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山东省济南第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


济南一中 2014—2015 学年度第 2 学期期末质量检测 高二数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考 试结束后,将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科 目填涂在试卷和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷(共 80 分) 一、选择题:本大题共 20 个小题,每小题 4 分,共 80 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、若集合 A= x | x ? 1 ,x ? R , B=?x | x ? 0,x ? R? ,则 A ? B = ( A.

?

?

) D. ? )

?x | ?1 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

2、复数 z1 ? ?3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则复数 z ? z1 ? z2 在复平面内所对应的点在( A.第一象限
3

B.第二象限

C.第三象限 )

D.第四象限

3、曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线方程为( A. 3 x ? y ? 3 ? 0 4、若 a ? 3
0 .6

B. 3 x ? y ? 3 ? 0
3

C. 3 x ? y ? 0 ) D. b ? c ? a )

D. 3 x ? y ? 3 ? 0

, b ? log3 0.6 , c ? 0.6 ,则( B. a ? b ? c C. c ? b ? a

A. a ? c ? b

5.若 f ? x ? 是幂函数,且满足

f ?9? ? 2 ,则 f ? 3?

?1? f ? ? =( ?9?
C.

A. 4

B. 2

1 4

D.

1 2


6.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 7、计算 ? log 5 4 ? ? ? log16 25 ? ? ( A. 1 B. 2 C. ) B. 假设三内角都不大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度

1 2

D.

1 4

8. 执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31 ,则图中判断框内①处 应填( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

1

9.函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有(
3 2



A、极大值 5,无极小值 C、极大值 5,极小值-27

B、极小值-27,无极大值 D、极大值 5,极小值-11 )

10.已知 f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? f1' ( x), f3 ( x) ? f 2' ( x),..., f n ( x) ? f n'?1 ( x), 则 f 2015 ( x) 为( A. sin x B. ? sin x C. cos x D. ? cos x ) . D. y ? cos x

11、下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( A. y ? x3 B. y ? ln x C. y ?

1 x2

12、设函数 f ( x) 定义在实数集 R 上, f (2 ? x) ? f ( x) ,且当 x ? 1 时 f ( x) = 1nx ,则有( A. f ( ) ? f (2) ? f ( )
2



1 3

1 2

B. f ( ) ? f (2) ? f ( )

1 2

1 3

C. f ( ) ? f ( ) ? f (2)

1 2

1 3

D. f (2) ? f ( ) ? f ( ) )

1 2

1 3

x 13. 已知 a ? R, 则“ a ? a ? 0 ”是“指数函数 y ? a 在 R 上为减函数”的(

A.充分不必要条件 14.函数 f ? x ? ? log 2 x ? A. ?1, 2 ?

B.必要不充分条件

C.必要条件 ) C. ? 2,3?

D.既不充分也不必要条件

1 的零点所在的区间为( x B. ? 0,1?

D. ? 3, 4 ? )

15、设函数 f ( x) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是( A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

16、已知 f ? x ? ? 3sin x ? ? x ,对任意的 x ? (0, ① f ? ? x? ? 0 ; ② f ? ? x? ? 0 ; A.①③ 17.函数 f ( x)= B.①④

?
2

) ,给出以下四个结论:


③ f ? x ? ? 0 ; ④ f ? x ? ? 0 ,其中正确的是( C.②③ ) D.②④

lg x 的大致图像为( x2

2

18、设函数 f ? x ? ? ? (A)1

?3x ? b,  x ? 1 ,若若 x ?2 ,  x ? 1
(B)

? f? ?

? 5 ?? f ? ? ? ? 4 ,则 b ? ( ? 6 ??
3 4
(D)



7 8

(C)

1 2

19、设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 y ? ( x ?1) f ? ? x? 的图象如图所示,则关于函 数 f ? x ? 的下列结论,一定成立的是( A. f ? x ? 有极大值 f ? 2 ? 和极小值 f ?1? B. f ? x ? 有极大值 f ? ?2? 和极小值 f ?1? C. f ? x ? 有极大值 f ? 2 ? 和极小值 f ? ?2? D. f ? x ? 有极大值 f ? ?2? 和极小值 f ? 2 ? 20、 设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数, 若对任意的 x ? ? a, b? , 都有 | f ( x) ? g ( x) |? 1, 则 称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b? 上 是 “ 密 切 函 数 ” , ? a, b? 称 为 “ 密 切 区 间 ” , 设 f ( x) ? x ? 3x ? 4 与
2



,则它的“密切区间”可以是( g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b? 上是“密切函数” A. [1, 4] B. [2, 4] C. [2,3] D. [3, 4]



第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 21、已知函数 f ( x) ?

ln x ,则函数 f ( x) 的单调递增区间为 x

x 22、已知函数 f ( x) ? a ? b (a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 [?1, 0] ,则

a?b ?
23、执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1 ,则输出的 y 的值是

24 、 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有

), 则 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 当 x ? [0, 2) 时 , f ( x) ? log2 ( x ? 1
f (?2014) ? f (2015) 的值为_______________.

3

25、观察下列等式:

?12 ? ?1

?12 ? 22 ? 3 ?12 ? 22 ? 32 ? ?6 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 10 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ?15
????????

(? 1 )n ? 照此规律,则 ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ?
2 2 2 n 2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26、 (本小题满分 12 分) 设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 错误!未找到引用源。,其中 a ? 0 ;命题 q :实数错误!未找
2 2

到引用源。满足 x ? 2 x ? 8 ? 0 错误!未找到引用源。且 ? p 是 ? q 错误!未找到引用源。的必要不充分
2

条件,求实数 a 的取值范围. 27、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c , 曲线 y ? f ? x ? 在点 x ? 0 处的切线为 l : 4 x ? y ? 5 ? 0 , 若 x ? ?2 时,
3 2

y ? f ? x ? 有极值。
(Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)求 y ? f ? x ? 在 ? ?3,1? 上的最大值和最小值. 28. (本题满分 12 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ( a , b 为常数, a ? 0 )且)满足条件:
2

f ? x ?1? ? f ?3 ? x ? ,且方程 f ? x ? ? 2x 有两等根。
(1)求 f ( x) 的解析式. (2)求 f ( x) 在 ?0, t ? 上的最大值. 29. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ? ax, x ? R, a ? R 3 2

/ (Ⅰ)若 f (0) ? ?2 ,求函数 f ( x) 的极值;

4

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,求 a 的取值范围.

5

高二期末考试文科数学(答案) 一、选择题 CBBAC AABAD BCBAD DDDCC

二、填空题 21. ? 0, e? 三、解答题 26. 解:设错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. ????? 5 分 22. ?

3 2

23.

13

24. 1

25.

? ?1?

n

?

n ? n ? 1? 2

错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的必要不充分条件,错误!未找到引用源。错误!未找到 引用源。必要不充分条件, 错误!未找到引用源。, ???8 分

所以错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。,所以实数错误!未找到引用源。的取值范围是错 误!未找到引用源。.???12 分 27. 解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 得, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 当 x ? 0 时,切线 l 的斜率为 ?4 ,可得 b ? ?4 当 x ? ?2 时, y ? f ? x ? 有极值,得 f ' ? ?2? ? 0 可得 12 ? 4a ? b ? 0 由①②解得 a ? 2, b ? ?4 由于切点的横坐标为 x ? 0,? f ? 0? ? 5 ② ?????4 分 ① ?????2 分 ?????3 分

? c ? 5? a ? 2, b ? ?4, c ? 5
3 2

?????6 分

(2)由(1)可得 f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5

? f '( x) ? 3x2 ? 4x ? 4
令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ?

?????7 分

2 ?????8 分 3

当 x 变化时, y, y ' 的取值及变化如下表:

6

x

?3

? ?3, ?2?
?

?2

2? ? ? ?2, ? 3? ?
?

2 3
0

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1

y'

0 13

?
4

y

8

95 27 95 27

? y ? f ? x ? 在 ??3,1? 上的最大值为 13,最小值为
2

12 分

28. 解: (1)∵ 方程 ax ? bc ? 2 x ? 0 有两等根, ∴ ? ? (b ? 2)2 ? 0 ,解得 b ? 2 ????2 分 由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知,此函数图象的对称轴是直线 x ? ? 解得 a ? ?1
2

b ? 1 ,????4 分 2a

????5 分

故 f ( x) ? ? x ? 2 x ????????6 分 (2) ∵ 对称轴 x ? 1 , ∴ 当 a ? 1 时, f ( x) 在 ?0, a ? 上是增函数, ∴ f ?a?max ? f ?a? ? ?a 2 ? 2a ???? 8分 当 a ? 1 时, f ( x) 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1, a? 上是减函数,∴ f ?a ?max ? f ?1? ? 1????11 分 综上: f ?a ?max ? ?

1, a ? 1 ? ??????12 分 2 ?? a ? 2a, a ? 1
2

29. 解: (Ⅰ)f′(x)=x +(a+2)x+a, 由 f′ (0)=-2,得 a=-2,???1 分 1 3 2 ∴f(x)= x -2x , f′(x)=x -2,令 f′(x)=0,得 x= 2 或 x=- 2,???? 2 分 3 当 x 变化时,f′(x),f (x)变化情况若下表:

x f′
(x) ?(

(-?,- 2 ) +

- 2 0

(- 2, 2) -

2 0

( 2,+?) +

单调递增

单调递减

单调递增

x)
4 2 4 2 , f 极小 ( x) ? f ( 2) ? ? ;??????????7 分 3 3
/ 2

由上表得 f极大 ( x) ? f (? 2) ?

(Ⅱ)若函数?(x)在(1,2)上单调递增,则? (x)=x +(a+2)x+a≥0 在 x?(1,2)上恒成立, ∴a≥ ?
x2 ? 2 x ,在 x?(1,2)上恒成立. x ?1

?????????????????? 9 分
7

令 h(x)=-

(2 x ? 2)( x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x) ( x ? 1) 2 ? 1 x2 ? 2 x ?? ?0, , x ? (1, 2) ,因为 h′(x)= ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1

12 分

3 ∴h(x)在(1,2)上单调递减,所以 h(x) < h(1)=- , 2 3 3 ∴a≥- ,因此 a 的取值范围为[- ,+?).??????????????14 分 2 2

20 详解. C【解析】试题分析:解:因为 f ?x ? 与 g ?x ? 在 ?a, b? 上是“密切函数”
2 2 则 f ?x? ? g ?x? ? 1 ,即 x ? 3 x ? 4 ? ?2 x ? 3? ? 1 ,即 x ? 5 x ? 7 ? 1 ,

化 简 得 ? 1 ? x 2 ? 5x ? 7 ? 1 , 因 为 x 2 ? 5 x ? 7 的 ? ? 0 , 即 与 x 轴 没 有 交 点 , 由 开 口 向 上 得 到

x 2 ? 5 x ? 7 ? 0 ? ?1 恒成立;所以由 x 2 ? 5 x ? 7 ? 1 ,解得 2 ? x ? 3 ,所以它的“密切区间”为 ?2,3? ,故
答案为 C.

8


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