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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.4等比数列(一)导学案新人教A版必修5


§2.4 等比数列(一)
课时目标 1.理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用. 3.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决有关问题.

1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). n -1 2.等比数列的通项公式:an =a1 q . 3.等比中项的定义 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且 G=± ab.

一、选择题 1.在等比数列{an }中,an >0,且 a2 =1-a1 ,a4 =9-a3 ,则 a4 +a5 的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.81 答案 B 2 解析 由已知 a1 +a2 =1,a3 +a4 =9,∴q =9. ∴q=3(q=-3 舍),∴a4 +a5 =(a3 +a4 )q=27. 2.已知等比数列{an }满足 a1 +a2 =3,a2 +a3 =6,则 a7 等于( ) A.64 B.81 C.128 D.243 答案 A 解析 ∵{an }为等比数列, a2 +a3 ∴ =q=2. a1 +a2 6 又 a1 +a2 =3,∴a1 =1.故 a7 =1·2 =64. 1 a9 +a10 3. 已知等比数列{an }中, 各项都是正数, 且 a1 , a3, 2a2 成等差数列, 则 等于( 2 a7 +a8 A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 答案 C 解析 设等比数列{an }的公比为 q, 1 ∵a1 , a3, 2a2 成等差数列, 2 ∴a3 =a1 +2a2 , 2 ∴a1 q =a1 +2a1 q, ∴q2 -2q-1=0, ∴q=1± 2. ∵an >0,∴q>0,q=1+ 2. a9 +a10 2 ∴ =q =(1+ 2)2 =3+2 2. a7 +a8 4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 答案 B

)

1

解析 ∵b2 =(-1)×(-9)=9 且 b 与首项-1 同号, ∴b=-3,且 a,c 必同号. ∴ac=b2 =9. 5.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为( ) 5 4 3 1 A. B. C. D. 3 3 2 2 答案 A 解析 设这个数为 x,则(50+x)2 =(20+x)·(100+x), 解得 x=25, 75 5 ∴这三个数 45,75,125,公比 q 为 = . 45 3 a3 +a5 6.若正项等比数列{an }的公比 q≠1,且 a3 ,a5 ,a6 成等差数列,则 等于( a4 +a6 A. C. 5-1 2 B. 5+1 2

)

1 D.不确定 2 答案 A 2 5 4 解析 a3 +a6 =2a5 ,∴a1 q +a1 q =2a1 q , 3 2 2 ∴q -2q +1=0,∴(q-1)(q -q-1)=0 (q≠1), ∴q2 -q-1=0,∴q= ∴ 5+ 1 1- 5 (q= <0 舍) 2 2

a3 +a5 1 5-1 = = . a4 +a6 q 2

二、填空题 7.已知等比数列{an }的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an =________. 3 答案 4·( )n -1 2 解析 由已知(a+1)2 =(a-1)(a+4), 6 3 得 a=5,则 a1 =4,q= = , 4 2 3 n -1 ∴an =4·( ) . 2 2 8.设数列{an }为公比 q>1 的等比数列,若 a4 ,a5 是方程 4x -8x+3=0 的两根,则 a6 +a7 =________. 答案 18 1 3 a5 解析 由题意得 a4 = ,a5 = ,∴q= =3. 2 2 a4 1 3 ∴a6 +a7 =(a4 +a5 )q2 =( + )×32 =18. 2 2 9.首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n-3 项是 192,则 n=________. 答案 5 解析 设公比为 q,
n -1 ? ?3q =48 则? 2 n -4 ?3q =192 ? n -1 ? ?q =16 ? ? 2 n -4 ?q =64 ?

? q2 =4,

得 q=±2.由(±2)n -1 =16,得 n=5. 10.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________. 答案 5-1 2
2

解析

设三边为 a,aq,aq2 (q>1), 5+1 . 2

则(aq2 )2 =(aq)2 +a2 ,∴q2 =

1 5-1 较小锐角记为 θ ,则 sin θ = 2 = . q 2 三、解答题 20 11.已知{an }为等比数列,a3 =2,a2 +a4 = ,求{an }的通项公式. 3 解 设等比数列{an }的公比为 q,则 q≠0. a3 2 a2 = = ,a4 =a3 q=2q,

q

q

2 20 ∴ +2q= . q 3 1 解得 q1 = ,q2 =3. 3 1 当 q= 时,a1 =18, 3 1 ∴an =18×? ?n -1 =2×33 -n . ?3? 2 当 q=3 时,a1 = , 9 2 n -1 n -3 ∴an = ×3 =2×3 . 9 1 综上,当 q= 时,an =2×33 -n ; 3 n -3 当 q=3 时,an =2×3 . 1 12.已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ,Sn = (an -1) (n∈N* ). 3 (1)求 a1 ,a2 ;(2)求证:数列{an }是等比数列. 1 1 (1)解 由 S1 = (a1 -1),得 a1 = (a1 -1), 3 3 1 1 ∴a1 =- .又 S2 = (a2 -1), 2 3 1 1 即 a1 +a2 = (a2 -1),得 a2 = . 3 4 (2)证明 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 1 1 = (an -1)- (an -1 -1), 3 3 an 1 a2 1 得 =- ,又 =- , an -1 2 a1 2 1 1 所以{an }是首项为- ,公比为- 的等比数列. 2 2 能力提升 13.设{an }是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn =an +1(n=1,2,…),若数列{bn }有 连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 答案 -9 解析 由题意知等比数列{an }有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比数 列的定义知,

3

3 四项是两个正数、两个负数,故-24,36,-54,81,符合题意,则 q=- ,∴6q=- 2 9. 14.已知数列{an }满足 a1 =1,an +1 =2an +1, (1)求证:数列{an +1}是等比数列; (2)求 an 的表达式. (1)证明 ∵an +1 =2an +1, ∴an +1 +1=2(an +1), an +1 +1 ∴ =2. an +1 ∴{an +1}是等比数列,公比为 2,首项为 2. (2)解 由(1)知{an +1}是等比数列. 公比为 2,首项 a1 +1=2. ∴an +1=(a1 +1)·2n -1 =2n . ∴an =2n -1.

1.等比数列的判断或证明

an +1 =q (与 n 无关的常数). an 2 * (2)利用等比中项:an +1 =an an +2 (n∈N ). n -1 2.等比数列{an }的通项公式 an =a1 q 共涉及 an ,a1 ,q,n 四个量.已知其中三个量可
(1)利用定义: 求得第四个.

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