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复变函数与积分变换A2012-2013试卷


重庆大学试卷

教务处 07 版

第 1 页 共 4 页

重庆大学《复变函数与积分变换》课程试卷
2012 ~2013 学年 第 1 学期
开课学院: 数学学院 课程号:10020930
姓名

4.设 f ( z ) ? ? z ? ,则下列说法正确的是

2





A. f ( z ) 仅在 (0, 0) 处连续 C. f ( z ) 在复平面上处处不可导 5. 2cos(? ? 5i) 的值为 A. e ? e
5 ?5

B. f ( z ) 在 (0, 0) 处可导 D. f ( z ) 至少有一个解析点

5 ?5

命 题 人 :

考试日期:

2013.1 分钟 总 分

考试方式:


考试时间: 120 二 三 四 五 六 七 八 九 十



组 题 人 :

题 号 得 分



B. ?e ? e
2 3

C. e ? e
5

?5

D. e ? e

?5

5

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

学号

6.设 f ( z ) ? x ? i (2 y ) ,则 f ?(3 ? i) 的值为 A. 6 ? 6i B. 6 ? 6i C. 6 D. 6i





一、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分)

? 1 ? 3i ? 1.若复数 x ? iy ? ? ,则 ? 2 ? ? ? ?
A. x ? 0, y ? 1 封 C. x ? 1, y ? 0 2.连接 1 ? i 与 1 ? i 的直线段方程为 A. z ? 1 ? i ? ( ?2i )t, 0 ? t ? 1 B. z ? 1 ? i ? (?2i )t, ? ? ? t ? ?? C. z ? 1 ? i ? 2t, 0 ? t ? 1 B. x ? 0, y ? ?1 D. x ? ?1, y ? 0

3

7.积分
【 】

1 z ?1 ? 2

?

sin

z 4 dz 的值为 z 2 ?1
2 4
的收敛半径为

?

审 题 人 :





A.

2 2
?? n

B.

C.

2 ?i 2

D.

2 ?i 4
【 】

命 题 时 间 :

年级

8.幂级数
【 】

? (n ? 2 )z
n ?0

n

A. 0
?t

B.

专业、班

1 2

C. 2

D. ??
【 】

9.拉氏变换 L[e sin 2t ] 等于

教 务 处 制

A. 线 D. z ? 1 ? i ? 2t, ? ? ? t ? ?? 3.极限 lim 学院 A.

2 ( s ? 1) 2 ? 4

B.

2 ( s ? 1) 2 ? 4

C.

s ( s ? 1) 2 ? 4

D.

s ( s ? 1) 2 ? 4
【 】

Re z 的值为 z ?0 z
B.





10.设傅氏变换 F [ f (t )] ? F (?) ,则 F [tf (t )] 等于 A. ? F ?(? ) B. ?iF ?(? ) C. F ?(? )

1 1? i

1 1? i

C. 1

D. 不存在

D. iF ?(?)

二、填空题(每小题 3 分,共 30 分)

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1. 2 ? 2i 的指数表达式为 2.方程 z 3 ? 8 ? 0 的所有复数根为

. . 外是解析

3.函数 f ( z ) ? Ln( z ? 3) 在复平面上除去实轴上一区间 的. 4.

z 2e z ? ? z 2 ? 2 z ? 2dz ? z ?1

. 2.利用留数计算积分 .

5. f ( z ) ?

1 1 z ? 2i e 在 z ? 0 处展成泰劳级数的收敛半径 R ? z ?3

x2 ? 4 2 dx . ?? 2 x ? 5 x ? 2

??

6.如果 z 0 为 f ( z ) 的本性奇点, 则 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的罗朗级数含有 z ? z0 的 个负幂项. 7. z ? ?2 是

z ?8
3

?z

2

? 4?

3



阶极点.

?? z ? 1 ? 2 ? 8.留数 Re s ?? ? ,1? ? ?? z ? 1 ? ? ? ?
??



9.

??

? ? (t ? 3 )sin tdt ?
2

?



10. f (t ) 的拉氏变换 L[ f (t )] ? 设

1 , f ?(t ) 的拉氏变换 L[ f ?(t )] ? 则 s ?1



三、计算题(每小题 7 分,共 21 分) 1.设 f ( z ) ?

? ?

?

3? 2 ? 7? ? 1 d? ,求 f ?(1 ? i) . ? ?z 3

? y ?? ? 2 y ? ? 3 y ? e ?t ? 3. 利用拉氏变换求解初值问题: ? y t ?0 ? 0 ? y ? t ?0 ? 1 ?

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. f ( z) ? u( x, y) iv( x, y) ?

四、解答题(每小题 7 分,共 21 分) 1.设 f ( z ) ? x ? y ? i(2 x y ) ,试讨论 f ( z ) 在何处可导,何处解析.
3 3 2 2

3.将 f ( z ) ?

1 在 z ? ?i 处展开成罗朗级数. z ?1
2

2 . 已 知 调 和 函 数 u ( x, y ) ? x ? y ? xy , 求 其 共 轭 调 和 函 数 v( x, y) 及 解 析 函 数
2 2

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五、证明题(8 分) 设 n 是自然数,试证:

?

2?

0

er cos? ? cos(r sin ? ? n? )d? ?

2? n r . n!


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