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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理



高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 ? a, b ? 和半径 r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 P 119 例 2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切 二、一般方程

x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a?
? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? 0?
2

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a?

2

? y2 ? a2 ? a ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?
2

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? a2 ? a ? 0?
2

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? a2 ? a ? b ? 0?
2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ?
1. Ax ? By ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆方程则
2 2

? ? ?A ? B ? 0 ?A ? B ? 0 ? ? ? ?C ? 0 ?C ? 0 2 ? ? 2 2 2 ? D ? E ? 4 AF ? 0 ?? D ? ? ? E ? ? 4 ? F ? 0 ? ? ? ? ? A ?? A ? ? A ?
1

2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材 P 122 例 r 4 3. D ? E ? 4 F ? 0 常可用来求有关参数的范围
2 2

三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d ? r ? 点在圆内; d ? r ? 点在圆上; d ? r ? 点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min ? BN ? BC ? r PB max ? BM ? BC ? r

(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min ? AN ? r ? AC PA max ? AM ? r ? AC
思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法( d 为圆心到直线的距离) (1)相离 ? 没有公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (2)相切 ? 只有一个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (3)相交 ? 有两个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形

②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线 l 与圆 C 相切意味着什么? 圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r (2)常见题型——求过定点的切线方程
2

①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,[ ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 第二步:通过 d ? r ? k ,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点 P ?1, 1? 作圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线,求切线方程.
2 2

答案: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和 x ? 1 ii)点在圆上

y0 ? 在圆 x ? y ? r 上,则切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 1) 若点 ? x0,
2 2 2

2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.

y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上,则切线方程为 2) 若点 ? x0,
2 2 2

? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b ?? y ? b ? ? r 2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断 点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形, AP ? CP ? r 2 ? AP ? 求切点坐标:利用两个关系列出两个方程 ? 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理 及勾股定理——常用 .... 弦长公式: l ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?
2 2

CP ? r 2

2

? AC ? r ? k AC ? k AP ? ?1

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?

(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内. (3)关于点的个数问题 例:若圆 ? x ? 3? ? ? y ? 5 ? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则
2 2 2

半径 r 的取值范围是_________________.

答案: ? 4, 6 ?

4.直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时) 五、对称问题
3

1.若圆 x ? y ? m ? 1 x ? 2my ? m ? 0 ,关于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 m 的值为____.
2 2 2

?

?

答案:3(注意: m ? ?1 时, D ? E ? 4 F ? 0 ,故舍去)
2 2

变式: 已知点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 点关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

的对称点在圆 C 上,则实数 a ? _________. 2.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称的曲线方程是________________.
2 2

变式:已知圆 C1 :? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 与圆 C2 :? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 关于直线 l 对称,
2 2 2 2

则直线 l 的方程为_______________. 3.圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 关于点 ? 2, 3? 对称的曲线方程是__________________.
2 2

4.已知直线 l : y ? x ? b 与圆 C : x ? y ? 1,问:是否存在实数 b 使自 A ? 3, 3 ? 发出的光
2 2

线被直线 l 反射后与圆 C 相切于点 B ?

? 24 7 ? , ? ?若存在,求出 b 的值;若不存在,试说明 ? 25 25 ?

理由. 六、最值问题 方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; (3)参数方程 1.已知实数 x , y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求:
2 2

y 的最大值和最小值;——看作斜率 x?5 (2) y ? x 的最小值;——截距(线性规划)
(1) (3) x ? y 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2 2

2.已知 ?AOB 中, OB ? 3 , OA ? 4 , AB ? 5 , 点 P 是 ?AOB 内切圆上一点, 求以 PA ,

PB , PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可! 3.设 P ? x, y ? 为圆 x ? ? y ? 1? ? 1 上的任一点,欲使不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取
2 2

值范围是____________. 答案: c ? 七、圆的参数方程

2 ? 1 (数形结合和参数方程两种方法均可! )

? x ? r cos ? x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ? ? , ? 为参数 ? y ? r sin ?

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? x ? a ? r cos ? ? r 2 ? r ? 0? ? ? , ? 为参数 ? y ? b ? r sin ?
4

八、相关应用 1.若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0 ( m , n ? R ) ,始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长,
2 2

则 m ? n 的取值范围是______________. 2.已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问:是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得
2 2

的弦为 AB ,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程,若不存在,说明理 由.
2 提示:x1 x2 ? y1 y2 ? 0 或弦长公式 d ? 1 ? k x1 ? x2 . 答案:x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0

3. 已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 ,点 A ? 0, 1? , B ? 0, 1? ,设 P 点是圆 C 上的动点,
2 2

d ? PA ? PB ,求 d 的最值及对应的 P 点坐标.
4.已知圆 C : 直线 l : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 , ? 2m ? 1? x ? ? m ? 1? y ? 7m ? 4 ? 0( m ? R )
2 2

2

2

(1)证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程.
2 5.若直线 y ? ? x ? k 与曲线 x ? ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围.

6.已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P , Q 两点, O 为坐标原点,
2 2

问:是否存在实数 m ,使 OP ? OQ ,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 九、圆与圆的位置关系 1.判断方法:几何法( d 为圆心距) (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 (5) d ? r1 ? r2 ? 内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,
2 2
2 2

(2) d ? r1 ? r2 ? 外切 (4) d ? r1 ? r2 ? 内切

则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F1 ? F2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明: 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题 (1)过两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的
2 2
2 2

5

圆系方程为 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ( ? ? ?1 )
2 2 2 2

?

?

说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线 A x? B y ? C ? 0 与 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为
2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
(3)有关圆系的简单应用 (4)两圆公切线的条数问题 ①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相 离时,有四条公切线 十、轨迹方程 (1)定义法(圆的定义) :略 (2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程. 例:过圆 x ? y ? 1外一点 A ? 2, 0 ? 作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
2 2

分析: OP ? AP ? OA

2

2

2

(3)相关点法(平移转换法) :一点随另一点的变动而变动

?

?

动点 主动点 特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动. 例 1.如图,已知定点 A ? 2, 0 ? ,点 Q 是圆 x ? y ? 1上的动点, ?AOQ 的平分线交 AQ 于
2 2

M ,当 Q 点在圆上移动时,求动点 M 的轨迹方程.
分析:角平分线定理和定比分点公式.

例 2.已知圆 O : x ? y ? 9 ,点 A ? 3, 0 ? , B 、 C 是圆 O 上的两个动点, A 、 B 、 C 呈逆
2 2

时针方向排列,且 ?BAC ? 法 1:? ?BAC ?

?
3

,求 ?ABC 的重心 G 的轨迹方程.

?
3

,? BC 为定长且等于 3 3

6

x ?x ?x 3 ? xB ? xC ? x? A B C ? ? ? 3 3 设 G ? x, y ? ,则 ? ? y ? y A ? yB ? yC ? yB ? yC ? 3 3 ?
取 BC 的中点为 xE ? ? ?
2 2 2

? 3 3 3? ? 3 3? , ? , yE ? ? ?? 4 , 2? ? 2 4? ? ?

? OE ? CE ? OC ,? xE 2 ? yE 2 ?

9 ?? (1) 4

3 ? 2 xE x ?x 3x ? 3 ? ? ? x? xE ? B C xE ? ? ? ? ? x ? x ? 2 xE ? ? ? 3 2 2 ?? B C ?? ,? ? ? y ? y ? 2 y y ? y 2 y 3 C E ? B C ?y ? B ?y ? E ?y ? y E E ? ? ? ? 2 3 ? 2 ?
2 2 ? 9 3 ? 2 ? 3x ? 3 ? ? 3 ? ? 3? 2 ? 故由(1)得: ? ? ? ? y ? ? ? ? x ? 1? ? y ? 1 x ? ?0, ?, y ? ? ? 2 , 1? 4 ? 2 ? ?2 ? ? 2? ? ?

法 2: (参数法) 设 B ? 3cos ? , 3sin ? ? ,由 ?BOC ? 2?BAC ?

2? ,则 3

? 2? ? C ? 3cos ? ? ? 3 ? ?
设 G ? x, y ? ,则

2? ? ? ? ? ? , 3sin ? ? ? ? 3 ?? ? ? ?

? 2? ? ? 3 ? 3cos ? ? 3cos ? ? ? ? ? x ? xB ? xC 2? ? 3 ? ? ? ?x ? A ? ? 1 ? cos ? ? cos ? ? ? ?? ?1? 3 3 3 ? ? ? ? 2? ? ? ? 3sin ? ? 3sin ? ? ? ? ? y A ? yB ? yC 2? ? 3 ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ?y ? ???? 2 ? 3 3 3 ? ? ?
? 2 3 ? 2 2 ? 3? ? ? 4? ? 2 1 ? 1 ? 2 x ? 1 ? y ? 1 x ? 0, , y ? ? ? ?? , ,由 得: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 , 1? ? 2? ?3 3 ? ? ?
参数法的本质是将动点坐标 ? x, y ? 中的 x 和 y 都用第三个变量(即参数)表示,通过消 . 参 得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出 x , y 的范围. . (4)求轨迹方程常用到得知识

7

x ? xB ? xC x ?x ? ? x? A x? 1 2 ? ? ? ? 3 2 ①重心 G ? x, y ? , ? ②中点 P ? x, y ? , ? y ? y ? y y ? B C ?y ? A ? y ? 1 y2 ? ? ? 2 3 ?
③内角平分线定理:

BD CD

?

AB AC

④定比分点公式: ⑤韦达定理.

x ? ? xB y ? ? yB AM , yM ? A ? ? ,则 xM ? A MB 1? ? 1? ?

8


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