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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和(一)导学案新人教A版必修5


§2.3

等差数列的前 n 项和(一)

课时目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其性质. 2.掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 之间的关系. 1. 把 a1+a2+…+an 叫数列{an}的前 n 项和, 记做 Sn.例如 a1+a2+…+a16 可以记作 S16; a1+a2+a3+…+an-1=Sn-1 (n≥2). n a1+an 2.若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn= ;若首项为 2 1 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 3.等差数列前 n 项和的性质 (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列? ?也是等差数列,且公差为 . 2 ?n? (2)Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列. (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则 =
?Sn?

d

an S2n-1 . bn T2n-1

一、选择题 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D.63 答案 C a1+a7 a2+a6 解析 S7= = =49. 2 2 2.等差数列{an}中,S10=4S5,则 等于( 1 2 1 C. 4 答案 解析 A. B.2 D.4

)

a1 d

)

A 由题意得: 1 1 10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d), 2 2 ∴10a1+45d=20a1+40d, a1 1 ∴10a1=5d,∴ = . d 2 2 2 3.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 答案 D 2 2 解析 由 a3+a8+2a3a8=9 得 2 (a3+a8) =9,∵an<0,

)

1

∴a3+a8=-3, a1+a10 ∴S10= 2 a3+a8 - = = =-15. 2 2 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B 解析 数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9 -S6), ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45. ∴a7+a8+a9=S9-S6=45. 5.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 答案 B 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, 1 ∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665. 2 6.一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且 a1 -a2n=33,则该数列的公差是( ) A.3 B.-3 C.-2 D.-1 答案 B

解析

? ?a +a +…+a 由? ?a +a +…+a ?
1 3 2 4

2n-1

=na1+

n n-
2 2

d =90, d =72,

2n

=na2+

n n-

得 nd=-18. 又 a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以 d=-3. 二、填空题 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 答案 15 解析 设等差数列的公差为 d,则 3×2 S3=3a1+ d=3a1+3d=3, 2 即 a1+d=1, 6×5 S6=6a1+ d=6a1+15d=24, 2 即 2a1+5d=8. ?a1+d=1, ?a1=-1, ? ? 由? 解得? ? ? ?2a1+5d=8, ?d=2. 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. Sn 7n+2 a5 8.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,则 的值是 Tn n+3 b5 ________. 65 答案 12 a5 a1+a9 S9 65 解析 = = = . b5 b1+b9 T9 12

2

9.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 的值为________. 答案 10 n+ a1+a2n+1 解析 S 奇= =165, 2 n a2+a2n S 偶= =150. 2 n+1 165 11 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ = = , n 150 10 ∴n=10. 10.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则数列{an}的前 3m 项的和 S3m 的值是________. 答案 210 解析 方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 方法二 ∴ 在等差数列中, ,

Sm S2m S3m , 成等差数列, m 2m 3m

2S2m Sm S3m = + . 2m m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 三、解答题 11.在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.

an=a1+ n- d, ? ? 解 由? n n- Sn=na1+ d, ? 2 ? a1+ n- =11, ? ? 得? n n- na1+ ×2=35, ? 2 ?
解方程组得?
?n=5 ? ?a1=3 ?

或?

?n=7, ? ?a1=-1. ? ?Sn? ?n?

12.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列? ?的 前 n 项和,求 Tn. 解 设等差数列{an}的公差为 d, 1 则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2
? ?7a1+21d=7 ∵S7=7,S15=75,∴? ?15a1+105d=75 ?



即?

? ?a1+3d=1 ?a1+7d=5 ?

,解得?

? ?a1=-2 ?d=1 ?



Sn 1 1 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1), n 2 2 Sn+1 Sn 1 ∵ - = , n+1 n 2

3

?Sn? 1 ∴数列? ?是等差数列,其首项为-2,公差为 , 2 ?n? n n-1 1 1 2 9 ∴Tn=n×(-2)+ × = n - n. 2 2 4 4 能力提升 13.现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么 剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 答案 B 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列, 最上面一层钢管数为 1,逐层增加 1 个. n n+ ∴钢管总数为:1+2+3+…+n= . 2 当 n=19 时,S19=190. 当 n=20 时,S20=210>200. ∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根. An 7n+45 an 14. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 且 = , 则使得 为 Bn n+3 bn 整数的正整数 n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D an A2n-1 14n+38 7n+19 解析 = = = bn B2n-1 2n+2 n+1 n+ +12 12 = =7+ , n+1 n+1 ∴n=1,2,3,5,11.

1.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三 个量,可求另外两个量. n a1+an 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用公式 Sn= 较好, 2 n n- 若已知首项 a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 较好. 2 2.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在结合推导过程中加强记忆, 并在解题中熟练灵活地应用.

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