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等差数列、等比数列知识点梳理


等差数列和等比数列知识点梳理
第一节:等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一 项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记: an ? an?1 ? d (d 为公差) n ? 2 , n ? N * )注:下面所有涉及 n , n ? N * 省略,你懂的。 ( 2、等差数列通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差

推广公式: an ? am ? (n ? m)d 变形推广: d ? 3、等差中项 (1) 如果 a ,A , 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即: b
A? a?b 2

an ? am n?m

或 2A ? a ? b

(2)等差中项:数列 ?a n ?是等差数列
? 2a n ? a n-1 ? a n?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2

4、等差数列的前 n 项和公式:
Sn ?
?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
d 2 1 n ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数 项为0) 特别地, 当项数为奇数 2n ? 1 时,an?1 是项数为 2n+1 的等差数列的 中间项
S2 n ?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1(项数为奇数的等差数列的各项

和等于项数乘以中间项) 5、等差数列的判定方法

(1) 定义法: an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?a n ?是 若 等差数列. (2)等差中项:数列 ?a n ?是等差数列
? 2a n ? a n-1 ? a n?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2

(3)数列 ?a n ?是等差数列 ? a n ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。 (4)数列 ?a n ?是等差数列 ? Sn ? An 2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?a n ? 是等差 数列. 7、等差数列相关技巧: (1) 等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素:a1 、
d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中

的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ? 1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差 为d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意; 公差为 2 d ) 8、等差数列的性质: (1) 当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和
Sn ? na1 ? n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 2 2 2

0。 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减 等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p 。 (注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , )当然扩充 到 3 项、4 项??都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系

数之和相等。 (4)?an ? 、?bn ? 为等差数列,则 ?? an ? b?,?1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ? (5) 若{ a n }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数 列 (6) 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 每 隔 k(k ? N * ) 项 取 出 一 项 ( am , am?k , am? 2k , am?3k , ??? )仍为等差数列 (7) ?a n ?、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,则 an ? A2 n ?1
bn B2 n ?1

(8) 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n , m 项和 Sn ? m , 前 则前 m+n 项和 Sm? n ? ? ? m ? n ? ,当然也有 an ? m, am ? n ,则 am? n ? 0 (9)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求 二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 法二: “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有 (1) 非负项之和 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?
?a n ? 0 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有 非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?a n ?中正负分界项 法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前 n项和的图像 是过原点的二次函数, n取离二次函数对称轴最近的整数时,S n 取 故 最大值(或最小值) S p = S q则其对称轴为 n ? 。若
p?q 2
?a n ? 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值. an ?1 ? 0 ?

注意:Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) ,对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论 当 n ? 1 的情况。

解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量。 (以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是 很难,并能够学会运用)

第二节:等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 , a1 为首项, q 为公比

an ? q ? q ? 0 ?? n ? 2 ? , q 为公比 an ?1

推广公式: an ? am q n ?m , 从而得 q n?m ? 3、等比中项

an am

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即:
A2 ? ab 或 A ? ? ab

注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项 有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?a n ?是等比数列 ? an 2 ? an ?1 ? an ?1 4、等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2) 当 q ? 1 时, Sn ?
?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A( A, B, A ', B ' 为常数) ' 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法

(1) 用定义: 对任意的 n,都有 an?1 ? qan或 为等比数列

an ?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

(2) 等比中项: an 2 ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? ? {an } 为等比数列 (4) 前 n 项和公式:
Sn ? A ? A ? B n或Sn ? A ' B n ? A ' ? A, B, A ', B ' 为常数 ? ? {an } 为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7、等比数列相关技巧: (1) 等比数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素:a1 、
q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中

的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:
an ? a1q n ?1

如奇数个数成等比,可设为?,

a a , , a, aq , aq 2 ?(公比为 q ,中间项 2 q q

用 a 表示) ;注意隐含条件公比 q 的正负 8、等比数列的性质: (1) 当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q n?1 ? 数的类指数函数,底数为公比 q ②前 n 项和 Sn ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? a1q n a 1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系 1? q 1? q 1? q

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系 q

数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q (2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? am q n ?m ,特别的,当 m=1 时, 便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更 具有一般性。 (3) 若 m ? n ? s ? t ( m, n, s, t ? N * ),则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为 非零常数) 均为等比数列。 (5) 数 列 {an } 为 等 比 数 列 , 每 隔 k(k ? N * ) 项 取 出 一 项 ( am , am?k , am? 2k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 S n , S2n ? Sn , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为 等 比 数 列 , 则 数 列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n ,
a2 n?1 ? a2 n ?2 ??????a3n 成等比数列

k an

a bn

(9) ①当 q ? 1 时,
? 0,则{ a }为递增数列 {a11 ?0,则{ann }为递减数列 , a

②当 0<q ? 1 时,
? 0,则{ an }为递减数列 {a1 ? 0,则{an }为递增数列 a1

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,
S奇 S偶 ? 1 ,。 q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn? m ? Sn ? q n ? Sm

注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比 q ? 1 的特殊情况。 解决等比数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 q 的方程; ②巧妙运用等比数列的性质, 一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量。

关于等差、等比两个引申: an ? kan?1 ? b 模式(其中 k , b 为常数, ; n ? 2 ) an ? pan ?1 ? p n 模式(其中 p 为常数, n ? 2 )
在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解: 例1 已知数列 ?an ? ,有 an ? 3an ?1 ? 4 ( n ? 2 ) ,则求该数列的通项公式

解题大致思路: 先设 an ? b ? 3(an ?1 ? b) , 则对于 an ? 3an ?1 ? 4 ? an ? 2 ? 3(an ?1 ? 2) , 那么我们就可以构造数列 ?an ? 2? 为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新 数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当 n ? 1 的这种情况了吗? 例2 已知数列 ?bn ? ,有 bn ? 2bn ?1 ? 2 ( n ? 2 ) ,求该数列的通项公式
n n

解题的大致思路: bn ? 2bn ?1 ? 2 ( n ? 2 ) ?

bn 2bn ?1 b b ? n ? 1 ? n ? n?1 ? 1 ,相信你已 n n 2 2 2 2n ?1

经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个 模式能让你意识到求数列中的构造思想。


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