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第四讲、指数函数与对数函数(教师稿)


第四讲、指数函数、对数函数
一、考试说明 考试内容 有理指数幂的含义 实数指数幂的意义 幂的运算 指数函数的概念、图像及其性质 对数的概念及其运算性质 换底公式 对数函数的概念、图像及其性质 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 二基础知识 (一)指数与指数函数 1. 根式 (1) 根式的概念 若 x 2 ? a ? n ? 1, 且

n ? N ? ? ,则 x 叫做 a 的 n 次 方 根 ,式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. (2) 根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,零 的 n 次方根是零,这时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ②当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数 a 的正 的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a ,正负两个 n 次方根可以 合写为 ? n a ③? n a ? ? a
n

要求层次 A B √ √ √ √ √ √ √

C



?其 中 均 要 求 a

? 0?

④当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ? a ? ? ⑤负数没有偶次方根 2. 有理数指数幂 (1) 幂的有关概念 ①正整数指数幂: a n ? a ?a ?a ?? ?a ??? ??
n

?a ? ??a ?

?a

? 0? ? 0?

?a

?n ? N? ?

②零指数幂: a 0 ? 1 ? a ? 0 ? ③负整数指数幂: a ? p ?
1 a
p

?a

? 0, p ? N ? ?

1

m

④ 正分数指数幂: a n ?
? m n

n

a

m

m ? ? ? 既 ?分 ? ? a ? 0, m、 n ? N , 且 n ? ?

⑤负分数指数幂: a

?

1
m

?
n

1 a
m

a

n

m ? ? ? 既 ?分 ? ? a ? 0, m、 n ? N , 且 n ? ?

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的正分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ① a? a ? ? a? ?? ②? a?

?a

? 0, ? , ? ? Q ?
? 0 ,? ? ? Q ? , ? 0 , b ? 0?, ? Q ?

?

?

? a

??

?a

③ ? ab ? ? a? b?

?

?a

3. 指数函数的图像与性质
y ? a
x

a ?1
y
1.5

0 ? a ?1
y

图像

y=ax

y=ax
y=1

1.5

(0,1)
1

(0,1)
1

y=1
0.5

0.5

O
0.5

1

1

x

O

1

1

x

定义域 值域 性质 (4)当 x
? 0

(1)R (2) ? 0, ? ? ? (3)恒过定点 ? 0 ,1 ? 时, y ? 1
y ?1

(5)当 x

? 0

时, 0 ?

y ?1

当 x ? 0 时, 0 ?

当 x ? 0 时, y ? 1 (7)在 ? ? ? , ? ? ? 上是减函数

(6)在 ? ? ? , ? ? ? 上是增函数 (二)对数与对数函数 1.对数概念 (1)对数定义:如果 a b ? N

?a

? 0 且 a ? 1 ? ,那么数

b 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作 b ? lo g a N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (2)几种常见对数
2

对数形式 一般对数 常用对数 自然对数

记法
y ? log a N
y ? lg x y ? ln x

特点 底数为 a ? a ? 0, 且 a ? 1 ? 底数为 10(>0) 底数 e ? e ? 2 .7 1 8 ? ? 1 ?

2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a ? 0, 且 a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那 么 ① l o g a ? M N ? ? lo g a M ? lo g a N , ③ lo g a M n ? n lo g a M ? n ? R ? , (2) 对数恒等式 ① a lo g
a

② lo g a
m

M N

? lo g a M ? lo g a N n m lo g a M

④ lo g a M n ?

N

? N



② lo g a a N ? N

?a

? 0, 且 a ? 1 ?

(3) 对数换底公式 ①换底公式: lo g b N ?
1 lo g b a
lo g a N lo g a b

( a , b 均大于零且不等于 1)

②推论: lo g a b ?

,推广: log a b ?log b c ?l o g c d ? l og a d

3.对数函数的图像与性质
a ?1 0 ? a ?1
y
3

图 像

3

y

x=1 y=logax

x=1

2

2

1

1

(1,0)
O
1

(1,0)

2

x

O
1

2

x

y=logax

性 质

(1)定义域: x ? ? 0, ? ? ? (2)值域: R (3)恒过点 ? 1, 0 ? ,即 x ? 1 时, y ? 0 (4) 当 x ? 1 时, y ? 0 (5) 当 x ? 1 时 y ? 0

3

当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 (6)在 ? 0, ? ? ? 上是增函数 4,反函数

当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 (7)在 ? 0, ? ? ? 上是减函数

指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数,它们的图像关于直线 y ? x 对 称. 三、问题分析 (一)指数式、对数式的运算 1(2010 四川)2 lo g 5 1 0 ? lo g 5 0 .2 5 ? (
A .0 B .1 C .2 D .4



答案 C 解:2 lo g 5 1 0 ? lo g 5 0 .2 5 ? lo g 5 1 0 2 ? lo g 5 0 .2 5 ? lo g 5 ?1 0 0 ? 0 .2 5 ? ? lo g 5 2 5 ? lo g 5 5 2
? 2 lo g 5 5 ? 2

2.(2010 辽宁)设 2 a ? 5 b ? m, 且
A. 1 0
B .10 C .2 0

1 a

?

1 b

? 2, 则 m ?





D .100

答案:A 解: (把 a , b 从指数的位置拿下来,即用 m 表示 a , b ;代入 ?
a 1 1 b ? 1 即可求

m)

(1) 2 a ? m ? 两 边 取 以 m 为 底 的 对 数 : a lo g m 2 ? lo g m m ? 1 ,? a ?
1 lo g m 5
1 a 1 b

1 lo g m 2

同理, b ? (2)?
?m ?
1 a ? 1 b

,?

? lo g m 2



? lo g m 5

? 2 ? lo g m 2 ? lo g m 5 ? lo g m 1 0 ? 2 ? 化 成 对 数 式 m ? 1 0
2

10
2

3.(2010 天津)设 a ? lo g 5 4, b ? ? lo g 5 3 ? , c ? lo g 4 5 ,则(
A .a ? c ? b B .b ? c ? a C .a ? b ? c D .b ? a ? c



答案:D 解: (与 1 比较)? a ? lo g 5 4 ? lo g 5 5 ? 1, (1)
c ? log 4 5 ? log 4 4 ? 1 ,所以
b ? ? lo g 5 3 ? ? ? lo g 5 5 ? ? 1 ,
2 2

C 最大,排除 A、B;

0 (2) (函数性质再借助运算) 性 质 : ? lo g 5 3 ? lo g 5 5 = 1 , lo g 5 3 ? lo g 5 4
4

运算: ? lo g 5 3 ? ? ? lo g 5 3 ? ?? lo g 5 3 ? ? ? lo g 5 3 ? ,? ? lo g 5 3 ? ? lo g 5 4 ,即 b ? a
2 2

?选D

(二)图像与性质 例 1(1)函数 y ? a 2 0 1 0 ? x ? 2 0 1 0 ? a ? 0, 且 a ? 1 ? 横过点____________; 解: (2010,2011) (1) (2)方程 2 x ? 2 ? x 的解的个数为_________ 解:1 个
4

y f(x) = 2x
2

g( x ) = 2

x
5

o
2

x

(3) 08 山东文) 已知函数 f ( x ) ? lo g a (2 x ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 的图象如图所示, ( 12. 则 a, b 满足的关系是( A. 0 ? a ? 1 ? b ? 1 C. 0 ? b ? 1 ? a ? 1 )
O
?1

y x

B. 0 ? b ? a ? 1 ? 1 D. 0 ? a ? 1 ? b ? 1 ? 1

【解析】 f ( x ) ? lo g a (2 x ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 是个 复合函数, 解:令 t ? 2 x ? b ? 1 ,则 y ? lo g a t , (1)因 t ? 2 x ? b ? 1 是增函数, 而(图像告诉你) f ( x ) ? lo g a (2 x ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 也是增函数
? 又复合函数的单调性可知: y ? lo g a t
?a ?1

是增函数

(2)又图像可知 ? 1 ? f ? 0 ? ? 0 , 而 f ? 0 ? ? lo g a ? 2 0 ? b ? 1 ? ? lo g a b ,
即, a a log
?1

? ? 1 ? lo g a b ? 0

? log a b ? 0 ? log a 1 ,

而 a ? 1 时, lo g a x 是 ? ,? a ? 1 ? b ? 1 , 练习

即? 0 ? a ? 1 ? b ? 1

(选 A)

5

1(2009 江苏)已知 a ?

5 ?1 2

,函数 f ? x ? ? a x ,若实数 m , n 满足 f ? m ? ? f ? n ? ,

则 m , n 的大小关系为_________ 答案: m ? n 解:? a ?
?

5 ?1 2

,2 ?

5 ?

9 ? 3,? 1 ?

5 ? 1 ? 2,?

1 2

?

5 ?1 2

? 1,



1 2

? a ? 1,

满足 0 ? a ? 1 ,? f ? x ? 在 R 上 ? , 又 ? f ? m ? ? f ? n ? , ? m ? n
3 .4

2.(2011 天津)已知 a ? 5 lo g
A. a ? b ? c B. b ? c ? b

2

,b ? 5

lo g 4 3 .6

?1? ,c ? ? ? ?5?

lo g 3 0 .3

,则(
D. c ? a ? b



C. a ? c ? b

答案:C 解: (1)把 c 变成以 5 为底的指数式: c ? 5
? lo g 3 3 10

?5

lo g 3

10 3

(2) 比较指数的大小: 1 ? lo g 2 3 .4 ? 2, 0 ? lo g 4 3 .6 ? 1, 1 ? lo g 3
lo g 2 3 .4 ? lo g 2 10 3 ? lo g 3 10 3

10 3

?2

? lo g 4 3 .6 ? lo g 3

10 3

? lo g 2 3 .4

,? 5 lo g

4

3 .6

?5

lo g 3

10 3

?5

lo g 2 3 .4

,即选 C

(三)函数性质综合
例(2011 上海理)已知函数 f ( x ) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。
x x

⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x ) 时 x 的取值范围。 解 : ⑴ 当
x1 x

a ? 0, b ? 0
x


x


2





x1 , x 2 ? R , x 1 ? x 2





f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a (2

2 ? 2 ) ? b (3

? 3 1)
x1 x

∵ 2

x1

? 2 2 , a ? 0 ? a (2
x

x1

? 2 2 ) ? 0 ,3
x

? 3 2 , b ? 0 ? b (3

x1

?3 2)? 0,
x

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x ) 在 R 上是减函数。

6



f ( x ? 1 ) f x( ?) a ? ?

x

? b ?2 2

x

?3? ?3 , ? a ? 2 b ? ? ? 0 0 ?2?

x

当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?
x

3 2 3

a 2b a

,则(两边取以 ,则(两边取以

3 2 3

为底的对数得) x ? lo g 1 .5 ( ? 为底的对数得) x ? lo g 1 .5 ( ?

a 2b a

);

当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?
x

)。

2

2b

2

2b

(四)一个问题的讨论 题目(2010 年全国 I 卷理科第 10 题)已知函数 f ( x ) ? lg x ,若当 0 ? a ? b ,且
f ( a ) ? f (b )

,则 a ? 2 b 的取值范围是(


4 . ? 3, ? ? ?

A. 2 2 , ? ?

?

?

B. ?2 2 , ?? ?

?

C . ? 3, ? ? ?

(1)正确选项为 C,如何解? (2)失误解法: (失误在何处?)
f ( a ) ? f ( b ) ? lg a ? lg b ? lg a ? lg b ? (lg a ? lg b )(lg a ? lg b ) ? 0
2 2

? lg a ? lg b ? 0 或 lg a ? lg b ? 0 ? lg ab ? 0

或 lg a ? lg b (舍去)
1 b ? 2b

? ab ? 1 或 a ? b

令 t ? a ? 2 b ,? t ?
?? t
2

,整理得 2 b 2 ? tb ? 1 ? 0 ,于是有判别式得 或t ? 2 2

?4 ?2 ? 0 ? t ? ? 2 2 ,

又? t ? 0 ,? t 的取值范围是 ? 2 2 , ? ? ? ? 【解析】 (1) 失误在:默认 b 的取值范围是实数集 R 法 1:事实上,作 f ? x ? ? lg x 的图像,
? f ? a ? ? f ?b ? ? ?? ?0 ? a ? b ? ? 0 ? a ?1? b

即, b ? ? 1, ? ? ?
? 在 2 b ? tb ? 1 ? 0
2


b ? t? t ?8
2

b ?

t?

t ?8
2

,或

4

4

7

从b ?

t?

t ?8
2

?1? t?

t ?8 ? 4?
2

t ?8 ? 4?t ? t ? 3
2

4
y
2

h(t)= t2-8

即, a ? 2 b ? ? 3, ? ? ? 所以选 C.

t O

t=3

5

10

g(t)=4-t

2

问题 2:从 b ?

t?

t ?8
2

? 1 ,解出的是 b ? 3 ,却得不到 b ? 3 !

4

b

原因是: b ?

t?

t ?8
2


b= 2 2

4
? 2? 取值范围是 ? 0, ? ? 2 ? ?

2

b= 1

t- t2-8 4
5

O

t=2 2

t

? b ?

t?

t ?8
2

? 1 的话,这个

4

b 根本不在 b 的范围之内!
? (见图所示) ?, ? ?
4

而法 1 中的 b ?
t?

t?

t ?8
2

4

? 2 ?? , ?? ? 2

?法

1 中b ?

t ?8
2

b
? 1 中的

4

b在
2

b= 2 2 O 1

t+ t2-8 4

B 的范围之内!所以从 1 ? b ,可解出 B 的范围 ? 3, ? ? ?

b=

t=2 2

?t≥2 2?
5

t

法 2.(1) f ( a ) ? f ( b ) ? lg a ? lg b ? lg 2 a ? lg 2 b ? (lg a ? lg b )(lg a ? lg b ) ? 0
? lg a ? lg b ? 0 或 lg a ? lg b ? 0 ? lg ab ? 0

或 lg a ? lg b (舍去) ? b ? ,
2 a 1 a

? ab ? 1 或 a ? b

(2)? a ? 2 b ? a ?

8

? f ? a ? ? f ?b ? ? ?? ?0 ? a ? b ?

?

0 ? a ?1? b

? 令f ?a? ? a ?

2 a

,其中 a ? ? 0,1 ?

由上次给的结论可知 f ? a ?
+ 在 a ? ? 0, 2 ? ? , 在 ? 2, ? ? ?

而 a ? ? 0,1 ? ? ? 0, 2 ? ,
? f ?a? ? a ? 2 a 在 ? 0,1 ? 上 减

.

a ? 2 b ? f ? a ? ? ? 3, ? ? ?

9

10

11

12


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