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对数函数、幂函数运算与图像性质


对数函数的运算、性质以及幂函数图像性质
一、对数函数的运算
1、对数的定义: 如果 ax=N(a>0,a≠1)那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数。 记作: x=logaN ,其中 ia 叫做对数的底数,N 叫做真数, x=logaN 叫做对数式. 常用对数:log10N=lgN 2、指数式和对数式的联系: 指数 对数 自然对数:logeN=lnN<

br />
a x ? N ? loga N ? x(a>0且a ? 1)

3、对数的运算性质 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
loga MN ? loga M ? loga N ; log a
M ? log a M ? log a N N

loga M n ? n loga M (n ? R)

语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 给出四个等式:
1) lg(lg10) ? 0;2) lg(ln e) ? 0; 3)若lgx=10,则x=10;4)若lnx=2,则x=e2

4、对数换底公式

log a N ?

log m N ( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0) log m a

两个推论: 设 a, b > 0 且均不为 1,则
1) loga b ? logb a ? 1 ; 2) log am b n ?
n log a b m

二、对数函数图像与性质

三、幂函数图像及性质
1.幂函数的定义 a 形如 y = x 的函数叫做幂函数,其中 a 是常数且 a ∈ R 2.幂函数的定义域: 是使 x a 有意义的实数的集合。随 a 的不同而不同

幂函数与指数函数的对比 名称 式 子 a(常数) X(自变量) 底 数 指 数 指 数 底 数 Y(函数值) 幂 幂 值 值

指数函数: y=a x 幂函数: y= x a

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数 x 是指数还是底数 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1 的图象:

函 数 y= x 性 质 定义域 值 域 奇偶性 单调性 公共点
R
奇 R

y=x2
R

y=x3
R

y ? x2

1

y=x-1
{x|x≠0} {y|y≠0}

[0,+∞)

[0,+∞)
偶 [0,+∞)增

R

[0,+∞)
非奇非偶





(0,+∞)减

增 (-∞,0]减


(-∞,0)减 (1,1)

考点 1 对数函数的运算
例题 1
A. log b 已知 0 ? a ? 1 , b ? 1 , ab ? 1 ,则下列不等式成立的是 ( )

1 1 1 1 ? log a b ? log a B. log a b ? log b ? log a b b b b 1 1 1 1 C. log a b ? log a ? log b D. log b ? log a ? log a b b b b b 变式训练 1 已知 f ( x) ?| log a x | ,其中 0 ? a ? 1 ,则下列不等式成立的是
( )

1 1 4 3 1 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 4 3

A. f ( ) ? f (2) ? f ( )

1 4 1 1 D. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 3 4
B. f (2) ? f ( ) ? f ( )

1 3

例题 2 已知 lg2=a,lg7=b,那么 log898=________.

变式训练 2

已知 a=log32,用 a 表示 log38-2log36 是

例题 3

2 1 设 3x=4y=36,求x+y的值.

lg 15 变式训练 3 若 lg 2=a,lg 3=b,则lg 12等于

a 拓展训练 1 已知 ln a+ln b=2ln(a-2b),求 log2b的值.

变式训练 4 设 3 x ? 4 y ? 6 z ? t ? 1 ,则 ? 与
1 1 1 z x 2y 1 1 1 C. ? ? z x 2y

A. ? ?

1 1 的大小关系为 x 2y 1 1 1 B. ? ? z x 2y 1 1 1 D. ? 与 的大小关系不确定 z x 2y 1 z

考点 2 对数函数的性质 对数函数的概念、图象和性质,设计对数型函数的定义域、值域、单 调性等问题。 例题 4、已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) , (1)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性, 并说明理由; (3)探究 f ( x) ? g ( x) 在其定义域内的单调性。

例题 5.求下列函数的定义域、值域和单调区间:
a x ?1 ⑴ y ? x (a ? 0, a ? 1) ;⑵ y ? loga ( x2 ? 5x ? 6) ( a ? 0 且 a ? 1 ). a ?1

例题 6 若 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, 则 a 的取值 范围是

变式训练 5、已知函数 f ( x) ? log4 (2x ? 3 ? x 2 ) , (1)求 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)求 f ( x) 的 最大值,并求取得最大值时的 x 的值。

变式训练 6 已知 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) ,求 m 的取值范围

变式训练 7 求函数 y ? log 2 ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值。

x 2

x 4

例题 8.己知函数 f ? x ? 满足条件 f ? ax ? 1? ? lg 实数 a 之间的关系.

x?2 ? a ? 0? x?3 ⑴求 f ? x ? 的表达式; ⑵求函数的定义域; ⑶判断 f ? x ? 的奇偶性与

例题 9 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x2 ? 1 ? x) ,则 f ( x) 是 ( ) A.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 C.奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 考点 3 树形结合 例题 10.已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根, x2 是方程 x ? 10 x ? 3 的根,则 x1 + x2 = . 考点 4 幂函数的图像与性质 1 例题 11.图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象, 已知 n 取± 2, ± 2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为( 1 1 1 1 A.-2,-2,2,2 B.2,2,-2,-2 1 1 1 1 C.-2,-2,2,2 D.2,2,-2,-2 )

1 1 例题 12 .设 α∈{-2,-1,-2,2,1,2,3},已知幂函数 f(x)=xα 是 偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,则满足条件的 α 值的个数 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 例题 13. 已知函数 f(x)=(a-1)· xa2+a-1. 当 a=______时,f(x)为正比例函数; 当 a=______时,f(x)为反比例函数; 当 a=______时,f(x)为二次函数; 当 a=______时,f(x)为幂函数. 1 若点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2,-2)在幂函数 g(x) 的图象上, 问当 x 为何值时, (1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x).

课 后 作 业 一、基础题 1 在同一坐标系内,函数 y=xa(a≠0)和 y=ax+a 的图象应是( )

2 已知函数 f(x)=-x-x3,x1、x2、x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0, x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( ) A.一定大于零 B.一定小于零 C.等于零 D.正负都有可能 3 若 log a ? 1 (a ? 0 且 a ? 1) ,则 a 的取值范围是
4 5

.

4 已知 log18 9 ? a , 18b ? 5 ,则 log36 45 用 a, b 表示为 . 2 5 已知函数 y=xm -2m-3 的图象过原点,则实数 m 的取值范围是 __________. -x ?2 -1,x≤0, 6 设函数 f(x) = ? 1 若 f(x)>1 ,则 x 的取值范围是 x , x>0 , ?2 __________.

二、能力拓展题 7 如图,幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,且与 x 轴、y 轴均无交点,求此函数的解析式.

8 已知 a>0 且 a≠1 ,f (log a x ) =

a 1 (x - ) x a ?1
2

⑴求 f(x); ⑵判断 f(x)的奇偶性与单调性; ⑶对于 f(x) ,当 x ∈(-1 , 1)时 , 有 f( 1-m ) +f (1- m2 ) < 0 , 求 m 的集合 M .


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