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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点3 不等式、线性规划课件 理


专题复习·数学(理)

必考点三

不等式、线性规划

类 型

类型一 不等式性质与解不等式

类型二 基本不等式的应用
类型三 求线性目标函数的最值 类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

高考·预测

运筹帷幄之中

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1 根据不等式性质判断不等式成立,求解不等式. 2 利用基本不等式求解最值问题. 3 根据简单的线性规划求目标函数最值和字母参数.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.不等式的性质 2.四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定 一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. g?x?

知识 回扣
必记知识 重要结论

(3)简单指数不等式的解法 ①当a>1时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当0<a<1时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当a>1时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0,g(x)>0; ②当0<a<1时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且f(x)>0,g(x)>0.

3.基本不等式 a+b a +b ≥2ab(a,b∈R) ≥ ab(a>0,b>0) 2
2 2

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.(1)若ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2(x1<x2) ax2+bx+c>0(a>0)的解为{x|x>x2或x<x1} ax2+bx+c<0(a>0)的解为{x|x1<x<x2}
?a>0, (2)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0.
2

?a<0, (3)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0.
2

知识 回扣
必记知识 重要结论

?a+b?2 ? (a,b∈R). 2.(1)ab≤? 2 ? ?

(2)

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

(3)不等关系的倒数性质
?a>b 1 1 ? ? < . a b ?ab>0

(4)真分数的变化性质 n n+c 若0<n<m,c>0,则 < . m m+c

知识 回扣
必记知识 重要结论

(5)形如y=ax+

b b (a>0,b>0),x∈(0,+∞)取最小值时,ax= ?x= x x

b ,即“对号函数”单调变化的分界点. a
?P? (6)a>0,b>0,若a+b=P,当且仅当a=b时,ab的最大值为? ?2; ? 2?

若ab=S,当且仅当a=b时,a+b的最小值为2 S.

3.不等式y>kx+b表示直线y=kx+b上方的区域;y<kx+b表示直线y= kx+b下方的区域.

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类型一 不等式性质与解不等式

[ 例1]

(1)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( D ) 2a+b a B. > a+2b b 1 1 D.a+ >b+ b a

b b+1 A. > a a+1 1 1 C.a- >b- b a

(基本法) 根据不等式性质直接推证 由a>b>0, 1 1 1 1 ∴ > >0,∴a+ >b+ . b a b a (速解法) 特例法:令a=1,b=2代入验证逐个排除

可得答案D.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

利用不等式性质逐个排除] A 不符合真分数性质;B 即为 b2>a2 与 a>b>0 矛盾; C 不符合不等式倒数及加法性质.故选 D. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

(基本法) 先求出函数f(x)在R上的解析式,然后分段求解不等式 f(x)>x,即得不等式的解集. 设 x<0,则-x>0,于是f(-x)=(- x)2-4(- x)=x2+4x,由于f(x)是R上 的奇函数,所以-f(x)= x2+4x,即f(x)=-x2-4x,且f(0)=0,于是f(x) x - 4x, x>0, ? ? = ?0, x=0, 2 ? ?-x -4x,x<0.
2

当 x>0时,由x2-4x>x得 x>5;当x<0时,由-x2-

4x>x得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪ (5,+∞).

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

(速解法) 数形结合:作出y1=x2-4x与y2= x的图象,求使y1的图象在 y2图象的上部所对应的x的范围. 设 y1=f(x)=x2-4x,y2= x(x>0). 令 y1= y2,∴ x2-4x= x,∴x=0或x=5. 作 y1=f(x)及y2= x的图象, 则A(5,5),由于y1=f(x)及 y2=x都是奇函数,作它们关于(0,0)的对称图 象,则B(-5,-5),由图象可看出当f(x)>x时,x∈ (5,+∞)及(- 5,0).

(-5,0)∪(5,+∞)

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

利用奇函数的定义及对称性可以求解.] 当 x>0 时,可得 x2-4x>x, ∴ x>5, ∴当 x∈(0,5)时,f(x)<x, ∴-x∈ (-5,0),-f(x)>- x,即 f(-x)>- x, 令 t=-x∈ (-5,0), ∴f(t)>t,符合 f(x)>x 的解. f(x)>x 的解集为(-5,0)∪ (5,+∞).

(-5,0)∪(5,+∞)

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

?1?不等式的性质要注意成立条件及区分单向性、双向性的推导关系.
?2?解不等式,大多经过等价转化,最终成为一元二次不等式或一元一 次不等式?组?.

?3?分段?讨论?求解不等式时要分清交集与并集的使用.

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式
自我挑战

1.已知a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中,不一定能成立的是 ( C ) c b A. < a a b2 a2 C. > c c b-a B. >0 c a-c D. <0 ac

1 1 选C.由题意可知c<0,a>0? < , D正确. c a c<b? c b b<a? b a ? ? < , A正确. ? ? > , B正确.故选C. ∴ a>0? a a c<0? c c

小题 速解

类型一 不等式性质与解不等式
自我挑战

ex-1,x<1, ? ? 2.(2014· 高考新课标卷Ⅰ)设函数f(x)= ? 1 则使得f(x)≤2成 x x≥1, ? ?3 立的x的取值范围是________.

结合题意分段求解,再取并集. 当 x<1时,x-1<0,ex- 1<e0=1≤2, ∴当x<1时满足f(x)≤2. 1 当 x≥1时,x ≤2,x≤23=8, 3 ∴1≤x≤8.综上可知x∈(- ∞,8].

(-∞,8]

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类型二 基本不等式的应用

[ 例2]

(1)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( B.[ -2,0]

)

A.[0,2] C.[ -2,+∞)

D.(-∞,-2]

(基本法) 由 2x+2y=1直接用基本不等式(和为定值)转化构造出“x+ y”的形式. ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x+ y, ∴2 2
x+ y

≤1,即2

x+y

1 ≤ =2-2. 4

所以x+ y≤-2,故选 D.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

(速解法) 特例检验法:检验x+y能否为0 若 x+y=0,即y=-x 1 ∴2 +2 =1,∵2 + x>2恒成立,所以x+ y不可能为0.故选D. 2 D
x
-x

x

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

m 2 设 x+y=m,设 t=2x,根据方程 t+ =1 有正解求 m 的范围.] t

设 x+ y=m,y=m- x,∴2x+2m- x=1,
m 2 即 2x+ x =1,设 2x=t>0, 2

2m 若方程 t+ =1,即 t2-t+2m=0 存在正解时 t
?1? 设 f(t)=t2-t+2m,只须 f? ?≤0 即可 ?2? 1 1 ∴ - +2m≤0,∴2m≤2-2,∴m≤- 2.故选 D. 4 2

D

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

(2)已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的 最小值为( A.4 ) B.5

11 7 C. D. 5 2 (基本法) 分离变量λ后,用基本不等式求二元函数最值.
依题意,得3x2+4xy≤3x2+ [x2+ (2y)2]=4(x2+y2),因此有 3x2+4xy x2+ y2

3x2+4xy ≤4,当且仅当x=2y时取等号,即 2 2 的最大值是4,结合题意得 x +y 3x2+4xy λ≥ 2 2 ,故λ≥4,即λ的最小值是4,故选A. x +y

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

(速解法) 直接法:转化为二次方程的判别式求解. 令3x2+4xy=wx2+wy2 ∴ (3-w)x2+4xy-wy2=0 ∴Δ=16-4×(3-w)(-w)≥0 ∴-1≤w≤4. ∴λ≥4.故选 A.

A

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

分离变量后,检验函数最值进行排除.] 3x2+4xy 设 w= 2 2 x +y 3x2+4xy 若 w 的最大值为 5,则 2 2 =5 x +y ?x? ?x? 即 2x2-4xy+5y2=0,∴2? ?2-4? ?+5=0 ?y? ?y? 显然 Δ=42-4×2×5<0,无实数解 3x2+4xy 若 w 的最大值为 4,则 2 2 =4, x +y 即 x2-4xy+4y2=0,∴x=2y 有解 A ∴λ≥4.故选 A.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

?1?一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及 含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值. ?2?在运用基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑 出定值是关键. ?3?“=”成立必须保证,若两次连用基本不等式,要注意等号的取得 条件的一致性,否则就会出错.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

?4?求解含参数不等式恒成立问题的关键是过好双关:第一关是转化 关,即通过分离参数,先转化为f?a?≥g?x??或f?a?≤g?x??对?x∈D恒成 立,再转化为f?a?≥g?x?max?或 f?a?≤g?x?min?;第二关是求最值关,即求 函数g?x?在区间D上的最大值?或最小值?问题.

小题 速解

类型二 基本不等式的应用

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

1.(1)若log4(3a+4b)=log2 ab,则a+b的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3

)

选 D.先判断a,b的符号,再将已知的式子转化为关于a,b的方程,最 后根据基本不等式求解. ab>0, ? ? ?a>0, 由题意得?ab≥0, 所以? ?b>0. ? ? 3a+4b>0,

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

又log4(3a+4b)=log2 ab, 所以log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以3a+4b=ab,故 + =1. a b
?4 3? 3a 4b 所以a+b=(a+b)? + ?=7+ + ≥7+2 b a ?a b ?

3a 4b · =7+ b a

3a 4b 4 3,当且仅当 = 时取等号.故选D. b a

小题 速解

类型二 基本不等式的应用
自我挑战

(2)对一切实数x,若不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围 是________.
当 x=0时,1≥0恒成立,此时a∈R. - x2-1 ? 1? ? 当 x≠0时,a≥ =- |x|+ ?. |x| |x|? ? 1 ? 1? 又 |x|+ ≥2,∴-?|x|+ ?≤- 2,∴a≥-2. |x| |x|? ?

[-2,+∞)

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

x+y-2≤0, ? ? [ 例3] (1)(2015· 高考全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件 ?x-2y+1≤0, ? ?2x-y+2≥0, 则z=3x+y的最大值为__________.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(基本法) 画出可行域,并 分析z的几何意义,平移直线y=-3x求解. 画出可行域(如图所示). ∵z=3x+y, ∴ y=-3x+z. ∴直线y=-3x+z在 y轴上截距最大时,即直线过点B时,z取得最大 值.
?x+y-2=0, 由? 解得B(1,1), x - 2 y + 1 = 0 ?

∴zmax= 3×1+1=4.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(速解法) 利用边界端点代入比较,由图知A(-1,0), C(0,2)
?x+y-2=0 由? 得B(1,1)代入 x - 2 y + 1 = 0 ?

z=3x+ y得最大值为3× 1+1=4
4

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(2)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种 车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/

辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租 金最少为( A.31 200元 C.36 800元 ) B.36 000元 D.38 400元

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(基本法) 先根据题意列出约束条件和目标函数,通过平移目标函数加 以解决,设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1 400y,则约束条件为 600x+2

?36x+60y≥900, ?x+y≤21, ? y-x≤7, ? ?x,y∈N,

作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函

数过点(5,12)时,有最小值zmin=36 800(元). 故选C.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(速解法) 列出约束条件和目标函数,代入相应端点值比较目标函数值 大小.
?x+y=21, 由? 得点(7,14), y - x = 7 ? ?36x+60y=900 由? ,得点(5,12), ?y-x=7 ?36x+60y=900 由? ,得点(15,6), x + y = 21 ?

将点代入z=1 600x+2 400y验证并比较,当x=5,y=12时,取其最小 值zmin=36 800.故选C.
C

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

x+2y-4≤0, ? ? (3)(2014· 高考浙江卷)当实数x,y满足?x-y-1≤0, 时, ? ?x≥1 1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(基本法) 根据可行域及目标函数的最值,数形结合求解. 画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+ y,即y=-ax+z,要使
?1≤2a+1≤4, 1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足 ? 即可,解 1 ≤ a ≤ 4 , ?

3 3 得1≤a≤ .所以a的取值范围是1≤a≤ . 2 2

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

(速解法) 特殊点法:利用可行域的三个端点成立.
?x+2y-4=0 由? 得B(2,1), x - y - 1 = 0 ? ?x+2y-4=0 ? 3? 由? 得C?1, ?, 2? ? ?x=1 ?x-y-1=0 由? 得A(1,0). ?x=1

要使1≤ax+y≤4恒成立,A,B,C三点成立

?1≤2a+1≤4 ? 3 ?1≤a+2≤4 ? ?1≤a≤4

3 ,∴1≤a≤ . 2

? 3? ?1, ? 2? ?

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值

a z ?1?截距型:z=ax+by?y=- x+ ,与直线的截距相关联.若b>0,则 b b z z 的最值情况和z的一致;若b<0,则 的最值情况和z的相反. b b ?2?需要注意的是:其一,准确无误地作出可行域;其二,画目标函数

所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免 出错;其三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值均在可行域的 端点或边界上取得.

?3?最优解唯一时,目标函数过边界的端点;,最优解不唯一时,目标函 数线重合于边界线.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值
自我挑战

1.(2016· 昆明模拟)某校今年计划招聘女教师a名,男教师b名,若a、b 2a-b≥5 ? ? 满足不等式组 ?a-b≤2 ? ?a<7 则x=( A.10 C.13 ) B.12 D.16 ,设这所学校今年计划招聘教师最多x名,

选C.如图所示,画出约束条件所表示的区域,即可行域,作直线l:b+ a=0,平移直线l,再由a,b∈N,可知当a=6,b=7时,x=a+b=13. 故选C.

小题 速解

类型三 求线性目标函数的最值
自我挑战

y≤x ? ? 2. (2016· 沈阳高三模拟)已知实数x,y满足约束条件 ?x+y≤1 ? ?y≥-1 =2x+y的最大值为( A.3 ) 3 B. 2

,则z

3 C.- D.-3 2 选A.画出可行域,如图阴影部分所示.由z=2x+y,知y=-2x+z,当

目标函数过点(2,-1)时直线在y轴上的截距最大,为3,所以选A.

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

x+y≤1 ? ? y x + 1 ≥ 0 [ 例4] (1)设x,y满足约束条件? ,则目标函数z= 的取值 x+2 ? ? x-y≤1 范围为( A.[ -3,3] C.[ -2,2] ) B.[ -3,-2] D.[2,3]

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

y (基本法) 特殊点数形结合法:根据 的几何意义,观察图形中点的 x+2 位置作可行域如图阴影部分 y-0 y = 表示点(x, y)与点(-2,0)连线的斜率. x+2 x-?-2? -2-0 当过A点(-1,-2)时,k1= =-2为最小;当过点B(-1,2), -1- ?-2? 2-0 k2= =2为最大.故选C. -1- ?-2?

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

(速解法) 排除法:根据可行域的特征进行排除.可行域关于x轴对 称,故 y 的最大值与最小值为互为相反数,排除B、 D.又直线过B点 x+2

时,斜率为2.故选 C.
C

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

2x+3y-6≤0, ? ? (2)在平面直角坐标系xOy中,M(x,y)为不等式组 ?x+y-2≥0, ? ?y≥0, 所表示的区域上一动点,则x2+y2的最小值为________.

(基本法) 数形结合法:根据x2+ y2的几何意义观察出点M在何处取最 小. x2+ y2=(x-0)2+(y-0)2,表示点 M(x, y)与(0,0)距离的平方. 如图所示, M为图中阴影部分区域上的一个动点,由于原点到直线x+y |0+ 0-2| 2 -2=0的距离最短,∴d= = = 2. 2 2

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

(速解法) 数形结合:根据直角三角形性质求解. |OM|的最小值是O到x+y-2=0的距离,过O作OM⊥AB,A(2,0), B(0,2). 由等腰直角三角形OAB可得 |OM|= 2.

2

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

目标函数非线性问题 y-b (1)斜率型:z= 即为点(a,b)与(x, y)连线的斜率.常见的变形形式 x-a ay+b 为: ?a× . x+c x-?- c?
(2)距离型:x2+ y2表示点(x, y)与(0,0)距离的平方,常见的变形:x2+y2
? D?2 ? E?2 D2 E2 +Dx+Ey=?x+ ? +?y+ ? - - . 2? ? 2? 4 4 ?

?-b? y-? ? ? a ?

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值
自我挑战

x+y≤2 ? ? 1.设实数x,y满足不等式组?y-x≤2 ,则x2+y2的取值范围是( ? ?y≥1 A.[1,2] C.[ 2,2] B.[1,4] D.[2,4]

)

选B.如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界), x2+ y2表示的是此区域内的点(x, y)到原点距离的平方.从图中可知最短距 离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故 x2+ y2的取值范围是[1,4],故选B.

小题 速解

类型四 线性规划中非线性目标函数的最值
自我挑战

?1≤x≤1 ?2 2. 若实数x,y满足?y≥-x+1 ? ?y≤x+1

y+1 ,则 的取值范围是________. x

y+1 y-?-1? 由题可知 = ,即为求不等式所表示的平面区域内的点与 x x-0 (0,-1)的连线斜率k的取值范围,由图可知k∈[1,5].

[1,5]

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

线性规划求目标函数的最值时,常规方法是数形结合判定所过的定 点,也可以把边界端点的坐标代入目标函数,寻找最值.研究可行域 与其他函数的关系时,可用边界端点确定其答案.

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

x≥0, ? ? [ 例1] 记不等式组 ?x+3y≥4, ? ? 3x+y≤4,

所表示的平面区域为D,若直线y=

a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是________.

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

?3x+ y=4 作出可行域,利用可行域的上下界,建立a的不等式,由 ? , ?x=0

得B(0,4), 区域D的上界为B(0,4),下界为A(1,1),∴y=a(x+1)与D有公共点,则
?2a≥1 1 ? 有 ,∴ ≤a≤4. 2 a ≤ 4 ?

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a,作出可行域后数形结合可 解. 不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界),且
? 4? ? A(1,1),B(0,4),C 0, ? .直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a.由 3? ?

1 斜率公式可知kAP= ,kBP= 4.若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,数 2 1 形结合可得 ≤a≤4. 2 ?1 ? ? ,4? ?2 ?

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

x+y-2≤0, ? ? [ 例2] (2015· 高考重庆卷)若不等式组?x+2y-2≥0 ,表示的平面区 ? ?x-y+2m≥0 4 域为三角形,且其面积等于 ,则m的值为( 3 A.-3 4 C. 3 B.1 D.3 )

解题绝招 系列讲座

“点”定乾坤解线性规划

作出可行域,通过面积建立方程求出参数m的值. 作出可行域,如图中阴影部分所示,易求A,B,C,D的坐标分别为
?2-4m 2+2m? ?, A(2,0),B(1-m,1+m), C? , 3 ? ? 3

D(-2m,0).
? 1 1 2+2m? ? =(1+ S△ ABC=S△ ADB- S△ ADC= |AD|· |yB- yC|= (2+2m) ?1+m- 2 2 3 ? ? ? m-2? 4 ? ? = ,解得m=1或m=-3(舍去). m) 1+ 3 ? 3 ?

B


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