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分式 教学设计成品


14.1 分式
教学设计思想

教学设计(一)

本节主要学习了分式的概念及分式有、无意义、分式的值为零的条件以及分式的基本性质、分式的约 分。以学生为主体,以小组讨论的形式,通过类比分数的性质来学习分式的性质,利用分式的性质来学习 分式的约分,通过例题的学习来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 说出分式的意义,会区别整式与分

式;会求出一分式有意义、无意义和值为零的条件; 总结分式的基本性质,会灵活运用分式的基本性质将分式变形;会熟练地将分式约分。 过程与方法 经历分式概念的抽象过程,进一步发展符号感;经历由类比猜想获得分式基本性质的过 程。 情感态度价值观通过类比整式探索分式,体会整式与分式的不同,初步体会类比的思想方法。 教学重点、难点 重点:分式的概念及分式有、无意义、分式的值为零的条件以及分式的基本性质、 分式的约分。难点:分式的约分。解决办法:以小组讨论的形式来学习分式的值为零的条件及分式的性质, 利用分式的性质来学习分式的约分,通过大量练习来巩固。 教学方法 小组讨论,讲练结合 课时安排 2 课时 教学设计过程

第一课时
放映课件:分式的引入,来引出本节的知识点。现在,我们就来研究分式。 (一)做一做 1.一项工程,如果由某施工队做需要 a 天完成,那么这个施工队平均每天应完成该项工程的______, b(b<a)天应完成该项工程的_______。 2.A,B 两个城市之间的路程为 mkm,如果甲车的速度为 vkm/h,乙车每小时比甲车多行驶 10km,那 么甲车从 A 城行驶到 B 城所用的时间为_______h,乙车从 A 城行驶到 B 城所用的时间为______h。

1 b m m , , , 在上面的问题中,我们得到了代数式 a a v v ? 10.

s c x?y , , t 2ab x ? y 等代数式。 在前面我们还遇到过
(二)大家谈谈 1.上面这些代数式与整式有什么不同?这些代数式有什么共同特征? 2.请你举出两个具有上述特征的代数式。 分组讨论后回答

A 上面的代数式有一个共同的特征:都是 B 的形式,其中,A,B 都是整式,并且 B 中都含有字母。像
1

这样的代数式叫做分式(fraction) 。其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

1 在数的运算中,0 不能做除数。因此当分式的分母等于 0 时,分式没有意义。如分式 x ? 5 ,当 x=5
时没有意义。 例 1:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?

x2 x? y 1 2 c 4x 7 , x ? 1 , 3x ? 5 , 3 , a ? b , ? ? 1 , x
注解: (1)分式也是代数式;

A (2)分式是两个整式的商,它的形式是 B (其中 A,B 都是整式并且还要求 B 是含有字母的整式)
(3)A 称为分式的分子,B 为分式的分母。 注意:分式中字母的取值不能使分母为零。因为当分母的值为零时,分式就没有意义。

2 4 1 18 18x 6 , , , 2, 我们知道,分数 4 8 2 是相等的。对于分式 3x 3x x ,它们是否也具有相等关系呢?
(三)一起探究 回顾分数的基本性质

2 2 ? 5 10 ? ? 3 3 ? 5 15 ;

16 16 ? 4 4 ? ? 36 36 ? 4 9

教师问:这样运算的依据是什么? 学生:这是根据分数的基本性质 引导学生一起说出分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的数,分数的值 不变。 教师问:那么分式有没有类似的性质呢? 1.对下列 x 的值,分别求出各分式的值,填人表中。 分式 x=1 6 x=2 x=3 x=4

18 3x

18x 3x 2
6 x

3

2

18 18x 6 , 2, 2.当 x 取任意不为 0 的值时,对应的代数式 3x 3x x 的值都相等吗?你再给出 x 的几个值,验证你 18 18x 6 , 2, 的结论。你认为 3x 3x x 这三个分式相等吗?
分式有着与分数类似的基本性质。即

2

分式的分子与分母都乘(或除以)一个不等子 0 的整式,分式的值不变。

A A?M A A ?M ? , ? B B ? M B B ? M (M 是不等于 0 的整式) 。
教师问:为什么所乘的整式不能为零呢? 分式与分数有许多类似的地方,因此,在分式的学习中,要注意与分数进行对比,如可列表比较如下: 分数 形式 分式

a b (a,b 是整数,且 b≠0)

A B (A,B 是整式,且 B 中含字
母,B≠0

条件

a b=0 时,分数 b 无意义; a b≠0 时,分数 b 有意义; a ?0 a=0 且 b≠0 时,分数 b

A B=0 时,分式 B 无意义; A B≠0 时,分式 B 有意义; A ?0 A=0 且 B≠0 时,分式 B A A?M A ?M ? ? B B? M B ? M
(M 是整式,且 M≠0)

基本性质

a a?m a ?m ? ? b b?m b ? m
(m 是整数,且 m≠0)

(四)练习 1.某车间计划在 x 天内加工 200 个零件,而实际加工时比原计划少用 2 天完成了任务。那么实际每天 加工多少个零件?(用含有 x 的代数式表示 2.当 x 取何值时,下列分式有意义?

1 ; x ?1 2x ? 3 (2) 2x ? 3 (1)

y 1 3.(1)小亮说,分式 x 与 xy 相等。他说得对吗?根据是什么?
2b 2 (2)小红说,分式 ab 等于 a 。你认为她说得对吗?为什么?
(五)小结 引导学生总结本节的主要知识点。
3

第二课时
教学目标

14.1 分式

教学设计(二)

知识与技能 说出分式的意义,会区别整式与分式;会求出一分式有意义、无意义和值为零的条件; 总结分式的基本性质,会灵活运用分式的基本性质将分式变形;会熟练地将分式约分。 过程与方法 经历分式概念的抽象过程,进一步发展符号感;经历由类比猜想获得分式基本性质的过 程。 情感态度价值观通过类比整式探索分式,体会整式与分式的不同,初步体会类比的思想方法。 教学重点、难点 重点:分式的概念及分式有、无意义、分式的值为零的条件以及分式的基本性质、 分式的约分。难点:分式的约分。解决办法:以小组讨论的形式来学习分式的值为零的条件及分式的性质, 利用分式的性质来学习分式的约分,通过大量练习来巩固。 教学方法 小组讨论,讲练结合 教学设计过程

(一)试着做做 利用分式的基本性质,使下列分式的分子、分母不含公因式。

(1) (2)

ab ; b2 x x(x ? 1)

事实上:

ab b a a x 1 ? ? ; ? 2 b b b b x(x ? 1) x ? 1
像上面这样,把分式中的分子、分母的公因式约去,叫做分式的约分。 把一个分式进行约分的目的,是使这个分式变为最简分式。 请同学思考一个问题:将分式约分时,约去分式中的分子与分母的公因式,为什么分式的值不变? 答:因为所给的分式都是有意义的,也就是说,分母的值不等于零。而分式的分子与分母的公因式一 定是分式的分母的一个因式,根据分式的基本性质,约分后分式的值不变。 (二)例题

为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什 么? 答:因为分式的分子与分母都是单项式,取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的 最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式。

4

指出:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边。这就同时改变了分式本身与 分子或分母的符号,所以分式的值不变。 例 2 约分

(1)

(x ? y)(x ? y) a(x ? y) 4m ? m2 m2 ? 8m ? 16

(2)

(1)为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因 式是什么? 解:

(x ? y)(x ? y) a(x ? y) x?y ? a
(2)分子、分母都是多项式,并且都能分解因式,可以先分解因式,再分别确定分子与分母的公因 式。

4m ? m 2 m 2 ? 8m ? 16 m(4 ? m) ? (4 ? m) 2 m ? 4?m
教师归纳约分的基本步骤: (1)若分子﹑分母都是单项式,则约简系数,并约去相同字母的最低次 幂; (2)若分子﹑分母含有多项式,则先将多项式分解因式,然后约去分子﹑分母所有的公因式。 注意:约分过程中,有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷;约分的依据是分式的基本性 质。

2p 2 ? pq 2 2 例 3 当 p=2,q=5 时,求分式 4p ? 4pq+q 的值。
分式的分子、分母都是多项式,可以先分别因式分解,约分,把分式化为最简分式,再求值。

2p 2 ? pq 2 2 解: 4p ? 4pq+q
p(2p ? q) (2p ? q) 2 p ? 2p ? q ?
当 p=2,q=5 时,

5

原式 ?

2 ? ?2 2? 2 ? 5

(三)大家谈谈 对于例 3,你还有其他解法吗?你认为怎样求分式的值更简便? (四)练习 1.下列分式的约分,哪些是正确的?

x3 (1) 2 ? x; x a2 (2) ? a; 2a ?x ? y (3) ? ?1; x?y (4) ( ? m 2 )n ? ?m mn

2.约分

6ab 2 ; 8b3 (m ? 1) (2) ; ab(1 ? m) (1) x 2 ? 2xy (3) 2 ; x ? 4xy ? 4y 2 a 2 ? 2a ? 1 (4) a2 ? a
(五)小结 请同学概括分式约分的步骤。 答:1.如果分式的分子、分母是单项式,约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂。 2.如果分式的分子与分母都是多项式时, 可先把分子、 分母分解因式, 然后约去分子与分母的公因式。 3.当分式的分子或分母的系数是负数时,应先把负号提到分式的前边。 (六)教学反思:

6


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