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对数的运算性质(1)


对数的运算性质

授课教师:梁武赠

授课班级: 高一12班

教学目标
1.理解并掌握对数性质及运算法则,能初步运用对 数的性质和运算法则解题. 2.通过法则的探究与推导,培养从特殊到一般的概 括思想,渗透化归思想及逻辑思维能力. 3.通过法则探究,激发学习的积极性.培养大胆探 索,实事求是的科学精神.

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教学重点难点

重点是对数的运算法则及推导和应用; 难点是法则的探究与证明.

复习上节内容

对数定义: 一般地,如果 a b ? N ?a ? 0, a ? 1?
那么数 b叫做 以a为底 N的对数,记作

loga N ? b
a叫做对数的底数,N叫做真数。

指 数 式

对 数 式

对数有关性质: ⑴负数与零没有对数 ⑵

loga 1 ? 0 loga a ? 1
a
loga N

⑶对数恒等式 课前练习: ⑴ ⑵ ⑶

? N

loga a ? b
b

log3 1 ? log3 3 ? log 3 27 ? 4 ln e ? lg100 ? 3 lg 2 ? lg 5 ? ?

指数运算性质

a ?a ? a
m n
m

m? n

(a ? 0, a ? 1, m, n ? R)

a m? n ? a (a ? 0, a ? 1, m, n ? R) n a

(a ) ? a (a ? 0, a ? 1, m, n ? R)
m n
mn

能推出对应的对数运算性质吗?

已知

a ?a ? a
m n

m? n

(a ? 0, a ? 1, m, n ? R)
n
(假设) (指数式化对数式) n ?loga N (指数运算性质 恒等变换)

推导: 设 a 由

m

则 m ? loga M
m n

? M,a ? N
m? n

得 a ?a ? a loga M ?loga N M ?N ?a

根据对数定义得

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
(指数式化对数式)

练习:计算下列各式的值
?(1) loga (M ? M ) =loga M 2 (2) loga (M ? M ? M ) =loga M 3
n = log M (3) loga (M ? M ? ? ? M ) a ?? ?? ?

解: ?(1) loga (M ? M ) ? loga M ? loga M ? 2 loga M ?(2) loga (M ? M ? M ) ? loga [(M ? M ) ? M ] ?? loga M ? loga M ? loga M ? 3?loga M
(3) log a ( M ? M ? ? ? M )=log a M ? log a M ? ? ? ? ? log a M ??? ? ?? ? ?????? ?????? ?
n个 n个

n个

=n loga M

结论: loga M n=n loga M

(n ? R)

M a m?n 试根据 n ? a 证明 loga N ? loga M ? loga N a

m

证明:设 a

m

则 由

m ? loga M
m n

? M,a ? N
n

n ? loga N


a ?a ? a

m?n

M loga M ?loga N ? a N
M N

根据对数定义得

loga

?

loga M ? loga N

对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N ⑵ N n loga M ? n loga M (n ? R) ⑶
语言表达: 积的对数=各因式对数的和 商的对数=被除数的对数-除数的对数 n次方的对数=对数的n倍

练习一:
1.若a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,M>N,试判断下列式子
的关系。

(1) loga (M ? N ) ≠

loga M ? loga N

(2) loga (M ? N ) ≠ loga M ? loga N

(3) log

M a N



loga M loga N

练习:
? 1.下面四个等式中,一定成立的是 A. lg(8 ? 4) ? lg 8 ? lg 4 B. log2 8 ? 4 ? log2 8 ? log2 4 (

D)

ln 8 8 ? ln C. ln 4 4
D. log2 8 ? 3 log2 2

讲解范例 例3 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) log a

x

2 3

y z

?

log a ( x y ) ? log a z
2
1 2 1 3

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

练习二:P68 1.用 loga

x, loga y, loga z 表示下列各式:
2

xy (1) lg(xyz); (2) lg z xy3 x (3) lg (4) lg 2 z y z 解: (1 ) lg( xyz) ? lg x ? lg y ? lg z xy 2 (2) lg ? lg xy 2 ? lg z ? lg x ? 2 lg y ? lg z z3 1 xy 1 3 2 (3) lg ? lg xy ? lg z ? lg x ? 3 lg y ? lg z 2 z 1 x (4) lg 2 ? lg x 2 ? (lg y 2 ? lg z ) y z 1 ? lg x ? 2 lg y ? lg z 2

讲解范例 例4 求下列各式的值: (1) log2 (47 ? 25 ) 解 : log (47 ? 25 ) 2 (2) lg 5 100 解 :
1 5

lg 5 100 ? lg100

? log2 47 ? log2 25
? 7 log2 4 ? 5 log2 2
=7×2+5×1 =19

1 ? lg 100 5 1 ? ?2 5

2 ? 5

练习三:P68页 2.求下列各式的值:

(1) log3 (27? 9 )
2

(2) lg100
(4) ln e

2

(3) lg 0.00001

解: (1) log3 (27? 92 ) ? log3 27 ? log3 92 ? 3 ? 2? 2 ? 7 2 (2) lg100 ? 2 lg100 ? 2 ? 2 ? 4
(3) lg 0.00001 ? lg10?5 ? ?5

1 (4) ln e ? ln e ? 2

1 2

巩固练习: 练习四:

(1) log2 6 ? log2 3 ? 1 (2) 2 log5 10 ? log5 0.25 ? 2
(3)若 lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则

2 ab 3 x ? ______ c

(4) 已知ln x ? 3, ln y ? 4, 则ln xy ? 3.5

课堂小结:

对数的运算性质
1 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

M log a ? log a M ? log a N ⑵ Nn loga M ? n loga M (n ? R) ⑶

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

2 对数运算性质的功能主要有两个: 一是化复杂的真数(积或商的形式)为简单的真数; (真数相乘除,对数相加减) 二是将多个同底对数式的和差合为一个对数式。 (对数相加减,真数相乘除)

课后作业:
㈠ P74, 第3题(1)(3)(5)
㈡ 补充作业: ⑴ 利用关系式 loga N ? a ? N
b

证明换底公式

log m N log a N ? log m a

谢谢!


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