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数列(含答案)2014.04


期中复习试卷

数列
班级 姓名 学号

一、选择题 1.已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的
值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 ) 2.已知数列 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 70 ,公差 d ? ?9 ,那么前 n 项和 S n 取最大值时,n 是( A.8 B.9 C.10 D.11 ) A. 15
n ?1

3.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ?? 1?n ?3n ? 2? ,则 a1 ? ? ? a10 =( 4. 等比数列 ?an ? 中,| a1 |? 1, a5

B. 12

C.-12 C.(?2)
n

D.-15 D.?(?2)n )

? ?8a2 , a5 ? a2 , 则 an ?(
C.17

) A.(?2)

B.?(?2n?1 )

5.已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 6 ? 36 , S n ? 324 , S n-6 ? 144(n>6),则 n 等于 ( 6.等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 0, a5 ? b5 ,则 a3 与 b3 的大小关系是( A. a3 ? b3 B. a3 ? b3 C. a3 ? b3 7. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项的值是( D. a3 ? b3 ) A. 42 B.45 C. 48 D. 51 ) A.15 B.16 D.18 )

8.若两个等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、Bn,且满足 A. 51
60

a13 An 4n ? 2 ? ,则 的值为( b13 Bn 5n ? 5
D. 7 8

B.

60 51

C. 19 20

9.已知数列 {an } 中, a1 ? A.

3an ?1 3 (n ? 2) ,则 a2009 , an ? 0 ,且 an ? 2 3 ? 2an?1
B.
1 2009

?(
D.


2 2009

1 4018

C.

3 4018
4

2 2 10.已知方程 ( x ? 2x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列,则 m ? n ? (

)

A、1

B、 3
4

C、

1 2

D、

3 8
__. ___.

二、填空题
11. 在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_

an 12. 已知数列 ?an ? 的首项 a1≠0,其前 n 项的和为 Sn,且 Sn+ 1=2Sn+a1,则 =_____ Sn
13. 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? n , a1 =1,则 an = 14. 已知 f ( x) ? 2 x , 则 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? .

x ?1

2008

2007

? f ( 1 ) ? f (1) ? f (2) ? 2

? f (2008) ? ____________.
____.

15. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 1 ? a5 ? 4 , 2 ? a6 ? 3 ,则 S6 的取值范围是___ 16. 已知函数

?(3 ? a) x ? 4( x ? 6) f ( x) ? ? x?6 , 设 an ? f (n), n ? N * , 若 {an } 是递增数列, 则实数 a 的取值范围是 ( x ? 6) ?a

.

17. 设数列 ?an ? 是以 1 为首项,2 为公差的等 差数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则

ab1 ? ab 2 ? ... ? ab10

=

.

三、解答题
18.数列 ?an ? 中, a1

? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0
(2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? | an | ,求 Sn 。

19.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足: a1

? 3 ,当 n ? 2 时, an?1 ? an ? 4n ;对于任意的正整数 n ,
S n ? 14 的 n 的集合.

b1 ? 2b2 ? ?2n?1 bn ? nan ,设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .
(1)计算 a 2 , a 3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式;(2)求满足 13 ?

20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n,(n ? N * ) 。 (1)求通项 an ; (2)若 bn ? 2n ? (an ?12),(n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的最小项。

21. 已知 ?an ? 是单调递增的等差数列, 首项 a1 ? 3 , 前 n 项和为 Sn , 数列 {bn} 是等比数列, 首项 b1 =1, 且 a2b2 ? 12 ,

S3 ? b2 ? 20 。
(1)求 ?an ? 和 {bn} 的通项公式; (2)令 Cn ? Sn cos (an?) (n ? N ? ) ,求 {cn} 的前 n 项和 Tn 。

22.在数列 {an } 中, a1 ? 1,当n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足: S 2 ? a ? S ? 1 ? . n n ? n ? 2
? ?

(Ⅰ )求 an ;

(Ⅱ )令 bn ? Sn , 求数列 {bn } 的前项和 Tn .
2n ? 1

期中复习试卷

数列

答案

一、选择题 1.已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的
值为( D ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 2.已知数列 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 70 ,公差 d ? ?9 ,那么前 n 项和 S n 取最大值时,n 是( A ) A.8 B.9 C.10 D.11 B. 12 C.-12 D.-15 3.若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ?? 1?n ?3n ? 2? ,则 a1 ? ? ? a10 =( A ) A. 15

| a1 |? 1, a5 4. 等比数列 ?an ? 中,
A.15

? ?8a2 , a5 ? a2 , 则 an ?( A ) A.(?2)n?1 B.?(?2n?1 ) C.(?2)n D.?(?2)n
C.17 D.18

5.已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 6 ? 36 , S n ? 324 , S n-6 ? 144(n>6),则 n 等于 ( D ) 6.等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 0, a5 ? b5 ,则 a3 与 b3 的大小关系是(C A. a3 ? b3 B. a3 ? b3 C. a3 ? b3 7. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项的值是( B ) 8.若两个等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、Bn,且满足 A. 51
60

B.16

) C. 48 D. 51

D. a3 ? b3 A. 42 B.45

a13 An 4n ? 2 ? ,则 的值为( A ) b13 Bn 5n ? 5
D. 7 8

B.

60 51

C. 19 20

9.已知数列 {an } 中, a1 ? A.

3an ?1 3 (n ? 2) ,则 a2009 , an ? 0 ,且 an ? 2 3 ? 2an?1
B.
1 2009

?(
D.

C
2 2009



1 4018

C.

3 4018
4

2 2 10.已知方程 ( x ? 2x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列,则 m ? n ? ( C

)

A、1

B、 3
4

C、

1 2

D、

3 8
__. 答案:5

二、填空题
11. 在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_

an 12. 已知数列 ?an ? 的首项 a1≠0,其前 n 项的和为 Sn,且 Sn+ 1=2Sn+a1,则 =______. Sn
13. 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? n , a1 =1,则 an = 14. 已知 f ( x) ? 2 x , 则 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? . 答案: an ? 1 ?

2n-1 答案: n 2 -1

n(n ? 1) 2
答案:4015

x ?1

2008

2007

? f ( 1 ) ? f (1) ? f (2) ? 2

? f (2008) ? ____________.

15. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 1 ? a5 ? 4 , 2 ? a6 ? 3 ,则 S6 的取值范围是___ __. 答案: [-12,42] 16. 已知函数

?(3 ? a) x ? 4( x ? 6) f ( x) ? ? x?6 , 设 an ? f (n), n ? N * , 若 {an } 是递增数列, 则实数 a 的取值范围是 ( x ? 6) ?a

.

答案:(2,3) 17. 设数列 ?an ? 是以 1 为首项,2 为公差的等 差数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则

ab1 ? ab 2 ? ... ? ab10
三、解答题

=

. 答案:2036

18.数列 ?an ? 中, a1

? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0
(2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
解:

? | an | ,求 Sn 。

1)an ? ?2n ? 10 ? ? n 2 ? 9n, n ? [1, 5] 2) sn ? ? 2 ? n ? 9n ? 40, n ? [6, ?? )
19.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足: a1

? 3 ,当 n ? 2 时, an?1 ? an ? 4n ;对于任意的正整数 n ,
S n ? 14 的 n 的集合.

b1 ? 2b2 ? ?2n?1 bn ? nan ,设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .
(1)计算 a 2 , a 3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式;(2)求满足 13 ? 解:(1)在 an?1 ? an ? 4n 中,取 n ? 2 ,得 a1 ? a 2 ? 8 ,又, a1 ? 3 ,故 a 2 ? 5. 同样取 n ? 3 可得 a3 ? 7. 由 an?1 ? an ? 4n 及 an?1 ? an ? 4(n ? 1) 两式相减可得:an?1 ? an?1 ? 4 ,所以数列 ?an ? 的奇数项和偶数项各自 成等差数列,公差为 4 ,而 a 2 ? a1 ? 2 ,故 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,? an ? 2n ? 1. (2)在 b1 ? 2b2 +L ? 2n?1bn ? nan 中令 n ? 1 得 b1 ? a1 ? 3. 又 b1 ? 2b2 ? L ? 2n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ,与 b1 ? 2b2 ? L ? 2n?1 bn ? nan 两式相减可得:

2 n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)(2n ? 3) ? n(2n ? 1) ? 4n ? 3 , bn ?1 ?
经检验, b1 ? 3 也符合该式,所以, ?bn ? 的通项公式为 bn ?

4n ? 3 4n ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? n ?1 n 2 2

4n ? 1 2 n ?1

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 3 ? 7 ? ? L ? (4n ? 1) ? ( ) n ?1 , Sn ? 3 ? ? 7 ? ( ) 2 ? L ? (4n ? 5) ? ( ) n ?1 ? (4n ? 1) ? ( ) n . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 相减可得: S n ? 3 ? 4[ ? ( ) ? L ? ( ) ] ? (4n ? 1) ? ( ) 。利用等比数列求和公式并化简得: 2 2 2 2 2 4n ? 7 27 31 S n ? 14 ? n ?1 ,可见, ?n ? N ? , S n ? 14 。 经计算, S 5 ? 14 ? ? 13, S 6 ? 14 ? ? 13 , 2 16 32
注意到 ?bn ? 的各项为正,故 S n 单调递增,所以满足 13 ? S n ? 14 的 n 的集合为 n n ? 6, n ? N . 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n,(n ? N * ) 。 (1)求通项 an ; (2)若 bn ? 2n ? (an ?12),(n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的最小项。 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2n) ? [(n ?1) ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1 。
2 2

?

?

又 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 1 ? 3 成立,所以 an ? 2n ? 1(n ? N * ) 。

?2n ? (2n ? 11) ? 2n ?1 ? (2n ? 9) ?b ? bn ?1 ? ?n ? 3.5 (2) bn ? 2n ? (an ?12) ? 2n ? (2n ?11) ,由 ? n ?? n ?? n ?1 ?2 ? (2n ? 11) ? 2 ? (2n ? 13) ?n ? 4.5 ?bn ? bn ?1 ?
所以 3.5 ? n ? 4.5 ,所以 n ? 4 ,所以最小项为 b4 ? ?48 。

21. 已知 ?an ? 是单调递增的等差数列, 首项 a1 ? 3 , 前 n 项和为 Sn , 数列 {bn} 是等比数列, 首项 b1 =1, 且 a2b2 ? 12 ,

S3 ? b2 ? 20 。(1)求 ?an? 和 {bn} 的通项公式; (2)令 Cn ? Sn cos (an?) (n ? N ? ) ,求 {cn} 的前 n 项和 Tn 。
解:(Ⅰ)设公差为 d ,公比为 q ,则 a2b2 ? (3 ? d )q ? 12

S3 ? b2 ?3 a2 ? b2 ? 3 ( 3 ? d ) ? q ?9 ?3d ?q ? 2 0 ? q ? 11, q ? 11 ? 3d 3d (3 ? d )(11 ? d ) ? 33 ? 2d ? 3d 2 ? 12 , 3d 2 ? 2d ? 21 ? 0,(3d ? 7)(d ? 3) ? 0 ,

?an? 是单调递增的等差数列,d>0.则 d ? 3, q ? 2 , an ? 3 ? (n ?1) ? 3 ? 3n , bn ? 2n?1
3 3 ? Sn ? n 2 ? n, n是偶 ? ? 2 2 (Ⅱ) cn ? S n cos3n? ? ? ?? S ? ? 3 n 2 ? 3 n, n是奇 n ? ? 2 2

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?
当 n 是偶数,

? cn ? ? S 1 ? S2 ? S 3 ? S4 ? ? an ? 6 ? 12 ? 18 ? ? 3n ?

? Sn?1 ? Sn 3n(n ? 2) 4
? 3n(n ? 2) , n是偶 ? ? 4 综上可得 Tn ? ? ?? 3 (n ? 1) 2 , n是奇 ? ? 4
?

? a2 ? a4 ? a6 ?

当 n 是奇数, Tn ? Tn?1 ? S n ?

3(n ? 1)(n ? 1) 3 2 3 3 ? n ? n ? ? (n ? 1)2 4 2 2 4

22.在数列 {an } 中, a1 ? 1,当n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? an ? Sn ? 1 ? . ? ? 2
?

(Ⅰ )求 an ;

(Ⅱ )令 bn ? Sn , 求数列 {bn } 的前项和 Tn .
2n ? 1


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