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2013年5月北京朝阳区高三二模文科数学试题及参考答案


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(文史类)
2013.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知集合 M ? ?0,1,3? , N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N = A. ?0? B. ?0,3? C. ?1,3,9? D.

?

?

?0,1,3,9?

(2)已知 p : ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 , q : log 2 ( x ? 1) ? 1 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 开始

(3)函数 f ( x) ? sin( x ? ) ( x ? R )的图象的一条对称轴方程是

? 4

π π A. x ? 0 C. x ? D. x ? 4 2 16 ,则判断框内的条件是 (4)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ?

π B. x ? ? 4

S=0

n=1

S=S+n

n=n+2 否 是 输出 S

结束
(第 4 题图)

1

(5)若双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 2 相切,则此双曲线的 2 a b
B. 3 C. 6 D. 9

离心率等于 A. 2

?3 x ? 4 y ? 19, ? (6)将一个质点随机投放在关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内, ?y ?1 ?
则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 A.

? 12
1 6 1 2

B.

? 6

C. 1 ?

? 12

D. 1 ?

? 6

(7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A. B.

1 3

C.

D. 1 1

正视图

1

侧视图

1

俯视图

(第 7 题图)

(8)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, 给出下列命 ?? f ( x), x ? 0.

题: ① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是 A. ② B.①③ C.②③ D.①②

2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算

3?i ? 1? i

. .

(10)已知向量 a ? (2,1), b ? (3, x) ,若 (2a ? b) ? b ,则 x 的值为

(11)已知等差数列 ?an ?的公差为 ?2 , a3 是 a1 与 a4 的等比中项,则首项 a1 ? _,前 n 项和

S n ? __.
(12)若直线 l 与圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 相交于 A , B 两点,且线段 AB 的中点坐标是 (1, ?2) , 则直线 l 的方程为 . (13)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨( x 为 600 的约数),运费为 3 万元 /次,一年的总存储费用为 2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需 购买 吨. (14)数列 {2n ? 1} 的前 n 项 1,3,7,?, 2n ?1 组成集合 An ? {1,3,7,?, 2n ?1}(n ?N? ) ,从 集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,? , n ) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只 取一个数, 规定乘积为此数本身) 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . , 例如当 n ? 1 时,A ? {1} , 1

T1 ? 1,S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, A2 ? {1,3} ,T1 ? 1 ? 3 ,T2 ? 1? 3 ,S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .
则当 n ? 3 时, S3 ? ;试写出 Sn ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 在

?ABC







A, B, C















a, b, c





f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

3

(16) (本小题满分 13 分) 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级男生中抽取了一部分 学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米)的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成 [2, 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 五组,画出的频 率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目 测试的人数; (Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二
0.150
频率 组距

频率分布直方图

0.200

年级男生中任意选取一人, “掷实心球”成绩为 优秀的概率;
0.075

(Ⅲ )若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率. (17) (本小题满分 14 分)

a 0.025 2 4 6 8 10 12


如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面 A B C D PD ? EA , ,

AD ? PD ? 2 EA ? 2 , F , G , H 分别为 BP , BE , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: FG ? 平面 PDE ; (Ⅱ)求证:平面 FGH ? 平面 AEB ; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM ? 若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由. F E D G A B C H P

4

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的右焦点 F (1,0) ,长轴的左、右端点分别为 a 2 b2

???? ???? ? A1, A2 ,且 FA1 ? FA2 ? ?1 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过焦点 F 斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D . 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在,试 求点 E 到 y 轴的距离;若不存在,请说明理由.

(20) (本小题满分 13 分)
? 已 知 实 数 x1 , x2 ,?, xn ( n ? N 且 n ? 2 ) 满 足 | xi ? 1 |

?i ? 1,2, ???, n? , 记

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j .

(Ⅰ)求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ)当 n 为奇数时,求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

2 3

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?

j ? n )的乘积之和.

5

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案(文史类)
一、选择题: 题号 答案 (1) D (2) A (10)
?1 或 3

2013.5

(3) B (11) 8;

(4) C

(5) B (12)

(6) C (13)

(7) A

(8) C (14) 63 ;

二、填空题: 题号 (9) 答案

2-i

? n 2 ? 9n n ? N?

x ? y ?3 ? 0

30

2

n ( n?1) 2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分)

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 2 2 2 2 4 ? ? ?? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? . 4 4 4 3? ? ? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 .??7 分 4 4 2 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? . 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 C ? ,所以 A ? B ? ,则 B ? . 12 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ? 3. ? 由 得, b ? ????????13 分 ? ? sin A sin B sin A sin 4
(Ⅰ) f ( A) ? 2 cos (16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 . 所以此次测试总人数为

4 ? 40 . 0.05 ? 2
????????4 分

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人.

(Ⅱ )由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为

(0.15? 0.05) 2 0.4 ? ? ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人, “掷实心球”

6

成绩为优秀的概率为 0.4 .

????????7 分

(Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在 ? 2, 4 ? 有 2 人,记为 a , b ;在 ? 4,6 ? 有 6 人,记为 A, B, C , D, E, F . 从这 8 人中随机抽取 2 人有 ab, aA, aB, aC, aD, aE, aF , bA, bB, bC, bD, bE, bF ,

A B A C A D A, E A F B C ,B D , B E , B F, C D C , C ,F 共 28 种情况. F , , , , , , E DE DF E ,
事件 A 包括 aA, aB, aC, aD, aE, aF , bA, bB, bC, bD, bE, bF 共 12 种情况. 所以 P ( A) ?

12 3 ? . 28 7
3 . 7
???????????13 分

答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为

(17) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又因为 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . ?????4 分

P

H F E D G A B M C

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? CB . 又因为 CB ? AB , AB ? AE ? A , 所以 CB ? 平面 ABE . 由已知 F , H 分别为线段 PB , PC 的中点, 所以 FH ? BC . 则 FH 而 FH

? 平面 ABE . ? 平面 FGH ,
???????????????????9 分

所以平面 FGH ? 平面 ABE .

(Ⅲ)在线段 PC 上存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM .证明如下: 在直角三角形 AEB 中,因为 AE ? 1 , AB ? 2 ,所以 BE ? 5 . 在直角梯形 EADP 中,因为 AE ? 1 , AD ? PD ? 2 ,所以 PE ? 5 , 所以 PE ? BE .又因为 F 为 PB 的中点,所以 EF ? PB .

7

要使 PB ? 平面 EFM ,只需使 PB ? FM . 因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? CB ,又因为 CB ? CD , PD ? CD ? D , 所以 CB ? 平面 PCD ,而 PC ? 平面 PCD ,所以 CB ? PC . 若 PB ? FM ,则 ?PFM ∽ ?PCB ,可得

PM PF ? . PB PC

由已知可求得 PB ? 2 3 , PF ? 3 , PC ? 2 2 ,所以 PM ? (18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,

3 2 .??14 分 2

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
当 a ? 0 时,

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

?


0

?


0

?


当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
综上所述,

(??, ?1)

?1

(?1,1)
?


1

(1, ??)

?


0

0

?


当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) .

8

??????????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0, 1) 上 单 调 递 增 , f ( x) ? f (0) ; f ( x) 在 (1, e] 上 单 调 递 减 , 且
f (e) ? ae ?a ?a. e ?1
2

所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a . 因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以 g ?( x ) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ①当 0 ? a ? e 时,由 g ?( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ?( x) < 0 ,得 x ? a , 所以函数 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,在 ( a, e] 上单调递减. 所以 g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a . 因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . ②当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立, 所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a . 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,仍有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . 综上所述,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . (19) (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)依题设 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,则 FA ? (?a ?1,0) , FA2 ? (a ?1,0) . 1 由 FA ? FA2 ? ?1,解得 a ? 2 ,所以 b ? 1 . 1
2 2

a ? 1, x

???????13 分

????

????

???? ????

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 2
(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

????????????????4 分

9

由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . x2 ? 2 y 2 ? 2 ?

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

?k 4k 2 2(k 2 ? 1) 2k 2 , x1 x2 ? , x0 ? , y0 ? , 2 2 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

所以 M (

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1 1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) , 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k

直线 MD 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 xD ?

k2 k2 ,0) . ,则 D( 2 2k 2 ? 1 2k ? 1

若四边形 ADBE 为菱形,则 xE ? xD ? 2x0 , yE ? yD ? 2 y0 .

所以 E (

3k 2 ?2k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1 3k 2 2 ?2k ) ? 2( 2 )2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

若点 E 在椭圆 C 上,则 (

整理得 k ? 2 ,解得 k ?
4

2

2 .所以椭圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形.

此时点 E 到 y 的距离为

12 ? 3 2 . ??????????????????14 分 7

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

2 3

2 2 ? ? ?1 . 3 3
?????????3 分

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2 .
(Ⅱ) n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?
1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 .

固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} .

10

同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到, 于是 S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,3 )时,

1 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2 1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? . 2 2
因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 , 所以 S ?

1 3 ? ? ?1 ,且当 x1 ? x2 ? 1, x3 ? ?1 ,时 S ? ?1 , 2 2
?????????????????7 分

因此 Smin ? ?1. (Ⅲ) S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j

? x1x2 ? x1x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn .
固定 x2 , x3 ,?, xn ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S (?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 ,?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以此类推, 我们可以看出,S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 ,?, xn 所达到, 于是 S ? min {S ( x1 , x2 ,? , xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,?, n )时,

1 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] 2 1 n ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? . 2 2

11

当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 , 所以 S ? ?

1 ( n ? 1) ,另一方面,若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , 2 2

1 1 xn?1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,那么 S ? ? (n ? 1) ,因此 Smin ? ? (n ? 1) . ?1 ?2 2 2 2 2
??????????????????????13 分

12


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