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江苏省南京学大教育专修学校2012-2013学年高二12月月考数学试题


南京学大教育专修学校 12 月 数学 学科 高二 年级测试卷
_________.

卷Ⅰ(30 分钟,48 分)
一、填空题(本题共 12 题,每题 4 分,共 48 分) 1、命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是_______
2 3、命题 p : x ? 1;命题 q : x ? 1 , 则 p

是 q 的_____

2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为______. ___条件.

(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要) 4、已知 f ( x) ? e x ,则 f ' ( x) ? 5、函数 y ? ?x 3 ? 3x 2 ? 3 的单调增区间是

6、 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点是 F1 , F2 ,直线 AB 过椭圆的右焦点 F2 且与椭圆相交于点 9 5

A, B ,则 ?ABF1 的周长为_________________.
7、已知函数 f(x)=x ln x ,求在点(1,0)处的切线方程为 。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 8、若曲线 4 ? k 1? k
9、若双曲线 __ 10.曲线 y ? x 3 在点(1, 1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为 11.已知函数 f ( x) ? x ?12x ? 8 在区间 [ ?3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M , m , 则 M ? m ? _____________;
3

x2 y 2 ? ? 1 左支上一点 P 到右焦点的距离为 8,则 P 到左准线的距离为___ 4 5
.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , 椭圆上一点 P 满足∠F1PF2=90° 12、椭圆 100 64
则△F1PF2 的面积是___ ___

卷Ⅱ(30 分钟,52 分)
二、解答题(本题共 4 题,共 52 分)
13 、 ( 本 题 满 分 10 分 ) 实 数

x

分 别 取 什 么 值 时 , 复 数

1

x2 ? x ? 6 z? ? ( x 2 ? 2 x ? 15)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? x?3

14、 (本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 一条准线的方程为 x ? ? 离心率 e ?

25 , 4

4 5

(1)求该椭圆的标准方程; (2)写出该椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标和顶点坐标; (3)求以已知椭圆的焦点为顶点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程.

15、 (本题满分 14 分)设 f ( x ) ? x ?
3

x2 ? 2x ? 5. 2

(1)求函数 f (x ) 的单调递增、递减区间; (2)求函数 f (x ) 在区间 [?1, 2] 上的最大值和最小值; (3)当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

16.(本题 满分 16 分)已知函数 f(x)=x - x +bx+c.? (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围;? 2 (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.?

3

1 2

2

附加卷(20 分)
17.(本小题满分 20 分)

f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求证:函数 f (x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? t ? 1有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1,试求 a 的取值范围.
已知函数

3

试卷配套答案

15 解: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 …………………………………………………2 分 令 f '( x) ? 0 ? 3x2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 1或x ? ?

2 3

2 f '( x) ? 0 ? 3x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ? ? x ? 1…………………………4 分 3 2 ? f ( x) 的单调增区间为 (1, ?? ) 和 (??, ? ) 3 2 ? f ( x) 的单调减区间为 (? ,1) ………………………………………5 分 3

4

附加题 17、解: ) ? (Ⅰ f ( x) ? ax ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (ax ?1)ln a 故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 所以 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示: x ………………2 分 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, ax ?1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , ……………………………6 分 ………………………………8 分 0 (Ⅱ )当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x) 在 R 上单调递增,

(??, 0)

(0, ??)

5

f ?( x) f ( x)

- 递减

0 极小值

+ 递增

又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 而 t ? 1 ? t ?1,所以 t ?1 ? ( f ( x))min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 …………………12 分 (Ⅲ )因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 ,所以当 x ? [ ? 1,1]时,

| ( f (x )) ? (f ( )) n ?| ( x )) ? f x )) ? e? …………12 分 x mi f ( max ( ( mi n 1 max
由(Ⅱ )知, f ( x ) 在 [ ?1, 0] 上递减,在 [0,1] 上递增, 所以当 x ? [ ?1,1] 时, ( f ( x))min ? f (0) ? 1,( f ( x))max ? max ? f (?1), f (1)? ,

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 记 g (t ) ? t ? ? 2ln t (t ? 0) , 因为 g ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1)2 ? 0 (当 t ? 1 时取等号) , t t t t 1 所以 g (t ) ? t ? ? 2ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , t 所以当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 ;当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 , 也就是当 a ? 1 时, f (1) ? f ( ?1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f ( ?1) ① a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ? a ? ln a ? e ? 1 ? a ? e , 当 1 1 ② 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ? ? ln a ? e ? 1 ? 0 ? a ? , 当 a e ? 1? 综上知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? ? e, ?? ? …………………………20 分 ? e?
而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ?

1 a

6


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