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16.2.3 正方形性质 课件


一、复习
矩形: 有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形的性质

矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。

菱形: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质 菱形的四条边都相等。

菱形的对角线互相垂直,并且每 一条对角线平分一组对角。

你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?
有一个角 是直角 有一组邻 边相等 有一个角是直角的菱形叫做正方形。 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 有一组邻 边相等 有一个角

是直角

有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

(1)正方形是菱形吗?正方形具有哪些性质?

正方形是特殊的菱形,它具有平行四边形、矩形、 菱形的一切性质。
A D O

边:对边平行,四边都相等。 角:四个角都是直角
B

C

对角线:对角线相等且互相垂直平分,每一条对角 线平分一组对角。

(2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对 称轴?

正方形是轴对称图形,它有四条对称轴.即两 条对角线,两组对边的中垂线.

根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
图形 性质 对边平行且相等 四边相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 平行四边形 矩形 菱形 正方形





√ √

√ √ √

√ √ √ √ √ √ √ √

√ √ √

例:如图,四边形ABCD是正方形,两条对角线相 交于点O,求∠AOB,∠OAB的度数。 A 解: ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC ⊥BD ∴ ∠AOB= 90° B 又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形. ∴ ∠BAD= 90°, 且AC平分∠BAD ∴ ∠OAB= 45° 本题还有其他解法吗?
O

D

C

A
O

D C

B

(1)边长为2cm 的正方形,对角线的长是______cm (2)正方形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,问图中 8 有____个等腰直角三角形 解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰 直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的 等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直 角三角形.分别是:

已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.

A

D

求证:BE=DE
证明:∵四边形ABCD 是正方形,

E

∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.

B

C

(正方形四条边都相等,每条对角线平分一组对角) 在△ABC和△ADC中 AB=AD ∠BAC=∠DAC. AE=AE ∴△ABC≌△ADC (SAS)

∴BE=DE (全等三角形的对应边相等)

正方形ABCD中,E是BC延长线上一点,且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
A D
j

F

解: ∵正方形ABCD的四个角均为直角, 且对角线平分一组对角。
1 1 ??ACB ? ?BCD ? ? 900 ? 450 2 2

B

C

∵CE=AC ∴∠E=∠CAE E ∵∠ACB是⊿ACE的一个外角 ∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E 1 1 ??E ? ?ACB ? ? 450 ? 22.50 2 2 ∵∠AFC是⊿CEF的一个外角 ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5° ∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°

D

C G F

已知:如图,四边形ABCD与四边形 DEFG都是正方形.求证:AE=CG 证明:∵四边形ABCD和DEFG都是正方形.

E

∴DA=DC, DE=DG ,∠ADC=∠EDG
A

(正方形四条边都相等,四个角都是直角)

B

∴∠ADC-∠ADG=∠EDG-∠ADG, 在△GDC和△EDA中
DC=DA ∠GDC=∠EDA. DG=DE ∴△GDC≌△EDA (SAS)

即∠GDC=∠EDA

∴AE=CG (全等三角形的对应边相等)

如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一 个角,打开,怎样才能剪出一个正方形?

只要保证剪口线与折痕成45°角即可

正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有 什么关系?





对角线

平行四边形 对边平行且相等. 对角相等. 对角线互相平分. 矩形 菱形 对边平行且相等. 四个角都 是直角. 对边平行, 四条边相等. 对边平行. 四条边相等. 对角相等 对角线互相平分、 相等. 对角线互相垂直、 平分. 每一条对角 线平分一组对角. 对角线互相垂直、 平分且相等. 每一 条对角线平分一组 对角.

正方形

四个角都 是直角.


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