,试求 n 的值. 3

3 15. 已知等比数列 {a n }满足 a3 ? 12, a8 ? , 记其前 n 项和为 S n . 8

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 S n ? 93, 求n.

16. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列. (1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 S n .

高考真题
一、选择题: (2011 年高考安徽卷文科 7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g (?n ? ?) ,则

?

a? ? a? ? L a?? ?
(A) 15 (B) 12 (C )

???

(D) ???

(2011 年高考全国卷文科 6)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5

(2011 年高考重庆卷文科 1)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 = A.12 B.14 C.16 D.18 )

(2013 年安徽文)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =( A. ?6 B. ?4 C. ?2 D.2

(2013 年新课标 I 文)设首项为 1,公比为错误!未找到引用源。的等比数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,则( A. Sn ? 2an ? 1 ) B. Sn ? 3an ? 2 C. Sn ? 4 ? 3an D. Sn ? 3 ? 2an


相关文章:
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列等比数列知识点复习总结_数学_高中教育_教育专区。等差数列等比数列知识点复习总结等差数列 1、数列 ?an ? 为等差数列的判定方法 ①定义法: an?1 ?...
等差等比数列知识点及习题总结
等差等比数列知识点及习题总结_数学_高中教育_教育专区。一、等差数列及其前 n 项和等差数列的常用性质:如果等差数列{an}的首相时 a1 ,公差为 d,那么 (1)通...
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列等比数列知识点梳理_机械/仪表_工程科技_专业资料。等差数列等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果...
等差等比数列知识总结(二)
等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项 等比数列 an?1 ? q(q ? 0, 且为常数,n ≥ 2) an an?1 ? an ? d ( d 为常数, n ≥ 2 ) an ?...
等差等比数列知识点梳理及经典例题
? 故 累 乘 可 得 , (3) 1 数列知识点梳理及经典习题 出题人:李老师 二、等差数列及其前 n 项和 (一)等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法...
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结_数学_高中教育_教育专区。等比数列知识点总结以及常考题型,...___. 考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1...
高一数学必修5等比数列知识点总结
高一数学必修5等比数列知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列与等比数列一、基本概念与公式: 1、等差(比)数列的定义; 2、等差(比)数列的通项公...
等比等差知识点总结
及考试要求 教学内容 1 www.sandaoedu.net 中小学个性化素质教育专家 一、等差数列等比数列知识点类比表等差数列 定义 递推 公式 通项 公式 中项 等比数列 an...
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结_数学_高中教育_教育专区。等比数列 1、主要知识点等差数列 定义 等比数列 {an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数) {an }为G ? P...
等比数列知识点总结与典型例题 (精华版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q...类型五:等差等比数列的综合应用 例 5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,...
更多相关标签: