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均值不等式(1)


第四届贵州师范大学教学技能大赛理科高中组

均值不等式
普通高中课程标准实验教科书 人教A版 必修5 参赛组员:李红 张明雪 简浩淼 指导教师:周永辉 参赛单位:数学与计算机科学学院 参赛时间:2013年5月25 刘恺 孟天碧

一、情景创设
——珠宝销售问题
? 有顾客到一珠宝店买珠宝,回家一称发现重量少了,于是 向工商局投诉。工商局派人去调查,发现天平左右两臂不 等。商人提出一个调解方案:左右各称一次,将两次所称 重量相加除以2作为物品的实际重量。 ? 如果你是购买者,你接受他的方案吗?

——均值不等式

二、情景回顾
第一次称量
珠宝 砝码 a

m1=a

第二次称量
砝码 b 珠宝

m2=b (b ≠ a)

调解方案

a?b M = ! 2

你同意这样的调解方案吗?
——均值不等式

三 问题解决
L1

——珠宝实际质量m =?
L2

杠杆原理 动力?动力臂 = 阻力?阻力臂

m

a

L1

L2

b

m

bg ? L1 ? mg? L2 ? m a ? ? (?÷?) b m

?

第一次

mg ? L1 ? ag ? L2 第二次

?

m2 ? ab
m? ab
——均值不等式

四 问题解决
a?b 调解方案M = , 实际质量 m = 2

ab

——按调解方案,顾客亏了还是赚了?

a?b 比较 (a 与 ab ≠b且a、b>0 ) 的大小? 2
a?b 解: ? 2 ab ? a ? b ? 2
2
? ( a ? 2

ab 2
b)
2

?0

亏了!

?M> m

——均值不等式

五 新知学习
定理:如果

a、 b 是正数,那么有均值不等式
a?b ? 2 ab

当且仅当

a ? b 时取等号。
a?b 2

通常,我们称

a、b的算术平均数

ab

a、b的几何平均数

定理也可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
——均值不等式

六 巩固练习

1 例:已知函数 f ( x ) ? x ? ( x
的最小值和此时的

x>

0),求函数

x的取值.

解:因为 x ? 0, 1
x

? 0 ,所以由均值不等式

1 1 有 f ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2 x x
1 又因为当且仅当 x ? 时取得最小值 x
即 x ?1 (

x ? ?1 舍去)时取得最小值2.
——均值不等式

七 小结

今天我们有哪 些收获呢?

——均值不等式

八 课后作业

1、课后习题: P 100

1,2 ,3.

2、如图,AB是圆O的直径,Q是AB上任一点AQ=a,BQ=b,过点Q作

a?b ? ab 的几何意 垂直于AB的弦PQ,连AP,BP,你能给出 2
义吗?
P

A

a O

Q b

B

——均值不等式

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