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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测58 直线与圆锥曲线的位置关系]


课时跟踪检测(五十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 x2 y2 1.已知椭圆 + =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2 为直角三 4 2 角形,则这样的点 P 有 ( A.3 个 C.6 个
2 2

) B.4 个 D.8 个

x y 2. 椭圆 +

=1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点, 4 3 则此弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 ) B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

4 3.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F, 斜率为 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 AF = 3 λ FB (λ>1),则 λ 的值为( A.5 4 C. 3 ) B.4 5 D. 2

x2 y2 4.已知椭圆 + 2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, 4 b B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( A.1 3 C. 2 B. 2 D. 3 )

x2 y2 5.(2013· 兰州名校检测) 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b 离心率为 e.直线 l:y=ex+a 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公 共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率 e=________. 6.(2014· 沈阳模拟)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则 动点 P 的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈________. 7. 如图,椭圆长轴的端点为 A,B,O 为椭圆的中心,F 为椭圆的右

FB =1,| OF |=1. 焦点,且 AF ·
(1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M,直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问:是否存在直线 l,使点 F 恰 为△PQM 的垂心,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

8.(2013· 郑州模拟)已知圆 C:(x+ 3)2+y2=16,点 A( 3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A,B,△AOB(O 是坐标原点)的面积 S 4 = ,求直线 AB 的方程. 5

第Ⅱ卷:提能增分卷 1. 已知中心在坐标原点的椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y2=4 5x 的焦点, 且椭圆 E 的离心率是 6 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(-1,0)的动直线与椭圆 E 相交于 A,B 两点.若线段 AB 的中点的横坐标是- 1 ,求直线 AB 的方程. 2

y2 x2 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦 a b 2 点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在 k 使得以线段 AB 为直径 的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

3. (2013· 广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2:x2=4y 有一个相同 的焦点 F1,直线 l:y=2x+m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标.

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1. 选 C 当∠ PF1F2 为直角时, 根据椭圆的对称性知, 这样的点 P 有 2 个, 同理当 ∠ PF2F1 为直角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时,∠ F1PF2 最大,且为直角,此 时这样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 1 2- 2 1 1 2.选 B 依题意得 e= ,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1, )的连线的斜率为 = 2 2 2- 1 3 2 1 2 ,所求直线的斜率为- ,所以所求直线方程是 y- =- (x-1).即 4x+6y-7=0. 2 3 2 3 p p ? 3.选 B 根据题意设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 AF =λ FB 得? ?2-x1,-y1?=λx2-2, -y1 p 4 x- ?,联立直线与抛物线方程,消元 y2, 故-y1=λy2,即 λ= .设直线 AB 的方程为 y= ? y2 3? 2?
2 3 3 y1 y2 9 1 9 2 2 y1+y2 得 y - py-p =0.故 y1+y2= p,y1· y2=-p , = + +2=- ,即-λ- +2=- . 2 2 y1· y2 y2 y1 4 λ 4 2

又 λ>1, 故 λ=4. 4.选 D 由椭圆的方程,可知长半轴长为 a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB| =4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,

2b2 即 =3,可求得 b2=3,即 b= 3. a 5.解析:因为点 A,B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,所以点 A,B 的 a ? ?x0=e?e-1?, a ? ? 坐标分别是?-e ,0?,(0,a).设点 M 的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|, 得? ?y0=ea. ? (*)
2 ?e-1?2 e2a2 x0 y2 0 因为点 M 在椭圆上,所以 2+ 2=1,将(*)式代入,得 + 2 =1,整理得,e2+e a b e2 b

-1=0, 解得 e= 答案: 5-1 2

5-1 . 2

6.解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c2-a2= 1,∴P 点的轨迹方程为 x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y =k(x-2)有两个交点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) x2 y2 7.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 c=1, a b

FB =(a+c)· 又∵ AF · (a-c)=a2-c2=1.
∴a2=2,b2=1, x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 F 恰为△PQM 的垂心,设 P(x1,y1),Q(x2, y2), ∵M(0,1),F(1,0), ∴直线 l 的斜率 k=1. 于是设直线 l 为 y=x+m, y=x+m, ? ?2 由?x 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 2 + y = 1. ? ?2 4 x1+x2=- m,① 3 x1x2= 2m2-2 .② 3

∵ MP · FQ =x1(x2-1)+y2(y1-1)=0. 又 yi=xi+m(i=1,2),

∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,即 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0. 2m2-2 4m 4 将①②代入得 2· - (m-1)+m2-m=0,解得 m=- 或 m=1, 3 3 3 4 经检验 m=- 符合条件. 3 4 故存在直线 l,使点 F 恰为△PQM 的垂心,直线 l 的方程为 y=x- . 3 8.解:(1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2 3, x2 2 所以轨迹 E 是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,即轨迹 E 的方程为 +y =1. 4 (2)记 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,直线 AB 的斜率不可能为 0, 而直线 x=1 也不满足条件, 故可设 AB 的方程为 x=my+1.
?x2+4y2=4, ? 由? 消去 x 得(4+m2)y2+2my-3=0, ? x = my + 1 , ?

-2m ? ?y +y =4+m , 所以? 3 y· y =- . ? ? 4+m
1 2 2 1 2 2

1 S= |OP||y1-y2|= 2 2 m2+3 1 ?y1+y2?2-4y1y2= 2 . 2 m +4 4 由 S= ,解得 m2=1,即 m=± 1. 5 故直线 AB 的方程为 x=± y+1, 即 x+y-1=0 或 x-y-1=0 为所求. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)由题知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,且 a= 5,又 c=ea= 故 b= a2-c2= 10 5- = 3 6 30 × 5= , 3 3

5 x2 y2 ,故椭圆 E 的方程为 + =1,即 x2+3y2=5. 3 5 5 3

(2)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1),将其代入 x2+3y2= 5,消去 y,整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

Δ=36k -4?3k +1??3k -5?>0,?*?, ? ? 则? 6k2 x + x =- . 1 2 ? 3k2+1 ? 1 由线段 AB 中点的横坐标是- , 2 得 x1+x2 3k2 1 =- 2 =- , 2 2 3k +1

4

2

2

3 解得 k=± ,符合(*)式. 3 所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0 或 x+ 3y+1=0. a=2, ? ? ?a=2, 2.解:(1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设得?c 解得? 3 ?c= 3, ? ?a= 2 , y2 故所求 C 的方程为 +x2=1. 4 (2)存在 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O.理由如下: 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 将直线 l 的方程 y=kx+ 3代入 +x2=1 并整理得(k2+4)x2+2 3kx-1=0. 4 则 x1+x2=- 2 3k 1 ,x1x2=- 2 . 2 k +4 k +4 (*)

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, 所以 OA · OB =0,即 x1x2+y1y2=0. 又 y1y2=k2x1x2+ 3k(x1+x2)+3, -4k2+12 k2 6k2 即 y1y2=- 2 - 2 +3= 2 , k +4 k +4 k +4 -4k2+12 1 于是有- 2 + 2 =0, k +4 k +4 解得 k=± 11 . 2

经检验知:此时(*)的判别式 Δ>0,适合题意. 即(*)的判别式 Δ>0 恒成立. 所以当 k=± 11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2

? ?y=2x+m, 3.解:(1)由? 2 消去 y, ?x =4y. ?

得 x2-8x-4m=0, ∵ 直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,

∴Δ=82+4×4m=0,解得 m=-4. ∴直线 l 的方程为 y=2x-4. (2)∵抛物线 C2 的焦点为 F1(0,1), 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1(0,1),F2(0,-1) y2 x2 设椭圆 C1 的方程为 2+ 2 =1(a>1), a a -1 y=2x-4, ? ? 2 由?y 消去 y, 得(5a2-4)x2-16(a2-1)x+(a2-1)(16-a2)=0.(*) x2 ?a2+a2-1=1. ? 由 Δ=162(a2-1)2-4(5a2-4)(a2-1)(16-a2)≥0,得 a4-4a2≥0(a2>0 且 a2-1>0),解 得 a2≥4. 1 1 ∵a>1,∴a≥2,∴e= ≤ , a 2 1 当 a=2 时,emax= , 2 y2 x2 此时椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 3 把 a=2 代入方程(*),解得 x= . 2 又 y=2x-4,∴y=-1, 3 ? ∴点 P 的坐标为? ?2,-1?.


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