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【高1数学】002-四种命题的形式、充分条件与必要条件


四种命题的形式、充分条件与必要条件
基础概念
一、基础知识概述 本周主要学习了四种命题的形式, 充分条件与必要条件等相关概念, 及反证法的思想. 充 分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件 p 和结论 q 之间 的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定 的两个命题的充要关系. 二、重点知识归纳

及讲解 1、命题的概念:可以判断真假的语句叫做命题. 2、简单命题与复合命题: 简单命题:不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,简单命题一 般不能分解出其它的命题,通常简单命题难以划分条件和结论,因此简单命题的真假判断不 能依靠命题逻辑推理,其真假只能依据客观事实或生活经验自行判断。以下命题均是简单命 题。 1+1=2, 5>3, 雪是白色的,今天没有下雨。 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。 简单命题通过"非"、“或”、“与”、“蕴含”以及“等值”这些命题连接词(亦称逻辑连 接词)而组成的命题称为复合命题。日常生活中的“如果??那么"、”只有??才“、”不 但??而且“、”虽然??但是“、”当且仅当"、“只有??”等连接词语均可符号化为最 基本的五种命题连接词。 以下例子都是复合命题:5≥3, 如果 x 是整数,那么 x+3 也是 整数。 3、判断复合命题的真假: (1)“非 p ”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p
真 假 即一个命题的否定与原命题的真假相反.

非p 假 真

(2)“ p 且 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p


q

1

p且q


真 假 假

假 真 假

假 假 假

即当 p 、 q 为真时, p 且 q 为真;当 p 、 q 中至少有一个为假时, p 且 q 为假. (3)“ p 或 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p或q
真 真 真 假

即当 p 、 q 中至少有一个为真时, p 或 q 为真;当 p 、 q 都为假时, p 或 q 为假. 4、原命题:若 p 则 q ( p 是原命题的条件, q 是原命题的结论); 逆命题:若 q 则 p (交换原命题的题设和结论); 否命题:若非 p 则非 q (同时否定原命题的条件与结论); 逆否命题:若非 q 则非 p (交换原命题的题设和结论后同时否定之). 四种命题及相互关系用图表表示为:

说明: ①原命题、否命题、逆命题和逆否命题是相互的. ②写原命题的否命题、 逆命题和逆否命题的关键是: 找出所给原命题的条件 p 与结论 q . 5、反证法:欲证“若 p 则 q ”为真命题,从否定其结论“非 p ”出发,经过正确的逻辑推 理得出矛盾,从而“非 p ”为假,即原命题为真,这样的方法叫反证法. 证题的步骤: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
2

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 说明: 反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法 比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明.反证法的基本思想:通过证明命题的否定 是假命题,从而说明原命题是真命题. 6、推断符号“ ? ”的含义: 由 p 经过推理可以得出 q ,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,此时可记作“ p ? q ”; 由 p 经过推理得不出 q ,即如果 p 成立,推不出 q 成立,此时可记作“ p ? ? q ”. 7、充分条件与必要条件: 一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的充分条件; q 是 p 的必要条件. 8、充要条件: 一般地, 如果既有 p ? q , 又有 q ? p , 就记作:p ? q . “?” 叫做等价符号.p ? q 表示 p ? q 且 q ? p .这时 p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,则 p 是 q 的充分必 要条件,简称充要条件. 9、充分条件与必要条件的分类: 命题按条件和结论的充分性和必要性可分为四类: 若 p ? q 但q ? ? p ,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若q ? p 但 p ? ? q ,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; 若p? ? q 且q ? ? p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 10、从集合角度理解:

① p ? q ,相当于 P ? Q ,即



即:要使 x ? Q 成立,只要 x ? P 就足够了——有它就行.

② q ? p ,相当于 P ? Q ,即



即:为使 x ? Q 成立,必须要使 x ? P ——缺它不行. q ? p 等价于 ?p ? ?q . ③ p ? q ,相当于 P ? Q ,即 即:互为充要的两个条件刻划的是同一事物. 三、难点知识剖析
3

本节的难点主要是充要条件的判断,其解决方法主要有: 1、 要理解 “充分条件” “必要条件” 的概念, 当 “若 p 则 q ” 形式的命题为真时, 就记作 p ? q , 称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判 断命题的真假. 2、要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”, “当且仅当”,“必须并且只需”,“ ? ,反之也真”等. 3、数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断 依据,又是概念所具有的性质. 4、从集合观点看,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件, B 是 A 的必要条件;若 A ? B ,则 A 、

B 互为充要条件.
5、证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命 题成立(即条件的必要性).

典型例题
例1、(1)“ ?ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 ?A 、 ?B 都是锐角”的否命题为( A. ?ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 ?A 、 ?B 都不是锐角 B. ?ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 ?A 、 ?B 不都是锐角 C. ?ABC 中,若 ?C ? 90? ,则 ?A 、 ?B 都不一定是锐角 D.以上都不对 (2)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 有有理根,那么
2



a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是(
A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数



B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数

C.假设 a 、 b 、 c 至多有一个是偶数 D.假设 a 、 b 、 c 至多有两个是偶数 (3)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说: “我获奖了”;乙说: “甲、丙未获奖”;丙说: “是甲或乙获奖”;丁说: “是乙获奖”.四 位歌手的话只有两句是对了,则是_______获奖了. 解析: (1)由命题之间的关系易选 B; (2)“至少有一个”的反面是“一个都没有”,故选 B; (3)设获奖用“1”表示,未获奖用“0”表示,则依次四人的话列表如下:
4

甲 甲:甲获奖 乙:甲、丙未获奖 丙:甲或乙获奖 丁:乙获奖 1 0 1 0

乙 0 1 1 1

丙 0 0 0 0

丁 0 1 0 0

由表可知,只有第一列符合四位歌手的话只有两句是对的,故是甲获奖了. 答案:(1)B;(2)B;(3)甲 例2、(上海)(1) a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 均为非零实数,不等式 a1 x 2 ? b1 x ? c1 ? 0 和 那么 “ a2 x 2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为集合 M 和 N , A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件

a1 b1 c1 是 “M ? N ” 的 ( ? ? ” a2 b2 c2



D.既非充分又非必要条件

(2)已知 p :| 3x ? 4 |? 2 , q : A.充分非必要条件 C.充要条件 解析: (1) 如果 “

1 ? 0 ,则 ?p 是 ?q 的( x ?x?2
2



B.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

a1 b1 c1 a b c ? ? ?0” , 则 “M ? N ” , 如果 “ 1 ? 1 ? 1 ? 0” , 则 “M ? N ” , a2 b2 c2 a2 b2 c2

所以“

a1 b1 c1 ? ? ”? ? “ M ? N ”,反之若“ M ? N ? ? ”,即说明二次不等式的解 a2 b2 c2

集为空集,与它们的系数比无任何关系,只要求判别式小于零.所以“ M ? N ” ? ? “

a1 b1 c1 a b c ? ? ”,因此“ 1 ? 1 ? 1 ”是“ M ? N ”的既不充分也不必要条件. a2 b2 c2 a2 b2 c2

(2)解法一: ∵ p : {x | x ? 2或x ? } , q : {x | x ? 2或x ? ?1} .

2 3

2 ? x ? 2} , ?q : {x | ?1 ? x ? 2} . 3 ∴ ?p ? ?q , ?q ? ? ?p .∴ ?p 是 ?q 的充分不必要条件.
∴ ?p : { x | 解法二: 由法一知,∴ q ? p , p ? ? q .∴ ?p ? ?q , ?q ? ? ?p .即: ?p 是 ?q 的充分不
5

必要条件. 答案:(1)D(2)A 例3、已知命题 p : 方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的实负根.命题 q :方程
2

4x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.
分析: 先分别求满足条件 p 和 q 的 m 的取值范围,再利用复合命题的真假进行转化与讨论. 解析: 由命题 p 可以得到: ?

?? ? m2 ? 4 ? 0 ?m ? 0

,∴ m ? 2 .

由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ,∴ 1 ? m ? 3 . ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假,∴ p 、 q 有且仅有一个为真. 当 p 为真, q 为假时, ?

?m ? 2 ? m ? 3, m ? 1 或 m ? 3 ?

当 p 为假, q 为真时, ?

?m ? 2 ?1? m ? 2 , ?1 ? m ? 3

1 ? m ? 2} . 所以, m 的取值范围为 {m | m ? 3或
例4、已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 (m ? 0) ,若 ?p 是 ?q 的充分而不必要 3

条件,求实数 m 的取值范围. 分析: 利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清命题中条件与结论的关系,再去解不等式, 找解集间的包含关系,进而使问题解决. 解析: 由 1?

x ?1 ? 2 解得: ? 2 ? x ? 10 ,则 ?p : A ? {x | x ? ?2或x ? 10} . 3

2 2 又当 m ? 0 时,由 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 得: 1 ? m ? x ? 1 ? m ,

则 ?q : B ? {x | x ? 1 ? m或x ? 1 ? m , m ? 0} . ∵ ?p 是 ?q 的充分非必要条件,

6

?m ? 0 ? ∴ A ? B ,结合数轴应有 ?1 ? m ? ?2 ,解得: 0 ? m ? 3 为所求. ?1 ? m ? 10 ?
例5、若 p ? 0 , q ? 0 , p 3 ? q 3 ? 2 .试用反证法证明: p ? q ? 2 . 分析: 此题直接由条件推证 p ? q ? 2 是较难的,由此用反证法证之. 证明: 假设 p ? q ? 2 ,∵ p ? 0 , q ? 0 .∴ ( p ? q)3 ? p3 ? 3 p 2q ? 3 pq2 ? q3 ? 8 . 又∵ p 3 ? q 3 ? 2 .∴代入上式得: 3 pq( p ? q) ? 6 ,即: pq( p ? q) ? 2 又由 p 3 ? q 3 ? 2 ,即 ( p ? q)( p 2 ? pq ? q 2 ) ? 2 代入 (1) 得:

(1) .

pq( p ? q) ? ( p ? q)( p 2 ? pq ? q 2 ) .
∵ p ? 0 , q ? 0 .∴ p ? q ? 0 . ∴ pq ? p 2 ? pq ? q 2 ,但这与 ( p ? q) 2 ? 0 矛盾, ∴假设 p ? q ? 2 不成立,故 p ? q ? 2 . 说明: 反证法:是一种证明题目的间接方法,在有些题目的证明中用反证法非常简洁,但并不 是每一题用反证都恰倒好处.那么,对于哪些题目适合用反证法呢?1)从这些条件推出所知 的也很少或无法用已知条件进行直接证明的;2)当问题中能用来作为推理依据的公理、定理 很少,无法直接证明或证明无从下手的;3)结论以否定的形式出现,无法引用定理来证明否 定形式的结论;4)对要证明的命题,已知它的逆命题是正确的;5)要求证明的命题适合某 种条件的结论唯一存在.对反证法的掌握,还有待于随着学习的深入,逐步提高.

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基础练习
一、选择题 1、有以下 5 个命题:(1)没有男生爱踢足球;(2)所有男生都不爱踢足球;(3)至少有 一个男生不爱踢足球; (4)所有女生都爱踢足球; (5)所有男生都爱踢足球.其中命题(5) 的否定是( A.(1) ) B.(2) C.(3) D.(4)

2、某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时,该命题成立,那么可得当 n ? k ? 1 时命题也成立,现已知当 n ? 5 时,该命题不成立,则可推出( A.当 n ? 6 时,该命题不成立 C.当 n ? 4 时,该命题不成立 B.当 n ? 6 时,该命题成立 D.当 n ? 4 时,该命题成立 )

3、设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | mx ? 1 ? 0} ,则 B 是 A 的真子集的一个充分不 必要的条件是( A. m ? {? ) B. m ? ?

1 , 3} 2

1 2

C. m ? {0 , ?

1 , 1} 2

D. m ?{0 , 2}

4、(湖北)有限集合 S 中元素个数记作 card( S ) ,设 A 、 B 都为有限集合,给出下列命题: ① A ? B ? ? 的充要条件是 card( A ? B) ? card( A) ? card( B) ;② A ? B 的必要条件是

card( A) ? card( B) ;③ A ? B (真包含)的充分条件是 card( A) ? card( B) ;④ A ? B 的
充要条件是 card( A) ? card( B) .其中真命题的序号是( A.③④ 二、填空题 5、有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②“若 xy ? 0 ,则 | x | ? | y |? 0 ”的逆 命题; ③ “若 a ? b , 则a?c ? b?c” 的否命题; ④ “矩形的对角线互相垂直” 的逆否命题. 其 中真命题共有_________个. 6、在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数可以是_________. 7、命题 p : {2} ?{1 , 2 , 3}, q : {2} ? {1 , 2 , 3} ,则对复合命题的下述判断:① p 或 q 为真; ② p 或 q 为假;③ p 且 q 为真;④ p 且 q 为假;⑤非 p 为真;⑥非 q 为假.其中判断正确的 序号是_________(填上你认为正确的所有序号). 8、如果 x 、 y 是实数,那么 xy ? 0 是 | x ? y |?| x | ? | y | 的________条件.
8



B.①②

C.①④

D.②③

9、若三条抛物线 y ? x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 , y ? x 2 ? (a ?1) x ? a 2 , y ? x 2 ? 2ax ? 2a 中至少 有一条与 x 轴有公共点,则 a 的取值范围是________. 10、设集合 U ? {( x , y) | x ? R , y ? R} , A ? {( x , y) | 2 x ? y ? m ? 0} ,

B ? {( x , y) | x ? y ? n ? 0} ,那么点 P(2 , 3) ? A ? CU B 的充要条件是________.
三、解答题: 11、已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 (m ? 0) ,若 ?p 是 ?q 的必要而不充分 3

条件,求实数 m 的取值范围. 12、 p : ?2 ? m ? 0 , 0 ? n ? 1 ; q :关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 有2个小于1的正根,试分
2

析 p 是 q 的什么条件. 13、已知关于 x 的实系数二次方程 x ? ax ? b ? 0 有两个实数根 ? 、 ? ,证明: | ? |? 2 且
2

| ? |? 2 是 2 | a |? 4 ? b 且 | b |? 4 的充要条件.

9

答案:1-4:C C B B 8:充分非必要条件 11、m>9, x1*x2=n 因为 0<x1<1 0<x2<1

5:○ 2 ○ 3

6:0或2或4.

7:○ 1 ○ 4 ○ 5 ⑥ 10:m>-1,n>5

9:a≥0或 a≤-3/2

12、p 是 q 的必要不充分条件

关于 X 的方程 x^2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根根据韦达定理 x1+x2=-m

所以可以推出:-2<m<0,0<n<1 但是还需要一个条件:△=m^2-4n>0 所以 p 不能推出 q ,q 可以推出 p 即 p 是 q 的必要不充分条件

13:证明 (1)充分性 由韦达定理,得|b|=|x1·x2|=|x1|·|x2|<2×2=4 设 f(x)=x2+ax+b,则 f(x)的图象是开口向上的抛物线 又|x1|<2,|x2|<2,∴f(±2)>0 即有 4+b>2a>-(4+b) 又|b|<4 4+b>0 2|a|<4+b (2)必要性 由2|a|<4+b f(±2)>0且 | b |? 4 ,f(x)的图象是开口向上的抛物线 ∴方程 f(x)=0的两根 x1,x2同在(-2,2)内或无实根 ∵x1,x2是方程 f(x)=0的实根, ∴x1,x2同在(-2,2)内,即|x1|<2且|x2|<2 其中 x1,x2就是题目中的 ? 、 ? 。

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