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福建省福州市八县一中2014年高二上期末考试数学(理)试题及答案


八县一中 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学(理)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求。 ) 1.命题: “ ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 ”的否定形式是( A ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 C ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 2.抛物线 C

: y ? 4 x 的焦点坐标为(
2



B ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 D ?x ? 0 , x 2 ? x ? 0 ) C (0,
?

A (0,1)
?

B (1,0)

1 ) 16
? ?

D (

1 ,0) 16


3.若向量 a ? (?1,0,1) ,向量 b ? (2,0, k ) ,且满足向量 a // b ,则 k 等于( A 1 B ?1 C 2 D ?2

x2 y2 4.“ 1 ? m ? 2 ”是“方程 ? ? 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的( m ?1 3 ? m
A 充分不必要条件 C 充要条件 5.经过点 P (2, ?2) ,且与双曲线 C : B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

)

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2
C



A

x2 y2 ? ?1 4 2

B

y2 x2 ? ?1 2 4

x2 y2 ? ?1 2 4

D

y2 x2 ? ?1 4 2

6 .如图所示,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点,若

BE ? AA1 ? xAB ? y AD ,则(
1 1 A x?? ,y? 2 2 1 1 C x?? ,y ?? 2 2

?

?

?

?

A1

D1




E C1

1 1 B x? ,y ?? 2 2 1 1 D x? ,y ? 2 2

B1 A

D

B

C

7. ?ABC 中, A(?5,0), B (5,0) ,点 C 在双曲线

x2 y2 sin A ? sin B ? ? 1 上,则 =( 16 9 sin C



A

3 5

B ?

3 5

C

4 5

D ?

4 5
?

8 .如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是棱 CD 的中点,则 A1 M 与

DC1 所成角的余弦值为(
A

?

D1

C1


A1 B1 D M A B

?

2 6

B

2 6

C ?

10 10

D

10 10

C

9. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线上一点 P 作 PM 垂直 l 于 M ,若 ?PFM ? 60 0 ,则 ?PFM 的面积为( A p
2



D 2 3p2 ... 10.如果命题“若 x ? y , y // z ,则 x ? z ”是假命题,那么字母 x, y, z 在空间所表示的几何 B C 2p 图形可能是( ) B x, y, z 全是平面 D x, y 是平面, z 是直线 A x, y, z 全是直线 C x, z 是直线, y 是平面 11 .已知椭圆

3p2

2

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 与双曲线

x2 m2

?

y2 n2

? 1(m ? 0, n ? 0) 有共同的焦点 (?c,0) 和
)

且满足 c 是 a 与 m 的等比中项,n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项, 则椭圆的离心率为( (c,0)(c ? 0) , A

3 3

B

2 2

C

1 4

D

1 2
2 2

12.在平面直角坐标系中,一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离 心率和焦距,称它们为一组“共性双曲线” ;例如将等轴双曲线 x ? y ? 2 绕原点逆时针转动 45 0 , 就会得到它的一条“共性双曲线” y ? ( ) A 4 B 4 2 C 8 D 8 2

1 3x ? 1 ;根据以上材料可推理得出双曲线 y ? 的焦距为 x x ?1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13.命题“若 ?C ? 90 0 ,则 ?ABC 是直角三角形”的否命题的真假性为 14.若“ x ? a ”是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的充分不必要条件,则 a 的取值范围为

15.已知 ?ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形,其中 BA ? (1, m,2) , BC ? (2, m, n) ( m, n ? R ),则 m ? n ? 16.在平面直角坐标系中,已知 M (? a,0), N (a,0), 其中 a ? R ,若直线 l 上有且只有一点 P ,使 得 PM ? PN ? 10 ,则称直线 l 为“黄金直线” ,点 P 为“黄金点” 。由此定义可判断以下说法中正 确的是 1 当 a ? 7 时,坐标平面内不存在黄金直线; ○ 2 当 a ? 5 时,坐标平面内有无数条黄金直线; ○ 3 当 a ? 3 时,黄金点的轨迹是个椭圆; ○ 4 当 a ? 0 时,坐标平面内有且只有一条黄金直线; ○ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.命题 p : ?x ? 0, x ?
?

1 2 ? a ;命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 1 ? 0 。 x

若 q 为假命题, p ? q 为假命题,则求 a 的取值范围。

18.已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且经过点 ? 3,2 6 。 a2 b2

?

?

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程和其渐近线方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 有且只有一个公共点,求所有满足条件的 k 的取值。 19 .如图所示,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 是线段 AB 的中点, CA ? CB ? CC1 ? 1 , B C

?ACB ? 90 0 。
(Ⅰ)证明: BC1 // 面 A1CD ; (Ⅱ)求面 A1CD 与面 A1C1CA 所成的锐二面角的余弦值。

1

1

A
1

C B D A 20. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 M (1,?2) 。
2


D

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于两点 A( x1 , y1 )、 B( x 2 , y 2 ) ,点 D 在抛物线 C 的准 线上,且满足直线 BD 平行 x 轴,试判断坐标原点 O 与直线 AD 的关系,并证明你的结论。

21. 已知椭圆

x2 y2 3 ,且右焦点 (c,0)(c ? 0) 到直线 x ? 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 2 a b

的距离为 3 。 (Ⅰ) 求椭圆的方程; ( Ⅱ ) 已 知 点 A(2,?1) , 过 原 点 且 斜 率 为 k (k ? 0) 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 两 点

P( x1 , y1 )、 Q( x 2 , y 2 ) ,求 ?APQ 面积的最大值。
22. 如图 (1) ,?ABD 为等边三角形,?BCD 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形且 CD ? 2 , ,使得线段 AC 的长度等于 2 ,对于图二,完成 E 为线段 CD 中点,将 ?ABD 沿 BD 折起(如图 2) 以下各小题: (Ⅰ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值; (III) 线段 AB 上是否存在点 P , 使得平面 CPE 与平面 ABD 垂直?若存在, 请求出线段 BP 的 长度;若不存在,请说明理由。 C E


A

B

D

C


E D

B A (图 1) (图 2)

2014---2015 学年度第一学期八县(市)一中期末联考 高中 二 年 数学(理)科答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 B 10 D 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 假 14. a ? ?1 15. -1 16. ①②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分)

1 a ? ( x ? ) min x 17.解:不妨设 p 为真,要使得不等式恒成立只需 , 1 (x ? ) ? 2 (当且仅当 x ? 1时取" ?" ) ∴ a ? 2 ???????????4 分 x 又∵当 x ? 0 时,
不妨设 q 为真,要使得不等式有解只需 ? ? 0 ,即 (?2a ) ? 4 ? 0
2

解得 a ? ?1或a ? 1 ??????????????????????????????8 分 ∵ ?q 假,且“ p ? q ”为假命题, 故 q 真 p 假??????????????????10 分

a?2 ? ? a ? ?1或a ? 1 ∴实数 a 的取值范围为 a ? 2 ?????????????????12 分 所以 ?
18.解:(1)由题意可知:双曲线的焦点为(-2, 0)和(2,0) 根据定义有
2a ? (?3 ? 2) 2 ? (2 6 ? 0) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? (2 6 ? 0) 2 ? 2

∴ a ? 1 ,由以上可知: a ? 1, c ? 4, b ? 3 .∴所求双曲线 C 的方程为:
2 2 2

x2 ?

y2 ?1 3 .?4 分

渐近线方程为: y ? ? 3 x ????????????????????????????6 分

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x y2 ? ? 1, 2 2 ? 3 (2)由 ? 1 得: (3 - k )x ? 4kx ? 7 ? 0 .??????????????????7 分
2 ①当 3 - k ? 0 即 k ? ? 3 时,此时直线 l 与双曲线相交有一个公共点,符合题意?????8 分 2 ② 当 3 - k ? 0 即 k ? ? 3 时,由△=0 得 k ? ? 7 ,

此时直线 l 与双曲线相切有一个公共点,符合题意??????????????????11 分

综上所述:符合题意的 k 的所有取值为 3 ,? 3 , 7 ,? 7 。??????????????12 分
C1 B1

19.解: (法一)(1)连结 A1C交AC1于M ,连结 DM
A1

又 D,M 分别是 AB,AC1 的中点,故 DM 为△ABC1 的中位线 ∴ DM // BC1
A

M



C B


D

又∵ DM ? 面A1CD, BC1 ? 面A1CD

∴ BC1 // 平面 A1CD ?????4 分

z C1 B1

(2)如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. ??????????????5 分A1

1 1 1 1 CD ? ( , ,0) C (0,0,0), A1 (1,0,1), D( , ,0) CA ? ( 1 , 0 , 1 ) 2 2 2 2 1 ∴ ∴ ,
设平面 A1CD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
A x

C
● ●

y B D

?x ? z ? 0 ? ? ?m ? CA1 ? 0 ? ? ?1 1 ?? x? y ?0 ? ?m ? CD ? 0 2 ?2 则? ,取 x ? 1 ,得 m ? (1,?1,?1) .???????????8 分
依题意可知平面 A1CA 的法向量: 则 cos ? m, n ??

n ? CB ? (0,1,0)

??????????????????10 分

m?n | m || n

?

?1 1? 3

??

3 3

3 ∴面 A1CD 与面 A1C1CA 所成的锐二面角的余弦值为 3 ??????????????12 分
(法二)(1) 如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. ??????????????????1 分

1 1 C (0,0,0), A1 (1,0,1), D( , ,0), B(0,1,0), C1 (0,0,1) 2 2 ∴

1 1 CD ? ( , ,0) 2 2 , BC1 ? (0,?1,1) ∴ CA1 ? (1,0,1) ,
设平面 A1CD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,



?x ? z ? 0 ? ? ?m ? CA1 ? 0 ? ? ?1 1 ?? x? y ?0 ? ? 2 ?2 ?m ? CD ? 0

,取 x ? 1 ,得 m ? (1,?1,?1) .???????????4 分

∴ BC1 ? m ? 0 ? 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 ? (?1) ? 0 又∵ BC1 ? 面A1CD

∴ BC1 ? m

∴ BC1 // 平面 A1CD ???????????????????8 分

(2)依题意可知平面 A1CA 的一个法向量: 则 cos ? m, n ??

n

? CB ? (0,1,0)

??????????10 分

m?n | m || n

?

?1 1? 3

??

3 3

3 ∴面 A1CD 与面 A1C1CA 所成的锐二面角的余弦值为 3 ??????????????12 分
(说明:由于平面的法向量不唯一,所以解答过程 不唯一) .. 2 2 20.解:(1) 将 M(1,-2)代入 y =2px, 得(-2) =2p·1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为: y ? 4 x ??????????????????????3 分
2

其准线方程为 x=-1. ???????????????????????????????4 分 (2)判断坐标原点 O 在直线 AD 上,???????????????????????5 分 现证明如下:依题意可设过 F 的直线 l 方程为:x=my+1(m ? R ) , 设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , D (?1 , y 2 ) 由?

? x ? my ? 1, ? y ? 4 x,
2

得: y - 4my ? 4 ? 0
2

依题意可知 ? ? 0恒成立 ,且 y1 y 2 ? ?4 ?????????????????????9 分

又∵ k OA ? k OD ? 又∵ y1 y 2 ? ?4 ,

y1 y 2 ? y1 ? x1 y 2 ? ? ? x1 ? 1 ? x1
∴ k OA ? k OD ? 0

? y1 ? (

y1 ) y2 2 4 y1 ? y1 y 2 y1 (4 ? y1 y 2 ) 4 ? ? ? x1 4 x1 4 x1

2

即证坐标原点 O 在直线 AD 上??????????????????????????12 分 (说明:直线 l 方程也可设为:y=k(x-1) ,但需加入对斜率不存在情况的讨论,否则扣 1 分) 21.解:(1) 依题意可知

c? 3 ? 3

,∴ c ? 2 3或c ? 0(舍去) ???????????2 分

x2 y2 3 ? ?1 2 2 2 4 又∵离心率为 2 ,∴ a ? 4 ,故 b ? a ? c ? 4 因此椭圆的方程为: 16 ??4 分
2 2 (2)将直线 l 方程:y=kx 与椭圆方程联立消 y 得 (1 ? 4k )x ? 16 ? 0 ,

所以

x2 ?

16 1 ? 4k 2 ???????????????????????????????6 分



PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? 2 ?
2k ? 1

16 1 ? 4k 2 ????????????????8 分

又∵点 A 到直线 l 的距离 d= 1 ? k

2

???????????????????????9 分

2k ? 1 1 4k 2 ? 4k ? 1 PQ ? d ? 4 ? ? 4? 2 2 1 ? 4k 2 ? APQ 1 ? 4 k 故 的面积=
? 4? 1? 4k 4 ? 4? 1? 2 1 1 ? 4k ? 4k k

当 k>0 时, 4k ?

1 1 ? 4(当且仅当 k ? 时取" ?" ) , k 2

故当 k ?

1 时 , ?APQ 的面积有最大值 4 2 2

???????????????????12 分
z A

22.解: (1)∵ CD ? CB ? 2, AB ? BD ? AD ? 2 2
2 2 2 又∵ AC ? 2, ∴ AC ? CB ? 8 ? AB

∴ AC ? CB
P


同理可证 AC ? CD

故 AC 垂直面 BCD 内两条相交直线
B x

C

E


则 AC ? 平面 BCD ???????????????????3 分 (2) 由(1)知 AC ? CB , AC ? CD ,又有 CD ? CB

D y

故可建如图所示建立空间直角坐标系 C-xyz. ????????????????????4 分 ∴ C (0,0,0), A(0,0,2), B(2,0,0), D(0,2,0), E (0,1,0) ∴ AB ? (2,0,?2) , AD ? (0,2,?2) , AE ? (0,1,?2) , CE ? (0,1,0) 设平面 ABD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

? ? ?m ? AB ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 ?? ?? ?m ? AD ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ,取 x ? 1 ,得 m ? (1,1,1) .?????????????6 分 则?
设直线 AE 与平面 ABD 所成角为θ ,

sin ? ?| cos ? m, AE ?|?


| m ? AE | | m || AE

?

1 5? 3

?

15 15

,??????????????7 分

15 ∴设直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值为 15 . ?????????????????8 分
(3)假设存在符合条件的点 P,并设 BP ? ? BA ? ? (?2,0,2) ? (?2? ,0,2? ) ( ? ? [0,1] ) 则 CP ? CB ? BP ? (2,0,0) ? (?2? ,0,2? ) ? (2 ? 2? ,0,2? ) 设平面 CPE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ? ? ?n ? CE ? 0 ? y ? 0 ?? ? ?? ? n ? CP ? 0 ? ?(2 ? 2? ) x ? 2?z ? 0 ,取 x ? ? ,得 n ? (? ,0, ? ? 1) .?????11 分 则
要使得平面 CPE 与平面 ABD 垂直,只需 m ? n ? 0 即 1 ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ? (? ? 1) ? 0 解得 ? ?

1 ? [0,1] , 2

故线段 AB 上存在点 P,使得平面 CPE 与平面 ABD 垂直,此时线段 BP 的长度为 2 ???14 分 (说明:①答案提及“存在”而不能说明理由的得 1 分 ②第(3)小题也可设 P(2-t,0,t)展开解答)


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