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山西省山大附中2014-2015学年高一12月月考数学试题 Word版含答案


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山西大学附中

2014~2015 学年高一第一学期 12 月(总第三次)月考

数学试题
(考查内容:必修一和必修三第一章 考查时间:100 分钟 满分:100 分) 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? , A ? ?

1, 2? , B ? ?2,3? ,则 C U (A A. ?3? B. ?4?
1

B) ? (

)

C. ?3, 4?

D. ?1,3, 4?

2 . 给 定 函 数 ① y ? x 2 , ② y ? log 1 ( x ? 1) , ③ y ?| x ? 1| ,
2

④y?2 A.①②

x ?1

,其中在区间 (0,1) 上单调递减的函数序号是 ( B.②③ C.③④ D.①④ ) D. ( ) a ? ( )b



3.若 a, b 是任意实数, 且 a ? b ,则 ( A. a 2 ? b 2 B.

4. 若 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( ) A.若 f (a ) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 B.若 f (a ) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 C.若 f (a ) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 D.若 f (a ) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 5.观察右上程序框图,如果输入三个实数 a, b, c 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白 的判断框中,应该填入下面四个选项中的( A. c ? x B. x ? c C. c ? b ) D. b ? c )

b ?1 a

C. lg(a ? b) ? 0

1 2

1 2

6. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于(

A. x 轴对称 B. y 轴对称 C.原点对称 D.以上均不对[ 7.在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:则 x, y 的函数关系与下列哪类函 数最接近(其中, a, b 为待定系数)( A. y ? a ? b
x

) C. y ? a ? log b x D. y ? a ?

B. y ? a ? bx 0 1 1.00 2.02

b x

x
y

-2.0 0.24

-1.0 0.51

2.00 3.98

3.00 8.02

8.若关于 x 的方程 log 1 x ?
2

m ?1 1? 在区间 ? , ? 上有解,则实数 m 的取值范围是( 1? m ?4 2?

)

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1? ?2 2? ?1 ? ?1 2? ? ? ? B. ? , ? C. ? ? ?, ? ? ? ,?? ? D. ? ? ?, ? ? ?1,?? ? 2? ?3 3? ?2 ? ?2 3? ? ? ? 9.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上为增函数, f (2) ? 0 ,则不等
A. ? ,1? 式 xf (log 2 x) ? 0 的解集为( A. [1, 4) )

B. (??, 0) ? ( , 4)

1 4

C. ( , 4)

1 4

D. (0, ) ? (4, ??)

1 4

10.已知函数 y ? f ( x)和y ? g ( x)在[ ?2, 2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题,其中正确的命题个数是( ①方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 A. 1 个 B.2 个 C. 3 个

) ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 ④方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 D.4 个

二.填空题(每题4分,共20分) 11.完成下列进位制之间的转化:101101(2)= 12.函数 y ?
(7)

x ( x ? R ) 的值域为 x ? 10
2

2



13.已知函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1 ? x a ?1 (a ? 0, a ? 1) ,则它的图象恒过定点的坐标为

.

14.某同学借助计算器求 “方程 lg x ? 2 ? x 的近似解 (精度为 0.1) 时, 设 f ( x) ? lg x ? x ? 2 , 算得 f (1) ? 0, f (2) ? 0 在以下过程中,使用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数 值的正负,并得出判断:方程的近似解为 x ? 1.8 ,那么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值 是 .

2 15.①函数 y ? ? 在其定义域上是增函数; x

x 2 ( x ? 1) ②函数 y ? 是偶函数; x ?1

③函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象可由 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象向右平移 2 个单位得到;

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④若 2 ? 3 ? 1 ,则 a ? b ? 0 ;
a b

⑤ [(?2) ]
2

?

1 2

??
.

1 . 2

则上述五个命题中正确命题的序号是

三.解答题(请写出必要的文字说明和解答过程;每题 8 分,共 40 分) 16. (1)根据下面的要求,求 S ? 13 ? 23 ? ……? 1023 值.请完成执行该问题的程序框图. (2)请运用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数.
开始

S=0 i=1

否 是

结束

17. 已

知集合 U ? R , A ? x | y ?

?

log 2 ( x ? 1)

?,

1 ? B ? ? y | y ? ( ) x ? 1,?2 ? x ? ?1 ? , C ? ?x | x ? a ? 1 ? . 2 ?
(1)求 A ? B ; 18.已知函数 f ( x) ? (2)若 C ? CU A ,求实数 a 的取值范围.

2x ?1 . 2x ? 1

(1)用定义证明函数 f ( x) 是 R 上的增函数; (2)令 g( x) ?

x ,判定函数 g( x) 的奇偶性,并证明. f ( x)

19.某种新产品投放市场的 100 天中,前 40 天价格呈直线上升,而后 60 天其价格呈直线下 降,现统计出其中 4 天的价格如下表:

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时间

第4天

第 32 天

第 60 天

第 90 天

价格(千元)

23

30

22

7

(1)写出价格 f ? x ? 关于时间 x 的函数关系式( x 表示投放市场的第 x 天, x ? N * ); (2)销售量 g ? x ? 与时间 x 的函数关系为: g ? x ? ? ? 产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元? 20.已知函数 f ( x) ? 3 x ? 6 x ? 5 .
2

1 109 ?1 ? x ? 100, x ? N ? ,则该 x? 3 3

(1)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? mx ,其中 m ? R ,求 g( x) 在 ?1,3? 上的最小值;
2

(2)若对于任意的 a ? ?1, 2? , 关于 x 的不等式 f ( x) ? x ? (2a ? 6) x ? a ? b 在区间 ?1,3? 上恒
2

成立,求实数 b 的取值范围.

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2014~2015 学年高一第一学期 12 月(总第三次)月考数学答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 6 7 题号 B B D D A B A 答案 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.63 12.[0,1) 13.(1,1) 14.1.8125 三.解答题: (本题共 5 大题,共 40 分) 16. (本小题满分 8 分) 解: (1) 开始 S=0 i=1 S=S+i3 (2)因为 i=i+1 i>102? 输出 S 17 . (本小 结束 459-357=102 357-102=255 255-102=153 153-102=51 102-51=51 所以 459 与 357 的最大公约数为 51. 题满分 8 分) 8 B 9 D
3 ○ 4 15.○

10 C

解: (1)? A ? x x ? 2?, B ? y 3 ? y ? 5? (2) CU 18. (本小题满分 8 分) (1)证明: f ( x) ?

? A ? ?x x ? 2?

?

? A ? B ? ?x 3 ? x ? 5?

由 C ? CU A 得 a ? 1 ? 2

?a ? 3

2x ?1 2 ?1? x x 2 ?1 2 ?1 ?x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则

2 2 2 2 x1 ? 2 x2 ? ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ? x1 ? x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 ∴ 2 x1 ? 2 x2 ? 0 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

?

?

??

?

?

又 2 1 ?1 ? 0 , 2
x

x2

(2)可以判定 g ? x ? 是偶函数.

故 f ? x ? 是 R 上的增函数.

?1 ? 0

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0

? f ? x1 ? ? f ? x2 ?

x 2x ? 1 ? x? x 证明: g ? x ? ? 的定义域为 ?? ?,0 ? ? ?0,?? ? f ?x ? 2 ?1

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? g ?? x ? ? (? x) ?

故 g ? x ? 是偶函数. 19. (本小题满分 8 分)

2? x ? 1 1 ? 2x 1 ? 2x ? ( ? x ) ? ? x ? ? g ?x ? 2?x ? 1 1 ? 2x 2x ?1

?k ? 1 ? 4k ? b ? 23 4 ?? 解: (1)当 0 ? x ? 40 时,设 f ? x ? ? kx ? b ,则有 ? ?b ? 22 ?32k ? b ? 30
? f ?x ? ? 1 x ? 22 ( 0 ? x ? 40 , x ? N ) 4 同理可得 f ? x ? ? ? 1 ( 40 ? x ? 100 , x ? N ) 2 x ? 52
故 f ?x ? ? ?

x ? 22, 0 ? x ? 40, x ? N ?? x ? 52, 40 ? x ? 100, x ? N ?
1 4 1 2

(2)设日销售额为 S ? x ? ,则
当 1 ? x ? 40 时, S ? x ? ? f ? x ?g ? x ? ? ( x ? 22)? ?

1 4

109 ? 1 ? 1 x? ? ? ? ? x ? 88?? x ? 109 ? 3 ? 12 ? 3

? 对称轴为 x ?

109 ? 88 ? 10.5 ,? 当 x ? 10 或 x ? 11 时, ?S ? x ??max ? 808.5 (千元) 2
109 ? 1 ? 1 ?? 1 x ? 52 ?? ? x ? ? ? ? x ? 104 ?? x ? 109 ? 3 ? 6 ? 2 ?? 3

当 40 ? x ? 100 时, S ? x ? ? ? ?

? 对称轴为 x ?

104 ? 109 ? 106.5 ,? 当 x ? 40 时, ?S ? x ??max ? 736 ? 808.5 2

综上可得,销售额最高在第 10 天和第 11 天,最高销售额为 808.5(千元) 20.(本小题满分 8 分) 解: (1) g ? x ? ? x ? ?m ? 6 ?x ? 5 ,
2

m?6 ? 1 即 m ? 4 时, g min ? x ? ? g ?1? ? m ? 10 , 2 m?6 ②当 ? ? 3 即 m ? 0 时, g min ? x ? ? g ?3? ? 3m ? 14 , 2 2 m?6 ? m ? 6 ? ? m ? 12m ? 56 ③当 1 ? ? , ? 3 即 0 ? m ? 4 时, g min ? x ? ? g ? ? ?? 2 ? 4 2 ? m?0 ?3m ? 14, 2 ? ? ? m ? 12m ? 56 综上可得, g min ? x ? ? ? , 0?m?4 4 ? m?4 ? ?m ? 10, (2)由题可知,只需 b ? 2 x 2 ? 2ax ? a ? 5 在 x ? ?1,3?, a ? ?1,2? 时恒成立,
①当 ? 设 h? x ? ? 2 x ? 2ax ? a ? 5 ,即只需 b ? hmax ? x ?
2

??

a ? 1 ? hmax ? x ? ? h?3? ? 5a ? 13 2

? 只需 b ? 5a ? 13 恒成立

设 ? ?a ? ? 5a ? 13 ,只需 b ? ? max ?a ?

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? ? max ?a ? ? 23 ? b ? 23


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