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高二数学竞赛试题


数学精英擂台赛及答案
一: (每小题 7 分,11 题 25 分 12 题 25 分) 1 已知对于任意实数 x , 函数 f (x) 满足 f (? x) ? f ( x) . 若方程 f ( x) ? 0 有 2009 个实数解,则这 2009 个实数解之和为 2 由方程 x | x | ? y | y | ? 1 确定的函数 y ?
f (x) 在 (?

? , ? ?) 上是

9.设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 . . 其中真命题的代号是
5

10.若 ( x ? y) ? x ? y ? 0 ,则 y ?
5

(写出所有真命题的代号)

11. 本小题满分 12 分) ( 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, x ? 0 时,f ( x) ? 1 , 当
a 且对任意实数 x, y ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 成立,数列 ? n ? 满足 a1 ? f (0) 且

3 将号码分别为 1 、 2 、…、 9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号 码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后, 乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b .则使不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事 件发生的概率等于 4 设实数 a 使得不等式 | 2x ? a | ? | 3x ? 2a |≥ a 对任意实数 x 恒成立,则满足条 件的 a 所组成的集合是
2

f (an ?1 ) ?

1 (n ? N * ). f (?2 ? an )
(1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ?? (1 ? ) ? k 2n ? 1 a1 a2 an 对一切

(1)求 a2008 的值; (2)若不等式
n ? N * 均成立,求 k 的最大值.

5 设函数 f ( x) ? 3sin x ? 2cos x ? 1 .若实数 a 、 b 、 c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1
b cos c 对任意实数 x 恒成立,则 a 的值等于

12. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x) ,若 f ( x) ? x ,则称 x 为 f ( x) 的“不 动点”,若 f ( f ? x ?) ? x ,则称 x 为 f ( x) 的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳 定点”的集合分别记为 A 和 B ,即 A ? ? x | f ? x ? ? x? ,
B ? x | f ? f ? x?? ? x

6 一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ___________. 7 已知函数 __________.
f ( x) ? sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ≤x≤ ) 4 4 x

2 3 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,以顶点 A 为球心, 3 为半径作 已知正方体

?

?.

, 则 f ( x) 的 最 小 值 为

2 (1)求证: A ? B ; (2)若 f ? x ? ? ax ? 1? a ? R, x ? R ? ,且 A ? B ? ? ,

求实数 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 是 R 上的单调递增函数, x0 是函数 的稳定点,问 x0 是函数的不动点吗?若是,请证明你的结论;若不是, 请说明的理由.

8 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个 小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的 填法共有__________种(用数字作答).

数学精英擂台赛(二)
1 0 2.减函数 3:甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件
2 总数为 9 ? 81 个.由不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 得 2b ? a ? 10 ,于是,当 b ? 1 、 2 、 3 、 4 、 5 时,每

13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ? c) ? a ? b ? 1 ,即 13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ) cos c ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 ,所以 13(a ? b cos c)sin( x ? ? ) ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 .

种情形 a 可取 1 、 2 、…、 9 中每一个值,使不等式成立,则共有 9 ? 5 ? 45 种;当 b ? 6 时, a 可 取 3 、 4 、…、 9 中每一个值,有 7 种;当 b ? 7 时, a 可取 5 、 6 、 7 、 8 、 9 中每一个值,有 5 种;当 b ? 8 时, a 可取 7 、 8 、 9 中每一个值,有 3 种;当 b ? 9 时, a 只能取 9 ,有 1 种.于是,
45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 2 1 ? x? a | a |≤ 81 81 .4: 令 3 ,则有 3 ,排除 B、D.由对称性排 所求事件的概率为

?a ? b cos c ? 0 (1) ? (2) ? b sin c ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0 (3) 由已知条件,上式对任意 x ? R 恒成立,故必有 ? , b ? 0 ,则由⑴知 a ? 0 ,显然不满足⑶式,故 b ? 0 .所以,由⑵知 sin c ? 0 ,故 若

c ? 2kπ ? π 或 c ? 2kπ (k ?Z) . 当 c ? 2kπ 时 , c o sc ? 1, 则 ⑴ 、 ⑶ 两 式 矛 盾 . 故 1 b cos c a?b? ? ?1 (k ?Z) , cos c ? ?1.由⑴、⑶知 c ? 2kπ ? π 2 ,所以 a .

【解答】 6: 如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线 分为两类:一类在顶点 A 所在的三个面上,即面 AA1 BB1 、面 ABCD 和面 AA1 D1D 上;另一类在不过 顶点 A 的三个面上, 即面 BB1C1C 、 CC1 D1 D 和面 面 A1 B1C1 D1 上.在面 AA1 B1 B 上,交线为弧 EF 且在过
2 3 3 , AA1 ? 1 ,则 球心 A 的大圆上,因为 π π π ?A1 AE ? ?BAF ? ?EAF ? 6 .同理 6 ,所以 6, AE ? 2 3 π 3 ? ? π 9 , 故弧 EF 的长为 3 6 而这样的弧共有三

除 C,从而只有 A 正确.
3 4 1 | a | ? | k ? 1| ? | a | ? k ? ?| a |2 x ? ka 2 3 2 ,则原不等式为 一般地,对 k ?R ,令 ,由此易 3 4 | a |≤| k ? 1| ? k ? 2 3 ,对任意的 k ?R 成立.由于 知原不等式等价于
A

D G B

C

?5 ? 2 k ? 3, ? 3 4 ? 1 | k ? 1| ? k ? ? ?1 ? k , 2 3 ? 2 ? 5 ?3 ? 2 k , ?

4 k≥ 3 1≤ k ? k ?1 4 3
A1

D1

F C1 E B1



条.在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上,
3 3 π 3 π ? ? π ?FBG ? 2, 此时, 小圆的圆心为 B , 半径为 3 , 所以弧 FG 的长为 3 2 6 . 这 样的弧也有三条.

? 3 4? 1 1 ?? 1 , 1 ? min ?| k ? 1| ? k ? ? ? | a |≤ ? ? k ?R 2 3? 3 ? 3 . ? 3 3? 所以 ,从而上述不等式等价于

5 令 c ? π ,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x ? c) ? 1 ,于是取 b cos c ? ?1 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 ,由此得 a 对任意的 x ? R , .

a?b?

1 2 , c ? π ,则

于是,所得的曲线长为 7:

3?

3 3 5 3π π ? 3? π? 9 6 6 .

一般地,由题设可得 f ( x) ? 13 sin( x ? ? ) ? 1 , f ( x ? c) ? 13 sin( x ? ? ? c) ? 1 ,其中 π 2 0 ?? ? tan ? ? 2且 3 ,于是 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 可化为

π? ? 2 sin ? πx ? ? ? 2 1 5 π? 1 5 4? ? ? f ( x) ? ( ≤x≤ ) g ( x) ? 2 sin ? πx ? ? ( ≤ x ≤ ) 4? 4 4 , 4 4 ,设 x ? 实际上

则 g ( x) ≥ 0 , ?1 3? ?3 ?4 , 4? ? , g ( x) 在 ? ? 上是增函数,在 ? 4 且 y ? g ( x) 的图像关于直线
?1 x1 ? ? , ?4 则对任意

5? 4 ? 上是减函数, ?

a x ? ax ? a ,代入 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 ,有 2ax ? 1 ? 0 .由此解得
2 2 2 2

x??

1 2a ,再代入得

x?

3 4 对称,

3? ?3 5? x2 ? ? , ? 4 ? ,存在 ? ? 4 4 ? ,使 g ( x2 ) ? g ( x1 ) . g ( x1 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 ?3 f ( x1 ) ? ? ≥ ? f ( x2 ) ? , x1 x1 x2 于是 ,而 f ( x) 在 ? 4

? 1 3? 1 1 3 ? ?1 ? 0 a? ?? , ? 4a 2a 4 ,故 a 的取值范围是 ? 4 4 ? . ,由此
x0
5? 4 ? 上是减函数, ?

由题意: 是 R 上的单调增函数,则

是函数的稳定点则

f ? f ? x0 ? ? ? x0

,设

f ? x0 ? ? x0



f ? x?

f ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ?
f ? x0 ? ? f ? f ? x0 ? ?

,所以

x0 ? f ? x0 ?

,矛盾.若

x0 ? f ? x0 ?

, f ? x ? 是 R 上的单调增函数,则

?5? 4 5 ?1 5? 4 5 f ( x) ≥ f ? ? ? , 5 ,即 f ( x) 在 ? 4 4 ? 上的最小值是 5 . ?4? ? ? 所以 2 2 8:使 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种,同样,使 2 个 b 既不同行也不同
2 2 2 列的填法也有 C4 A4 ? 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 种,其中不符合要求 的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;2 个 a 所在的方格内仅有 1 2 1 个 方 格 内 填 有 b 的 情 况 有 C16 A9 种 . 所 以 , 符 合 题 设 条 件 的 填 法 共 有 2 722 ? 72 ? C1 A9 ? 3960 种.9. bd .10. 0 。 16

,所以

f ? x0 ? ? x0

,矛盾,故

f ? x0 ? ? x0

,所以

x0

是函数的不动点.

11 . 解 :( 1 ) 若 A ? ? , 则 A ? B 显 然 成 立 ; 若 A ? ? , 设 t ? A , 则

f

? t? ?

,t

? f ? ?f ?

? t

??

f? t

t ?t ? B





A? B

.

(2)? A ? ?,? ax ? 1 ? x 有实根,
2

?a ? ?

1 2 2 4 .又 A ? B ,所以 a ? ax ? 1? ? 1 ? x ,
2

即 a x ? 2a x ? x ? a ? 1 ? 0 的左边有因式 ax ? x ? 1 ,
3 4 2 2

从而有

? ax

2

? x ? 1?? a 2 x 2 ? ax ? a ? 1? ? 0

.

2 2 ? A ? B ,? a x ? ax ? a ? 1 ? 0 要么没有

实根,要么实根是方程 ax ? x ? 1 ? 0 的根.若 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 没有实根,则
2 2 2

a?

3 4 ;若

a 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 有实根且实根是方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 的根,则由方程 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ,得

15.解:(1)令x ? ?1, y ? 0, 得f ( ?1) ? f ( ?1) f (0), f (0) ? 1.? 当x>0时,-x<0,f(0)=f(x)f(-x)=1, ? 0<f(x)<1. 设x1 ,x2 ? R,且x1 <x2 ,则x2 -x1 >0,f(x2 -x1 )<1, f(x1 )-f(x2 )=f(x1 )-f(x1 +x2 -x1 )=f(x1 )[1-f(x 2 -x1 )]>0. ? f(x1 )>f(x2 ),函数y=f(x)在R上是单调递减函数. 1 得f (an ?1 ) f (?2 ? an ) ? 1. f(-2-a n )

a1 ? f (0) ? 1

由f(a n+1 )=

? f (an ? 1 ? an ? 2) ? f (0), an ?1 ? an ? 2 ? 0.即an ?1 ? an ? 2 ? an ? 2n ? 1, a2008 ? 4015 (2)由(1 ? (1 ? k? 1 1 1 )(1 ? ) ?? (1 ? ) ? k 2n ? 1恒成立,知 a1 a2 an

恒成立. 2n ? 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? (1 ? ) a1 a2 an 设F(n)= ,则 2n ? 1 F ( n) ? 0 (1 ? 且F (n ? 1) ? 又 1 1 1 )(1 ? ) ?? (1 ? ) a1 a2 an ?1 2n ? 3

1 1 1 )(1 ? ) ?? (1 ? ) a1 a2 an

F (n ? 1) 2(n ? 1) ? ? 1, 即F (n ? 1) ? F (n) F ( n) 4(n ? 1) 2 ? 1 2 3 3

? F (n) ? F (1) ? 所以,k ?

2 2 3,即k的最大值为 3. 3 3


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