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2015年全国高考数学新课标1文数(word精教版,带详细解析)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个 数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,

向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A ) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组 勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股 数的概率为 10 1 1 1 (A ) (B) (C) (D) 3 5 10 20 1 (5) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: y?=8x 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6 ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (7)已知 是公差为 1 的等差数列, 则 =4 , =

(A)

(B)

(C)10

(D)12

(8)函数 f(x)= (A) (k

的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

- ,k

- ),k

(B ) (2k

- , 2k

- ),k

(C) (k - , k - ),k

(D) (2k - , 2k - ),k

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=

(10)已知函数 (A)-

7 5 3 1 (B)(C)(D)4 4 4 4 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14 )已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点( 1 , f(1) )处的切线过点( 2,7 ) ,则 a= .

(15)x,y 满足约束条件 (16) 已知 F 是双曲线 C: x2-

,则 z=3x+y 的最大值为.
y2 =1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A (0,6 6 ) . 8

当△APF 周长最小是,该三角形的面积为

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积 (18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为
6 ,求该三棱锥的侧面积 3

(19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 和年销售量 (i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点 图及一些统计量的值。

x

y

w

?
i ?1

8

(x1- x )2

?
i ?1

8

(w1- w )2

?
i ?1

8

(x1- x ) (y- y )

?
i ?1

8

( w1- w )

(y- y ) 46.6 563 6.8


289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1,

w =

1 8

?w1
i ?1

8

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?

(ii)

年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? vn),其回归线 v= ? ? ? u

附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

(21).(本小题满分 12 分)设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点的个数;
2 。 a 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题 计分。作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线;

(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

(Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. (1) 当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2) 若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 2. 答案:C 解析:∵ 3. 答案:B 解析: 如图所示, 约束条件所表示的区域为图中的阴影部分, 而目标函数可化为 y ? 先画出 l0:y=

2 2 =1-i,∴ =|1-i|= 2 . 1? i 1? i

2 z x? , 3 3

2 x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由 3

? x ? 3, 可得 C(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4= ? ? x ? y ? 1 ? 0,
-6. 4. 答案:B 解析:A=π -(B+C)= π ? ? 由正弦定理得

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12

a b ? , sin A sin B 7π 2sin b sin A 12 ? 6 ? 2 , 则a ? ? π sin B sin 6 1 1 2 ∴S△ABC= ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ? 1. 2 2 2
5. 答案:D 解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30°=

2 3 | PF2 | x 3 ,得 x ? c. ? ? 3 | F1F2 | 2c 3

而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴a ?

3 c c 3 x ? 3c ,∴ e ? ? . ? 2 a 3c 3

6. 答案:A 解析:由半角公式可得, cos ? ? ?
2

? ?

π? ? 4?

π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 2 ? 1 ? sin 2? ? 3 ? 1. ? ? = 2 2 2 6
7. 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2;

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 T? ,S= 1+ ? ,k=4; 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 ? T? , S ? 1? ? ,k=5; 2 3? 2 4 ? 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 ? 输出 S ? 1 ? ? . 2 3? 2 4 ? 3? 2 T?
8. 答案:D 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>

1 1 > >0,即 log23>1>log32>log52 log 2 3 log 2 5

>0,∴c>a>b. 9. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 10. 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,

t x | NB | | BK | ? ,得 ? , 3t x ? 4t | AM | | AK | | NB | t 1 ? ? , 解得 x=2t,则 cos∠NBK= | BK | x 2
在△AMK 中,由 ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k=tan 60°= 3 ,故直线方程为 y= 3( x- 1) . 当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y =

? 3( x- 1) ,故选 C.

11. 答案:C 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单 调,故 C 不正确. 12. 答案:D 解析:由题意可得, a ? x ? ?
x

?1? ? (x>0). ?2?

x

令 f(x)= x ? ?

?1? 该函数在(0, +∞)上为增函数, 可知 f(x)的值域为(- ? , ?2?

1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成立. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:0.2 解析:该事件基本事件空间 Ω ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),(4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A) =

2 =0.2. 10

14.答案:2

解析:以 AB, AD 为基底,则 AB ? AD ? 0 , 而 AE ? ∴

?

?

1 AB ? AD , BD ? AD ? AB , 2

1 AE ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) 2 2 2 1 1 ? ? AB ? AD ? ? ? 22 ? 22 ? 2 . 2 2
15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= =

1 ×S 3

正方形 ABCD

·|OO1|

1 3 2 × ( 3)2 ×|OO1|= , 3 2

∴|OO1|=

3 2 6 ,|AO1|= , 2 2
2 2
2 2

?3 2 ? ? 6 ? 在 Rt△OO1A 中,OA= | OO1 | ? | AO1 | = ? ,即 R ? 6 , ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 6 ? ? ? ?
∴S 球=4π R =24π . 16.答案:
2

5π 6 π ? ? π? ? 个单位得, y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? =cos(2x-π +φ ) 2 2? ? ? ?

解析:y=cos(2x+φ )向右平移 = sin ? 2 x ? π+? + +φ -

? ?

π? π? π? ? ? 而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合, 令 2x ? =sin ? 2 x ? ? ? ? , 2? 2? 3? ? ?

π π =2x+ +2kπ ,k∈Z, 2 3 5π +2kπ ,k∈Z. 得? ? 6 5π 又-π ≤φ <π ,∴ ? ? . 6
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意, a112 =a1a13, 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn=
2

n n 2 (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n +28n. 2 2
18.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, AB ? 2 2 得∠ACB=90°, CD ? 2 , A 1D ? 6 , DE ? 3 ,A1E =3, 2 2 2 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D.

所以 VC-A1DE= ?

1 1 ? 6 ? 3 ? 2 =1. 3 2

19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r . 2 2 从而 y +2=x +3. 2 2 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得
2 2

| x0 ? y0 | 2

?

2 . 2

又 P 点在双曲线 y -x =1 上, 从而得 ? 由?

?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由?

? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 y ? x ? 1 ? y0 ? 1. 0 ? 0

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; -2 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e . (2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= t ?

f (t ) t 2 ?t? ? t ?2? ? 3. f '(t ) t ?2 t ?2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= x ?

2 (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); x

当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞).

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应 的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一 题评分. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A. 由题设知

BC DC ? , FA EA

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°, 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°, 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 2 2 2 2 2 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC 2 =6DB . 而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).
2 2

1 . 2

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(2)M 点到坐标原点的距离

d= x 2 ? y 2 ? 2 ? 2cos? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
24. 2 2 2 2 2 2 解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , (2)因为 b c a 2 2 2 a b c ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), 故 b c a 2 a b2 c 2 ? ? ≥a+b+c. 即 b c a a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. 所以 b c a


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