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动量守恒定律(新课)


第三节 动量守恒定律

前面我们已经学习了动量定理,其适用于单个物体; 那么多个物体所构成的系统,在发生相互作用前后各自的 动量发生了什么样的变化,整个系统的动量又将如何? 例:静止站在光滑的冰面上,小孩推大人一把,他们各自 都向相反的方向运动,谁运动得更快一些?他们的总动量 又会怎样?其动量变化又遵循什么样的规律呢?

动量守恒定律<

br />动量守恒定律的推导:

设在光滑水平面上做匀速运动的两个小球A和B,质量分别 是m1和m2,沿着同一直线向相同的方向运动,速度分别是v1 和v2(v1>v2),经过一段时间后,两个发生碰撞,碰撞过程 相互作用时间为t,碰撞后的速度分别是v1’和v2’。 (1)A、B两个小球在碰撞过程中各自所受的平均作用力 F1与F2有什么关系? (2)写出碰撞过程中小球各自所受到的外力的冲量? 每个小球的动量的变化?

最终结果:

Dp1 = - Dp2

Dp1 + Dp2 = 0

如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢 量和为0,这个系统的总动量保持不变。 ----这就是动量守恒定律。 (1)系统:相互作用的物体构成系统。 (2)外力:系统之外的物体对系统的作用力。 (3)内力:系统内物体之间的作用力叫做内力。

系统动量守恒的条件:

? 系统不受外力,或者所受外力之和为0;
? 外力不为0,但是内力远远大于外力; ? 某方向上外力之和为零,在这个方向上动量守恒。 适用于正碰,也适用于斜碰; 适用于碰撞,也适用于其他形式的相互作用; 适用于两物系统,也适用于多物系统; 适用于宏观高速,也适用于微观低速。

思 考 分 析

两小车在运动过程中,相互排斥的磁力属于内 力,整个系统的外力即重力和支持力的和为零,所 以系统动量守恒。

系统所受的外力有:重力、地面对木块的支持 力、竖直墙对弹簧的支持力,三者之和不为零,所 以系统动量不守恒。

在光滑水平面的车上有一辆平板车,一个人站在 车上用大锤敲打车的左端.在连续的敲打下,这辆车 能持续地向右运动吗?说明理由. 不能。以人车锤整体为研究对象,不受合外力, 根据动量守恒,MV1=MV2,所以仍然静止。

思考: 如图所示,A、B两木块的质量之比为 3:2,原来静止在平板小车C上,A、B间有一 根被压缩了的轻弹簧,A、B与平板车的上表面 间的动摩擦因素相同,地面光滑。当弹簧突然 释放后,A、B在小车上滑动时有: 1)A、B系统动量守恒 2)A、B、C系统动量守恒 3)小车向左运动 4)小车向右运动

A B
A C B

动量守恒定律的典型应用
1.子弹打木块类的问题:
摩擦力(阻力)与相对位移的乘积等于系统 机械能(动能)的减少。

例1:质量为m、速度为v0的子弹,水平打进 质量为M、静止在光滑水平面上的木块中,并 留在木块里,求:(1)木块运动的速度多大? (2)若子弹射入木块的深度为d,子弹对木 块的作用力?
v0 v

S

S+d

2.动量守恒定律应用中的临界条件问题
在运用动量守恒定律解题时,常会遇到相互作用的 几个物体间的临界问题,求解这类问题的关键是要注意 思路点拨和把握相关的临界条件。 1、滑块与小车临界问题: 滑块与小车(木板)是一种常见的习题模型。滑块刚 好不滑出小车(木块)的临界条件是滑块到达小车 (木板)时的速度与小车(木板)的速度相同。

【例1】 如图1所示,质量为M=2kg的小车静止在光滑 的水平面上,小车上表面粗糙,质量为m= 0.5kg的滑 块以v0=2m/s从和小车等高的平台冲上小车,小车和 滑块之间的动摩擦因素μ=0.2,要求滑块不从小车上 滑下来,小车的长度L至少多长?
【分析与解答】:取滑块和小车为 研究对象,它们所受到的合外力等 于零,故总动量守恒。由动量守恒 定律得:

mv0 = mv1 + Mv2

要使滑块刚好不从小车上滑出,则必须满足如下的 临界条件: v1 = v 2
1 1 2 2 根据功能关系得: ?mgL = 2 m v0 - 2 (m + M ) v1

说明:将题中的小车换成木板;子弹打击木块刚好打穿的情形 也一样。

解以上三式代入数据得:L=0.8m

【思维拓展】:
①如图2所示,长为L,质量为2m的木板A在光滑的水平面上以v0 的速度向右运动,将质量为m的铁块B轻放在木板的右端,铁块 刚好不从木板上掉下,木板和铁块之间的动摩擦因素μ,求木 板运动的初速度v0. ②如图3所示,静止在光滑水平面上的木块,质量为M。—颗质 量为m的子弹从木块的左端以v0打进。设子弹在打穿木块的过程中 受到大小恒为Ff的阻力,子弹刚好从木块的右端打出,木块的长 度多大?

3?gL

Mm v 2(M + m) F f

2 0

2、涉及弹簧的临界问题:
对于由弹簧组成的系统,在物体间发生相互作用过程中,当弹 簧被压缩到最短时,弹簧两端的两个物体的速度必相等。 【例2】如图4所示,在光滑水平面上放着两个质量分别为3m/4 和m的滑块A和B,它们用一根长而轻的弹簧连接在一起,一质 量为m/4 、速度为v的子弹C击中A后留在其中,设打击时间极 短。求子弹射入A后,在A与B相互作用的过程中,求:弹簧的 弹性势能最大值是多少?

1 2 mv 64

3、涉及弧形槽的临界问题
在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中,由于弹 力的作用,斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最 高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同速度,物体 在竖直方向的分速度等于零。
【例题3】在光滑水平地面上放有一质量为M的、带1/4圆弧的光滑 槽的小车。一个质量为m的小球以速度v沿水平槽口滑去,如图5所 示。试求:小球滑到最高点时的速度大小和此时滑块速度大小。
【分析与解答】:由临界条件知,小球到 达最高点时,小球和小车在水平方向应具 有相同的速度。小球在竖直方向的分速度 等于零。由动量守恒定律得:

mv = (m + M )v ?
mv v = m+M
?

拓展:本题还可以求以下的问题: (1)小球能滑至弧形槽内的最大高度H ; (2)小车的最大速度; (3)小球从左端脱离小车时的速度。 【提示】铁块达最大高度时,和弧形槽具有相同的速度,设为 V ,则动量关系为:mv0 = (m + M)V ,能量关系为: 1/2mv2 = 1/2(m + M)V2 + mgH

结合动力学思路点拨不难得出,只有小球回到初始高度时,弧 形槽才具有最大速度。由于系统在小球上升到下降的全程机械 能能是守恒的,故可以应用动量和能量的关系求(2)(3)的 结果。 Mv 2 答案:(1)H = 2(m + M)g
(2)
m-M v 。 2m v ;(3) m + M m+M

4、涉及摆的临界问题 装在车内的摆(由一段绳子和小球组成)随车运动时,小球上升 到最高点的临界条件是小球和小车的速度相等。
【例题4】 如图6所示,在光滑的水平横杆上,穿着质量为m3=2kg金属环, 金属环可以在杆上无摩擦的自由滑动,环的下面用轻绳系着质量为m2=0.98kg 的木球。一颗质量为m1=0.02kg子弹以v0=100m/s的水平速度向木球正射过来, 并留在其中。设打击时间极短。试求:木球上摆的最大高度是多少?

【分析与解答】:子弹打击木球,由于打击 时间很短,取子弹和木球为研究对象,运用 动量守恒定律得:m1v0=(m1+m2)v1 ① 接着, 子弹和木球合为一体并通过绳子与金属环发 生作用,木球将向右做减速运动并上摆,金 解以上①②两式得: 2 属环将向右做加速运动。当木球和金属环速 v2 = m / s 3 度相同时,木球到达最高点。对金属环和木 木球和金属环的运动过 球应用动量守恒定律得: 程机械能守恒 (m1+m2)v1=(m1+m2+m3)v2 ② 1 1 (m1 + m2 )v12 = (m1 + m2 + m3 )v22 + (m1 + m2 ) gh 2 2 2
h= 15 m

5、涉及追碰的临界问题 两个在光滑水平面上做匀速运动的物体,甲物体追上乙物 体的条件是甲物体的速度v甲必须大于乙物体的速度v乙,而甲物体 刚好追不上乙物体的临界条件是v甲= v乙 【例题4】如图8所示,甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上 游戏。甲和他的冰车质量之和为M = 30kg ,乙和他的冰车质量之 和也是M = 30kg 。游戏时,甲推着一个质量m = 15kg的箱子以大 小为v0 = 2m/s的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,为了 避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处,乙迅速 抓住。若不计冰面摩擦,求甲至少要以多大速度(相对于地)将 箱子推出,才能避免与乙相撞?


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