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导数的运算法则及复合函数的导数


第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数

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【课标要求】 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. 【核心扫描】

1.对导数四则运算法则的考查.(重点)
2.复合函数的考

查常在解答题中出现.(重点)

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自学导引 1.导数运算法则 法则 [f(x)± g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)· g(x)]′= f′(x)· g(x)+ f(x)· g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数,等于第一个函数 的导数乘上第二个函数,加上第一个函 数乘上第二个函数的导数

两个函数的商的导数,等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数,再 除以分母的平方
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2.复合函数的求导法则

复合函数
的概念

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通 过变量u,y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函 数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)).

复合函数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)
的求导法 的导数间的关系为yx′= yu′·ux′ ,即y对x的导 则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .

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想一想:若复合函数y=f(g(x))由函数y=f(u),u=g(x)复合而成, 则函数y=f(u),u=g(x)的定义域、值域满足什么关系? 提示 在复合函数中,内层函数u=g(x)的值域必须是外层函数y

=f(u)的定义域的子集.

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名师点睛 1.运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则, 不要求根据导数定义进 行推导,只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可. (2)①对于和差的导数运算法则, 可推广到任意有限可导函数的 和或差,即[f1(x)± 2(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)± 2′(x)± f′(x). f f ?± n ②[ af(x)± bg(x)]′=af′(x)± bg′(x); ③当 f(x)=1
? 1 ? g′?x? ? ? 时,有? ′=- 2 . g?x?? g ?x? ? ?

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(3)对于积与商的导数运算法则,首先要注意在两个函数积与商的
? f?x? ? ? 导数运算中,不能出现[f(x)· g(x)]′=f′(x)· g′(x)以及 ? ?g?x?? ′= ? ?

f′?x? 这样想当然的错误; 其次还要特别注意两个函数积与商的求 g′?x? 导公式中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则 中分子上是“-”.

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2.复合函数求导
对于复合函数的求导法则,需注意以下几点: (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当 选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要 特别注意的是中间变量的系数.如(sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′=2cos 2x,而(sin

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(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量换成自变量的函数.如求
? π? y=sin?2x+3?的 ? ?

π 导数,设 y=sin u,u=2x+3,则 yx′=yu′·x′=cos u· u 2=2cos u
? π? =2cos?2x+3?. ? ?

(4)复合函数的求导运用熟练后,中间步骤可省略不写.

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题型一

利用导数的运算法则求函数的导数

【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=x· x;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); tan x+3 2 (3)y= 2 ;(4)y=xsin x- ; cos x x +3 x5+ x7+ x9 (5)y= ; x x x (6)y=x-sin2cos2.

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[思路探索] 可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数公式 和四则运算法则求解. 解 (1)y′=(x· tan
?xsin x? x)′=? cos x ?′ ? ?

?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = cos2x ?sin x+xcos x?cos x+xsin2x = cos2x sin xcos x+x = . cos2x

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(2)∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3 +6x2 +11x+6)′=3x2 +12x +11. ?x+3?′?x2+3?-?x+3??x2+3?′ -x2-6x+3 (3)y′= = . ?x2+3?2 ?x2+3?2 (4)y′=(xsin
? 2 ? x)′-?cos x?′=sin ? ?

2sin x x+xcos x- cos2x .

x5+ x7+ x9 2 3 4 (5)∵y= =x +x +x , x ∴y′=(x2+x3+x4)′=2x+3x2+4x3.
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(6)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2
? ? 1 1 ?x- sin x?′=x′- (sin ∴y′= 2 2 ? ?

1 x)′=1- cos x. 2

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解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点, 选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、

差、积、商几种运算,在求导之前一般应先将函数化简,然后求
导,以减少运算量.

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【变式 1】 求下列函数的导数:(1)y=5-4x3; 1 (2)y=3x +xcos x;(3)y=e · x;(4)y=lg x- 2. ln x
2 x



(1)y′=-12x2;

(2)y′=(3x2+xcos x)′=6x+cos x-xsin x; ex x (3)y′= +e · x; ln x 1 2 (4)y′=xln 10+x3.

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题型二

求复合函数的导数

【例 2】 求下列函数的导数. 1 (1)y= 2; 1-2x (2)y=e2x+1; (3)y=( x-2)2; (4)y=5log2(2x+1). [思路探索] 可分析复合函数的复合层次,再利用复合函数的 求导法则求解.

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(2)y=eu,u=2x+1, ∴y′x=y′u· x=(eu)′· u′ (2x+1)′=2eu=2e2x+1.

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(3)法一

∵y=( x-2)2=x-4 x+4,

∴y′=x′-(4 x)′+4′ =1-4× 法二 =2( 2 =1- . x

令 u= x-2,则 y′x=y′u· x=2( x-2)· x-2)′ u′ (
?1 1 ? ? x-2)?2· -0?=1- ? x ? ?

2 . x

(4)设 y=5log2u,u=2x+1, 10 10 则 y′=5(log2u)′(2x+1)′=uln 2= . ?2x+1?ln 2

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应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面:

(1)中间变量的选取应是基本函数结构.
(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个 变量的求导. (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导. (4)善于把一部分表达式作为一个整体.

(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中
间步骤.

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【变式 2】 求下列函数的导数: (1)y=ln(x+2); (2)y=sin 4+cos 4; 1+ x 1- x (3)y= + . 1- x 1+ x
4x 4x

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解 (1)y=ln u,u=x+2 1 1 ∴y′x=y′u· x=(ln u)′· u′ (x+2)′=u· 1= . x+2 (2)∵y=sin 4+cos 4
? ? 2x 2x 2 2x 2x =?sin 4+cos 4? -2sin cos 4 4 ? ?
4x 4x

1 2x 1 1-cos x 3 1 =1- sin =1- · = + cos x, 2 2 2 2 4 4 1 ∴y′=-4sin x.

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1+ x 1- x ?1+ x?2 ?1- x?2 (3)∵y= + = + 1-x 1-x 1- x 1+ x 2+2x 4 = = -2, 1-x 1-x
? 4 ? -4?1-x?′ 4 ? ? ∴y′=?1-x-2?′= = 2 2. ?1-x? ?1-x? ? ?

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题型三 求导法则的应用 【例3】 求过点(1,-1)与曲线f(x)=x3-2x相切的直线方程.

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[规范解答] 设 P(x0,y0)为切点,则切线斜率为 k=y′|x=x0=3x2-2(2 分) 0 故切线方程为 y-y0=(3x2-2)(x-x0) ① 0 ∵(x0,y0)在曲线上,∴y0=x3-2x0 0 又∵(1,-1)在切线上,
3 ∴将②式和(1,-1)代入①式得-1-(x0-2x0)

(3 分) (4 分)



=(3x2-2)(1-x0). 0 1 解得 x0=1 或 x0=-2.

(6 分) (8 分)

5 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=- (x-1). (10 分) 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
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(12 分)
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【题后反思】 点(1,-1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不 一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交

点,解题时注意不要失解.

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【变式3】 若将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线 方程,结果会怎样? 解 ∵点A(1,-1)在曲线上,点A是切点,∴在A处的切线方

程为x-y-2=0.

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方法技巧 数形结合思想在导数中的应用

数形结合的原则:(1)等价性原则:在数形结合时,代数性质

和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时, 由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性

质只能是一种直观而浅显的说明.(2)双向性原则:在数形结合时, 既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相

辅相成,仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分
析,在许多时候是很难完成的.(3)简单性原则:找到解题思路之 后,至于用几何方法还是采用代数方法,则取决于哪种方法更为 简单有效,“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果.

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【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x=kx 解的个数. [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y=ln x 与直线 y=kx 相 切时 k 的值,借助图形回答问题. 解 如图,方程 ln x=kx 的解的个数就是直线 y=kx 与曲线 y

=ln x 交点的个数. 设直线 y=kx 与 y=ln x 切于 P(x0,ln x0) ,则 kx0=ln x0. 1 ∵(ln x)′= , x

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1 ∴k= ,kx0=1=ln x0. x0 1 ∴x0=e,k= . e 1 结合图象知:当 k≤0 或 k=e时, 方程 ln x=kx 有一解. 1 当 0<k< 时,方程 ln x=kx 有两解. e 1 当 k> 时,方程 ln x=kx 无解. e

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方法点评 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 y =f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.导数的这一几何意义为导 数与解析几何的沟通搭建了一个平台.因此从某种意义上说,导 数也就是数形结合的桥梁.

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