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正项级数


§ 2
(一) 教学目的:

正项级数

掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法,比式判别法,根式判别 法和积分判别法. (二) 教学内容:比较判别法;比式判别法;根式判别法;积分判别法. 基本要求: (1)掌握比较判别法,比式判别法,根式判别法和积分判别法. (2) 较高要求:介绍拉贝判别法. (三) 教学建议: (1

) 要求学生必须理解和掌握比较判别法,比式判别法,根式判别法,要布置足量的习 题. (2) 对较好学生可要求掌握拉贝判别法,可挑选适量的习题. (3)由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处,可向学生作比较与总结. 重点:比较判别法, 比值判别法, 根式判别法 ————————————————————————



正项级数收敛性的一般判别原则

显然正项级数的部分和数列是单调递增的,由单调有界定理,正项级数收敛的充分必要条 件是: 定理 5 正项级数

?u
n ?1

?

n

收敛 ? 它的部分和数列 { S n } 有上界。



? n!
n ?1

?

1

1 1 1 1 ? ? ? n?1 n ! 1 ? 2 ? 3 ? n 1 ? 2 ? 2? 2 2
从而 S n ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 3 2! 3! n! 2 2 2

部分和有界,该正项级数收敛。

比较判别法
由定理 5,容易推出下面判别法:

定理 6(比较原则)有两个正项级数

?
n ?1

?

un ,

?v
n ?1

?

n

若存在自然数 N ,当 n ? N 时,有

u n ? cvn , c ? 0 , 则
1) 若级数

? v n 收敛,则级数
n ?1

?

?u
n ?1

?

n

也收敛;

2) 若级数

? u n 发散,则级数
n ?1

?

?v
n ?1

?

n

也发散。

例 讨论 p ? 级数

?n
n ?1

?

1
p

的敛散性。

1) p ? 1 时为调和级数发散; 2) p ? 1 时 3) p ? 1 时

1 1 ? 由比较判别法, p ? 级数发散; p n n

1 1 1 1 ? [ ? p ?1 ] p p ?1 p ? 1 (n ? 1) n n

1 1 1 1 1 1 1 ? p ??? p ? 1? [(1 ? p ?1 ) ? ( p ?1 ? p ?1 ) ? p p ?1 2 3 n 2 2 3 1 1 1 1 1 ?? ( ? p ?1 )] ? 1 ? (1 ? p ?1 ) ? 1 ? p ?1 p ?1 p ?1 (n ? 1) n n Sn ? 1 ?
部分和有界,级数收敛。 结论: p ? 级数

?n
n ?1

?

1
p

p ? 1 时发散; p ? 1 时收敛。

?

例 1)

?
n ?1

?

1 n ( n 2 ? 1)



1 n(n 2 ? 1)

?
?

1 n
3/ 2

, 而

?n
n ?1

1
3/ 2

收敛

由比较判别法,级数
?

?
n ?1

1 n ( n 2 ? 1)

收敛。

例 2)

?
n ?1

1
3

n2 ?1
? 1 n
2/3


3

1 n2 ?1

, 而

?n
n ?1

?

1
2/3

发散,

由比较判别法,级数

?
n ?1

?

1
3

n2 ?1

发散。

比较判别法的极限形式:
推论 有两个正项级数

? un , ? vn , vn ? 0 且 lim
n ?1 n ?1

?

?

un ?k n ?? v n
n

1)若级数

?v
n ?1 ? n ?1

?

n

收敛,且 0 ? k ? ?? ,则级数

?u
n ?1 ? n ?1

?

也收敛;

2)若级数

? v n 发散,且 0 ? k ? ?? ,则级数 ? un 也发散。 ? ln(1 ? n )
n ?1 ?

例 判别下列级数的敛散性 1)

1 ? n ? n! n ?1

?

2)

1

解 首先要找出一个敛散性已知的级数 1)前面我们证明过级数

? n!
n ?1

?

1

收敛,用它作比较得 lim

1 /(n ? n!) ?0 n ?? 1 / n!

所以

? n ? n!
n ?1

?

1

收敛。

2)前面讲过调和级数发散,用调和级数作比较得

lim
?

ln(1 ? 1 / n) ? lim ln[(1 ? 1 / n) n ? 1 n ?? n ?? 1 / n!

所以

? ln(1 ? n )
n ?1

1

发散

用比较判别法,需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础,用起来不大方 便,我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法.



比式判别法和根式判别法

定理 7 (达朗贝尔判别法或比值判别法)有正项级数

?u
n ?1

?

n

i)若存在 N , n ? N 时有

? u n?1 u ? q ? 1 ,则级数 ? u n 收敛(注意 n?1 ? q ? 1 不能 un un n ?1

换为

u n ?1 ?1) un
? u n?1 ? 1 ,则级数 ? u n 发散。 un n ?1

ii) 若存在 N , n ? N 时有



i) 不妨设 n ? 1 时就有

u n?1 ? q ? 1 成立 , 有 un un ? q n?1 , 即 u1

u u u2 ? q , 3 ? q , ? , n ? q , ? 依次相乘 , ? u1 u2 u n?1

un ? u1q n?1 . 由 0 ? q ? 1 , 得
ii) 可见 {u n } 往后递增 , ? 推论 1 有正项级数

?q

n

? ??, ?

?u

n

<??.

un ? 0 , ?
u n ?1 ?l n ?? u n

(n ??).

?u
n ?1 ? n ?1

?

n

且 lim

i) 若 l ? 1 则级数

?u

n

收敛

ii) l ? 1 或 l ? ?? , ?

?u

n

= ?? . ( 证 )

定理 8 (柯西判别法或根式判别法)有正项级数

?u
n ?1

?

n

i)若存在 N , n ? N 时有 换为 n u n ? 1 ) ii) 若存在无限个 n ,有
n

n

u n ? q ? 1 ,则级数 ? u n 收敛(注意
n ?1

?

n

u n ? q ? 1 不能

u n ? 1 ,则级数 ? u n 发散。
n ?1

?

推论 2 有正项级数

?u
n ?1 ? n ?1

?

n

且 lim n u n ? l
n ??

i)若 l ? 1 则级数

?u
? n ?1

n

收敛

ii)若 l ? 1 则级数

?u

n

发散

例 判别下列级数的敛散性

1)

? ( 2 n ? 1)
n ?1
n ??

?

n

n





lim n u n ? lim

n 1 ? , 级数 n ?? 2n ? 1 2

? ( 2 n ? 1)
n ?1

?

n

n

收敛

2)

?n
n ?1

?

n!
n

因 lim
n?

u n?1 (n ? 1)!/(n ? 1) n (n ? 1) n n ? lim ? lim( ) ? e ?1 ? 1 n n?? n?? n ? 1 un n!/ n
收敛。

级数

?n
n ?1

?

n!
n

例 7 研究级数

3 ? ( ?1)n ? 2 n 的敛散性 .
n



lim n u n ? lim
n?? n??

3 ? (?1) n 1 ? ? 1, ? 2 2
n2

?? ?? .

?1? n ? 例 8 判断级数 ? ? ? ? n ?

? n ? 和 ?? ? ?1? n ?

n2

的敛散性 .

解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .

三 积分判别法
级数与无穷积分的关系 :
??

?
1

f ( x)dx ? ?

? n ?1

n ?1 n

?

f ?

n ?1

?u n ,

?

n ?1

其中 u n ?

?f.
n

无穷积分可化为级数 ;

对每个级数, 定义函数 f ( x) ? un , n ? x ? n ? 1 , n ? 1 , 2 , ? , 易见有

n ?1

?u

?

??

n

=

? f ( x)dx .
1

即级数可化为无穷积分.

因此,级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个. 定 理 12.9
??



f

为 [1 , ? ?) 上 的 非 负 函 数 , 那 么 正 项 级 数

? f (n) 与 反 常 积 分

? f ( x)dx 同时敛散。
1

证明

例 用积分判别法研究 p 级数
?

?n

1
p

的敛散性。

例 讨论级数

(1)

? 1 1 ,(2) ? 的敛散性 ? n(ln n) p p n ?1 n ?1 n(ln n)(ln ln n)


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