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课件 选修2-2:1.3.1 函数的单调性与导数


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安徽省滁州市第二中学高二数学备课组 2014年12月15日

复习引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f (

x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数;
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G=(a,b)

y

y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

定义法

判断函数单调性有哪些方法?

图象法 已知函数

以前,我们主要采用定义法去判断函数的 单调性. 在函数y=f(x) 比较复杂的情况下,比较 f(x1)与f(x2)的大小并不容易. 如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单.

观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h ( t ) ? ? 4 . 9 t 2 ? 6 . 5 t ? 10 的图象, 图(2)表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v ( t ) ? ? 9 .8 t ? 6 .5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
①运动员从起跳到
h
v

(1)
O t O a b

(2)
a
t b

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v ( t ) ? h ? ( t ) ? 0 .

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v ( t ) ? h ? ( t ) ? 0 .

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y= x2 y

y=

x3

y

y?
x O

1 x
x

O

x
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O
x O

结论
在某个区间(a,b)内,如果 f ? ( x ) ? 0 ,那么函数

y ? f ( x )在这个区间内单调递增; 如果 f ? ( x ) ? 0,
那么函数 y?

f ( x ) 在这个区间内单调递减.

当 x > 4 , 或 x < 1时 , f ? ( x ) ? 0 ; 当 x = 4 , 或 x = 1时 , f ? ( x ) ? 0 . 试画出函数 f ( x ) 的图象的大致形状.
zxxkw

例1 已知导函数 f ? ( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ? ( x ) ? 0 ;

解:

当1 < x < 4 时, f ? ( x ) ? 0 , 可知 f ( x ) 在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ? ( x ) ? 0 , 可知 f ( x ) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x ) ? 0 .
综上, 函数 f ( x )图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

练习 P26 2
2.函数 y ? f ( x ) 的图象如图所示, 试画出导函数

f ?( x ) 图象的大致形状

10

8

6

4

课本P93:练习2:
2

a
-10 -5 5 -2

b

C
10 15

-4

-6

-8

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) ? x ? 3 x ; ( 2 ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ;

( 3 ) f ( x ) ? sin x ? x , x ? ( 0 , ? );
( 4 ) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1 .
3 2 3 (1) 因为 f ( x ) ? x ? 3 x , 所以 解: 2 2

f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1) ? 0 . 因此, 函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 在 x ? R 上单调递增.
单调递增区间为(-?,+?)

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) ? x ? 3 x ; ( 2 ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ;

( 3 ) f ( x ) ? sin x ? x , x ? ( 0 , ? );
( 4 ) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1 .
3 2
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(2) 因为 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 , 所以
2

当 当

f ? ( x ) ? 2 x ? 2 ? 2 ( x ? 1 ). f ? ( x ) ? 0, 即 x ? 1时, 函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递增; f ? ( x ) ? 0 , 即x ? 1 时, 函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递减.

? 单调递增区间为(1,+?);单调递减区间为(-?,1);

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) ? x ? 3 x ; ( 2 ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ;

( 3 ) f ( x ) ? sin x ? x , x ? ( 0 , ? );
( 4 ) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 24 x ? 1 .
3 2

解: (3) 因为 f ( x ) ? sin x ? x , x ? ( 0 , ? )

, 所以

f ? ( x ) ? co s x ? 1 ? 0 .
因此, 函数 f ( x ) ? sin x ? x 在 x ? ( 0 , ? ) 上单调递减.

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 3 2 (1) f ( x ) ? x ? 3 x ; ( 2 ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ;

( 3 ) f ( x ) ? sin x ? x , x ? ( 0 , ? );
( 4 ) f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1 . 2 (4) 因为 f ?( x ) ? 6 x ? 6 x ? 24 , 所以


f ?( x ) ? 0 , 即 x ? ? 1 ? 17 或x ? ? 1 ? 17 2 2 f ( x ) 单调递增;

f ?( x ) ? 0 ,

时, 函

当 f ( x )单调递减.
? 单调递增区间为(



? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 2 2

时,函数

-1+ 17 -1- 17 -1- 17 -1+ 17 ,+?);(-?, );单调递减区间为( , ) 2 2 2 2

求可导函数f(x)单调区间的步骤:

(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间)

练习 P26 1
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
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(2) f ( x ) ? e x ? x ;

(3) f ( x ) ? 3 x ? x 3 .

1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x ) ? e ? x;
x

(2) f ( x ) ? 3 x ? x .
3

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减

注意:应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。

练习:

(3) f(x)= sinx-x x ?????????? 练习、判断下列函数的单调性,并求出单调区间。 ?
(4) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3

总结:用“导数法” 求单调区间的步骤: (1)求函数的定义域

(2)求函数的导数
(3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围

(4)下结论, 写出函数的单调区间。

证明可导函数f(x)在(a,b)内单调性的步骤:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论

例 求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数
证明: 因为f(x)=2x3-6x2+7 ?f/(x)=6x2-12x=6x(x-2), 当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)<0, ?函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数

补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数; 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;

1 例 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若( f x) x 在x ?(0 ,1]上是增函数,求a的取值范围.
解:由已知得

2 f ' (x ) ? 2 a ? 3 x

因为函数在(0,1]上单调递增

2 ? f '(x) ? 0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x ? g(x)max ? g(1)=-1

? a ? -1

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对 应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t
(C)

O

t (D)

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得

快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x ) 在 或 ( a , b ) 内的图象“陡峭”,

在 ( ? ? , a ) 或 ( b , ? ? ) 内的
图象“平缓”.

1 例 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 证 令f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x )=0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

知识小结 : 一般地,函数y=f(x)在某个区间内:
如果 。 如果 。
f’(x)>0

,则 f(x)在该区间是增函数 ,则 f(x)在该区间是减函数

f’(x)<0

正负 导函数f’(x)的-----与原函数f(x)的增减性有关
求单调区间的步骤 :
(1)求函数的定义域 (2)求函数的导数 (3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围,即 函数的单调区间。

函数f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 其中a , b, c为常数,
3 2

当a 2 ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数

作业 P31 2(3)(4) 3


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