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2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题


新课标 2013 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题 第一卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M

? ? x | ?3 ? x ? 1? , N ? ??3, ?2, ?1,0,1? ,则 M ? N ? ()

( A) ??2, ?1,0

,1? ( B) ??3, ?2, ?1,0? (C ) ??2, ?1,0? ( D) ??3, ?2, ?1?
(2)

2 ? () 1? i

( A) 2 2 ( B) 2 (C ) 2 ( D) 1

? x ? y ? 1 ? 0, ? (3)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是() ? x ? 3, ?
( A) ?7 ( B) ?6 (C ) ?5 ( D) ?3
? (4) ABC 的内角, , ,的对边分别为, , ,已知 = 2, B
的面积为()

?

?
6

, C

?

?
4

, ?ABC 则

( A) 2 3 ? 2 ( B) 3 ? 1 (C ) 2 3 ? 2 ( D) 3 ? 1
x2 y 2 (5)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F , F2 , P 是 C 上 1 a b
的点, PF2

? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为()

( A)

3 3 1 1 ( B) (C ) ( D) 6 3 3 2
2 ? ? , 则 cos2 (? ? ) ? () 4 3

(6)已知 sin 2?

( A)

1 1 1 2 ( B) (C ) ( D) 6 3 2 3
? 4 ,那么输出的 S ? ()

(7)执行右面的程序框图,如果输入的 N

1 1 1 ( A) 1 ? ? ? 2 3 4
1 1 1 ( B) 1 ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2

1 1 1 1 (C ) 1 ? ? ? ? 2 3 4 5
1 1 1 1 ( D) 1 ? ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
(8)设 a ? log3 2, b ? log5 2, c ? log2 3, 则()

( A) a ? c ? b ( B) b ? c ? a (C ) c ? b ? a ( D) c ? a ? b
一个四面体的定点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1, 0,1), (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zox 平
面为投影面,则得到的正视图可以为()

( A) ( B) (C ) ( D)
( 10 ) 设 抛 物 线 C :

y2 ? 4x 的焦点为 F

,直线 l 过

F

且与 C 交于

A, B 两 点 若

AF ? 3 BF , ,则 l 的方程为()

( A) y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 ( B) y ?

3 3 ( x ? 1)或y ? ? ( x ? 1) 3 3

(C ) y ? 3( x ? 1)或y ? ? 3( x ? 1)
( D) y ?

2 2 ( x ? 1)或y ? ? ( x ? 1) 2 2

(11)已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c, 下列结论中错误的是()

( A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0
( B) 函数的 y ? f ( x) 图像是中心对称图形

(C ) 若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 ( D) 若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 f ( x)
(12)若存在正实数 x 使 2
x

( x ? a ) ? 1成立,则 a 的取值范围是()

( A) (??, ??) ( B) (?2, ??) (C ) (0, ??) ( D) (?1, ??)
第二卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 13 题——第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答。 第 22 题——第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是。 (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 中点,则 AE ? BD ? 。 (15)已知正四棱锥 O—ABCD 的体积为 半径的球的表面积为。 ( 16 ) 函 数

??? ??? ? ?

3 2 2

,底面边长为

3 ,则以 O 为球心,OA 为

y ? cos(2 ? ? )(? ? ? ? ? 的 图 像 向 右 平 移 x ? )

? 2

个单位后与函数

y ? sin(2 x ? ) 的图像重合,则 ? ? 。 3
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列

?

?an ? 的公差不为零, a1 ? 25, 且 a1, a11, a13 成等比数列。

(?) 求 ?an ? 的通项公式

(??) 求 a1 ? a4 ? a7 ???? ? a3n?2 。

(18)(本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A B C1 中 D, E 1 1 分别是 AB, BB 的中点。 1

A1

C1 B1 E

(?) 证明: BC1 / / 平面 ACD 1

A D B
(??) 设 AA1 ? AC ? CB ? 2, AB ? 2 2, 求三棱锥 C ? A1DE 的体积。

C

(19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利 500 元,未售出 的产品, 1t 亏损 300 元, 每 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示,经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品,以 X(单位:t,

100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售
季度内经销该农产品的利润。

(?) 将 T 表示成 X 的函数 (??) 根据直方图估计利润 T 不小于 57000 的概率
(20) 在平面直角坐标系 xoy 内,已知圆 P 在 x 轴上的、截得的线段长为 2 线段长为 2

2, 在 y 轴上截得的

3,

(?) 求圆心 P 的轨迹方程 (??) 若 P 点到直线 y=x 的距离为
(21) 已知函数

2 ,求圆 P 的方程。 2

f ( x) ? x 2 e ? x

(?) 求 f ( x) 的极小值和极大值。 (??) 当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。


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