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2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2 0 15

年第



? ? 期 ?2 7

20 1 5

? ? 年 全 国 高 中 数学 联 赛 陕 西 赛 区 预 赛


中 图分类 号

G42 4



79

/>
?文 献 标 识 码



A ?文 章 编 号





00 5?



?

64 1 6

?



20 1 5 ) 08 ?
?



?

00 27?


?

05 ? ?

^ ?,








? OA

?

+? O B? = ? O C


? ? .

?则


? ? .
?



填 空 题 每小 题 5 分 共 5 0 分




1.

已 知 集合 ?



?







在 A■ 中 若




an

+ an 夺 ! 2? 2 ? ?
?t



?= ? 1

?



? ? 则



4 ? =?



















?,


i f
?



?










, ,









? t an








?







x?

a ?+? b



a? A




?

?

? ? 2

的 最 小值 为


? ? .
?

则 集合





中 元 素 的 个数 为


?

某 人拋 掷



枚硬 币




? ? 出 现正 面 向 上 和


已 知 函 数 ? 反 面 向 上 的 概率 均 为







构造 数 列
? ? ;

? ? 使

/U )

?* < °



= f

?










? n

次正 面 向 上

?第

??

次反 面 向 上
+a


? ? .





已知

?记







+ a 2? +




?





?





#0

? ? ?








8?

? ? 2

? 的概率为 ?

??
si n


用 最 简 分 数 作答


si n ? a ?+

8 ?=

?



?,

cos ?a ? +? \3 c os


?j

???


\? t ? ?





扪 的 值为 在 二 棱 维 S AB C
C〇 S (



_

_

?9 若 正 整 数 _ 满 足
? ?

^^
an



?

5?0 40

? ? ,

?



?





已 知 A B ?=

AC



?则



!?

e r

的 值为


? ? .
?

SB? =? S C



则 直线 从 与

BC

所成 角 的 大 小 为?10 设单 调 递增 数 列




?

? ? 的各 项 均为主
n +
? ?

?

5.

?? 以双 曲 线 4 g 如图


?整 数

? ?l






a 7? =



20


an


+ 2?

an + a





a ? G ?Z r

+ )

? ? .







a ?b ? ?




a、 & > 〇



?则 %

? ? .
?










为圆 心的 圆与



? ? 轴 恰 相 切 于 双 曲 ?第 二 试

(?

线的

个焦 点

且 与 y 轴交 于 尸


两点 若 ?




、 (





分 设等 比 数 列






的前

? ? .



? ? 项和

△? 为 正 三 角 形 则 该 双 曲 线 的 离 心率 为 ? ?
?
?

?为


5?







?+




25









6? 2



?




求 数列
〇?








的 通 项 公式


? ? .

\?

⑵在
n + 2




? +

之间 插 入



? ? 个实 数 使




? ?这


? ? 个 数 依 次 组 成公 差 为 尤 的 等差 数
的前
n ? ^? Z n

?列





设数 列
Tn <

项和 为
? ? -







证明

? ? :



?\?









?二 、
?





分 设厶 仙 的 内角 ? ?

(:









i C 的 外 心 且 满 足? Z 为 A Af



的 对边 分别 为

a、6

、c



且满足 ? ?

28

? ? ?中 等 数 学
s in ? A ?+ ? s in ?







证明

?? ,


?二 ?式 / 彡 yg i C 为直 角 三 角 形 ? A ^f


i ?= ? ( c o s ? A ?+ f

?

c os ? f i

)? si


n ?C



①?








*)

?









卓? 从 说 汝 廿 兩 ? ?




? ? 2





的 取 值范 围
?

? ? ;












a + 6 + C? =





4 求 A 歲 面 积?


⑵ 证 明 对任 意 *


?









〇〇





? ? 有





的 最 大值 ?

、 (




n ?? ? >
?

^ p ?0


?


? ? .

? ? ^



分 如图






设 H 为 锐角 A


Af iC

的 垂心 过 点 丑 作


5好

的 垂线 与


交 于点



?六




心 八
、 (

2 〇?

办 分 设
、 )







] ]



表本 不 胡 超 过 实 数 * ?的 ? ?
?





? ? 屮

? ? &


込 过 点 時 M 的 垂 线 与 此 交于 点 点



? ? 过





iC f


的 垂 线 与 直 线 见 交 于 点 尺 证? 4



?2?+ Q
i?


?

?i


, ,


? ? .





? ? 舻? 1

fW

FC

? ? ?,

? /?


? ? ,



?







y k

+ 2


? ? -





/\



考 答 案 ? ? ?参 H ? ?
因为


?…
为 奇数
? ? .




为偶 数 所 以 集 合
, ,

? ? c

B? C

? 中 的 元素 均 为奇 数
a +? 6





?又


的 最 小值 为 3 最 大 值为


19



? ? 且3


中 ?


、 (





分 如图
) 2



在直 角 坐 标 系
r? >

My

?与





之 间 的 奇 数均 可 以 取 到 从 而 集 合



? ? C






a;

+ y


?=









轴 的 正 半 轴 交 于 点? 中 的 兀 素共有






? ? .





G X4 C

i f



与 ? 0 交 于? 2 两 点 ?因 为 对任意 *? G


?(

at











?= r





?





? ? .



?




均 有/







彡0



所以

? ? ,

/( /( *






?

= 1

? ? -

?3





? ? .

? ? 将 已 知 两式平方 相加 得





? ? r? A


i f

?


4 + 2 v^ (
=?

s in? a


?

si n
?

p ?+

?

c os? a


?

?

c os

?)

? ? 8 )?= 4
?



? c os












?





? ? .



〇?

sJ?





?
SC

4?

? ? 五


?





?如 图




取 边 ?s ? ?


? ? 的 中点 M 联结
SM







?A M


? ? ?/?VV \







求益







获 的 最 小值 ? 因 为
S、C






?



v\ c ? ?









为 ? 0 上异 于



的任










SB



SC



所以

? ? ,

直线







?

轴分别交于点
_





求?版 丄
?
_

iC f
? ? ,

a poa ^ a p



w 的 最 大值 ? SM J

?

BC

? ? .



、 (

20






已 知 函 数 ?于 是





? ? 4

iC f BC

丄平 ? ? ±
SA
? ? .

f( x



xl n x


?m SAM

* ?6



BP

V tL 若 任二 意 对:
( 1







6? R )
?







〇〇

、 )

故直 线 & 与 肊 所 成 的 角 为 V 右 笊 M? 不 等 ?f 恒有


? ? .

? ? 2



2 0 15

年第
5?



? ? 期 ?29

石 ?为反 面 向 上


? ? .




? ? 轴 相 切 于 双 曲 线 的 焦 点 ?当 前 两 次 均 为 正 面 向 上 时 由 S ? 2 知 后六 次 中 必 有 二 次正 面 向 上 三 次 反 面 向 上 C w? 所 以 MF ? 点 财 到 7 轴 的 距 离 为
因 为 ?M 与

丨 I













? ? ,

i f









? ? .

从而 正


的 边长 为

边 印 上? 户 ?



?(



C丨


?



+? &




? ? ?

的 高为






?当 前 两 次 均 为 反 面 向 上 时 由 S 2 知 ? ? ?后 六 次 中 必 有 五 次 正 面 向 上 次反 面 向 上 p ? ? ? 其概 率为 ? ?




8?











_











? ? ,



解得









即 双 曲 线 的 离 心 率 为A ? A?
?



?(



C6






全f



?


?

? ? .

? ? 2 7C ? 1 0

故所求 概 率 为 尺
由谅




?

p 2? =



? ? .









知 四 边形

0 4 Cf i

为 平 ?9






44



?
?
? ? !

? ? *

行 四 边形










?田 由


? =?



0B



? =?



0C





所以







0 4 CB

?

?

?




?

+ n)
? ? !



mm R Z

〇A C ?


?




〇B C

?


?

f 3 ?5


?



m ? +? n )

?1



m ? +? n











n ?+ ? l



? ? ,

?040 ?

0 x 9 ? x 8 ?x 7 m

? ? ,

m Z A CB


? ^ ?^


m ?+? n ?= ? 1 0









? ? ,



?U
10

^?
?

+?I





?U
a? = ? 1 44 r
? ? .





? ? .

7.





?从而










* 题 设知

?
C? j



94

? ? .

?* ? 由

?
=?


A ?B


1?



?



an





an ?

?

?a ? + 2 ?







t f

+ a n
?

? 交耳 ? ?
?



?





? ? 得






?2




?


^ a


?+

8 a2

=?1

20

a8



?

8a


?+

?



3a



? ? .

ta





=?
?






an

^B ? l



an

? F ?而











?

= l









a2 ?

均 为 正整数 故 ? ?




an



2?8













a, ? ? a 9 ? = 5 /n ( 々




= 1?

? A ?B ?设


?t

an








?2


an ?

? ? —

?

a ?= 8 &






m? ?

?



? ? .

?则


?

4? + ? m



? ? .

ta

n?

?



?t

an ?

?1

?又

?




?

<a





于是




A ? =?1




m ?= 2

? ? .

5*

-?

1?

?




从而



ap S

%?


= 1



? ? .

= 1

^?



?



?3

?故


〇 8 ?= 8 a





= 3 a 2?



94

? ? .

4?

?第







? ? 试
? ? 丄


当 且 仅当


an

号 成立 ?

an 时 上 式 等? 夺 ? |? | 2 ? 2 ?2 ? 25 + 因为 〇 + ? ? 2
、 ( 1 =

?

? +





以1





所以

? ? ,





ta






的 最小 值为





?a





2 Sn

_











^2



? ? .

?




_

? ? ?两 式 相 减 得
?〇 n






2 8?

?



?



?




n?















_





?



2a

? ? n









知 前 两 次 均 为 正 面 向 上 或 均?

=? ?



? +



?



3 a

? (

a r

多2)

? ? .

3〇
_

中 等
?

数 学 ? ?


又由


等 比肌 则 对嶽









?故



_

+4 曹 4




? ? ,规



= 2?

2a




?



得 ? 面积 的 最 大 值 为






?

? ? ,

?

0 3 a ? = 2 a ?+ ?


?








?T? 三 延 长 ? 2 ? ? 2? DE 交于 点 M
r ?^ ? ° ?=








CF 、
? ? .





交于点





联结





? ? 与

??



?、 ?

? ? .






a? =







?

x3







?因 为 洲 丄


册 此

? ? .

丄 册 所以




挪/ /4 C

? ? .

? 类 似地




紐/ /狀





由 题设得


? 于是
d )


四 边形 4 Z 册 为 平 行 四 边形



? ? .



n ? +? i ?



n?

+ ? ( n ?+ ? l
?

?从而





?

为 M 的 中点
?

?

? ? .

^ ? ?=





?n


+? l
_

?


?

n ? +? l




?由

? G C?



?

B C Af


?



?

BC





?

GC / / AH



? ? ,

?a ?




?3

?



? 所以






CE G w A A EH


? ? .


+ 故





; "?

?3 ? 4 3?3


2 +

1+
?






?又 M 为 从 的 中 点 故







CG

的 中点

? ? .

?因 此
/i


? ? i

Rt

Z\

G 讯:

中 有 ? ?

?

1 ??

? 2 ? 3? ?

Ti

?

+ ? l?
?













? FH


?



G C ? = FC
?

? ? .

以 上 两 式 相 减得 ? 四



、 ( 1 )

由 对称 性




不 妨设 点

? ? .



?







y。



? ? ,

+ r =2 + + + ? 3? ^ 3 ? 3 ?3















?

?

y。



则 4
?








?

?m r

?(


















? ? yi









2 +

?

?





a? +?j r

?





?



〇?

?(

4?



〇 )?









〇?



?







? ? .



_





2? < *
_



< 2
? ? .



则当

%?









茲 茈取 ? ?

? ? .

T ?得 最小 值 为
( )





_

?2 n

+5




?2


?

x3

? 2 ^^P * ?则 4 + Z 4


















^? ± r〇





?

? ? ,

从而 L
二、






?




4 x 3









?







pB







? ? i





理得

?





式 ① 并 结 合 正 弦 余 弦 定? ?




















yo









?、 ? ?



^T










? ? .

















0? + 〇 ?= ?


?

?

?






+ a









?

?



?分 别 令 y
?



? ? 得


rr

?c ? ?


? 2 bc? 2 ca ?
2 2 ) (

=?

?( a + 6









?


?(


a? +? 6 )








? ?y
90


?

?

x y 0?











〇?





?
〇?


? ?N


x y +x 0? 0y



? ? x

?y

〇?





? ? i

因为

?

a ? +? 6 ? > 0



所以











?= c



故 △ 仙C 为 直 角 三 角 形 且 Z


?则





?

C?=
?=

?
_

戈? X? X * m n


_



x y 〇 ? ? ]

?y






? ? A
4?



1?
?

由? a








c? =? 1













+ 6





知?



4?







?

y〇 ?





y〇 ) r



?

_

? ? 4

+ V5

?=

?

a?+ ?6 ? +? V ^

?+ ? 办

? ? 2

^ 2 /a b? + ?^2 a b? = ? ( 2 ?+ ^2

)?



b? a f



?故 Sa
?


?w



A ?w ?


?


? ? ?
?



細 晴

? ? 1

当 且仅 当

a? = 6

时 上 式 等号成立 ?






?

7 ?h 4?



?





? ? ?2

所以



因为


?

W 2 所 以 当 h?
, ,









? ? 2

20 1 5

年第



期 ?3

? ? 1





? ? 取得最 大 值为 4 ?六 先 证 明 对 任 意 的 X ?6 ?R 有








五、⑴ 当
f(



* > 0?





?







?+


* +










?



2* ]



?① ? ?



? ? g( x)

事实 上 当 〇 公





W?<




? ? ,





?? In ? x ^









?

+ ax ?



?





?
x ?+


? ? .







^? a

^ 2 1n ? x ? + x? +



?
? ? ?.

?^

?W ?
? ? ,









?




x]

? ? .

_



?则





x ]? +?a





y?





x ] ? =? [ 2 x



? ? .



?

h ( x )? = 2 1n ? a +








a?


>0



.?

? ? .

? 当y 以 W ?< ? 则
_



?



? ? 2



? ? ,

由?



^( x)





尤? + 3




?




_

LI


知 函数
( 1


/j (

x)

^ + ?? 9
?






?



? Z ?| ? ? J

^ ]? +







2^



?







x ] ?+



? ? .

在 区间
上单










上 单 调递 减 在 区 间



〇〇



?则 >

















?







?+

1?=






? ? ?









J⑴ 的 取值 范 围 是
00









?再 证 明 ―







? ? 有









?② ? ?






要证








i ? 盖 只 要证? ? 事 实 上










的 表 达 式 共有 2 A


?

+?1

项 将其 ? ?


/( x



x ln x >



按前



项与后


A? +

? ? 项 分成 两 部 分和 记 作
, (



?








ki

+ a

k2

? ? ,

由/



〇〇



b^ +



知 /〇 〇 在 区 间
+? *




? l?











??? 外 上 ?其 中 %


A +

_









?

?





?







^了


v\

?1 ? ?
? ? .

单 调 递减 在 区 间








上 单调 递增 ? 由 ^T

= / p



^^
1 )

< a





? ? + 如



于是 当


,(



二 〇











=?

?


?

? ?




( {







4 +

a i i7
_




? ? ^







?2




*)





? 则


?

k + ” “





? ? 丄
? ? ^




+ k



戈 > 〇)






?

? 知 ? ^^ < a

?

2 ?2 ? ?


Wj


? ? .

所以 #
区间








+? ?

?)

? ?* ^ @# ^ < < ^ + 〇 ?U * 在区间 0 上单 调 递 增 在 ? 又 式 ? ? 上 单调 递 减 ? 由 ①得
?
?1


2?r 2


? ? l

? ji lj



?=



? ? .











? ? i J









于是



供(





矣少








n? ? ? h + + ? ② 2 o ? 7 j? U



?

?












_

?
_

? ? ,

? ? ?■



?

4?

?

?j

?l





成立 ? ^ 故当 * > 〇 时 ⑷ 即? k


显 然 不 等 式 ① ② 中 的 等 号 不 能 同 时 ?故 s




丨 1

?+






备 2

1 1

? ? 1

? ? 1






















?

±? ^ ? ? 2
?

=?



? ? .



= 1

n x >



?





康宁

提供

? ? )


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