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弹性力学简明教程全程导学及习题全解


1-7 试画出题 1-7 图中的的矩形薄板的正的体力,面力和应力的方向。

注意: (1)无论在哪一个位置的体力,在哪一个边界面上的面力,均为沿坐标轴 正方向为正,反之为负。 (2)边界面上的应力应是以在正坐标面上,方向沿坐标 轴正方向为正, 反之为负, 在负坐标面上, 方向沿坐标轴负方向为正, 反之为负。

1-8 试画出题 1-8 图中

的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

2-7 在导出平面问题的三套基本方程时,分别应用了哪些基本假设?这些方程 的适用条件是什么? 【解答】 (1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是:

物体的连续性,小变形和均匀性。 在两种平面问题( 平面应力、平面应变问题)中,平衡微分方程和几何方程 都适用。 (2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性,完全弹 性,均匀性,小变形和各向同性,即物体为小变形的理想弹性体。 在两种平面问题(平面应力、平面应变)中的物理方程不一样,如果将平面应
E ? ?换为 2 1 ? ? ,就得到平面应变问题的物理 力问题的物理方程中的 E 换位 1 ? ? ,

方程。 2-8 试列出题 2-8 图(a) ,题 2-8 图(b)所示问题的全部边界条件。在其端部 边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 【解】 (1)对于图(a)的问题 在主要边界 x ? 0, x ? b 上,应精确满足下列边界条件:

(? x ) x ?0 ? ? ? gy, (? x ) x ?b ? ? ? gy,

(? xy ) x ?0 ? 0; (? xy ) x ?b ? 0。
(? yx ) ? 0。 (u) y?h2 ? 0,(v) y ?h2 ? 0。 这两

在小边界(次要边界)y=0 上,能精确满足下列边界条件:

(? y ) y?0 ? ?? gh1,

在小边界(次要边界) y ? h2 上,有位移边界上条件: 当板厚 ? ? 1 时,
? b (? ) dx ? ? ? g (h ? h )b, 1 2 ? ?0 y y ? h2 ? b ? ?0 (? y ) y ? h2 xdx ? 0, ? b ? (? yx ) y ? h dx ? 0。 2 ? ?0

个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,

(2)对于图(b)所示问题 在主要边界 y ? ?h / 2 上,应精确满足下列边界条件:

(? y ) y ? h / 2 ? 0, (? y ) y ?? h / 2 ? ?q,

(? yx ) y ?h / 2 ? ?q1; (? yx ) y ?? h / 2 ? 0。

在次要边界 x ? 0 上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件,当板厚

? ? 1 时,
? h / 2 (? ) dy ? ? F , N ? ?? h / 2 x x ?0 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? ? M , ? h/2 ? (? ) dy ? ? FS。 ? ?? h / 2 xy x ?0

在次要边界 x ? l 上,有位移边界条件: (u) x?l ? 0,(v) x?l ? 0。 这两个位移边界条件 可以改用三个积分的应力边界条件来代替
? h / 2 (? ) dy ? q l ? F , 1 N ? ?? h / 2 x x ?l ? h/2 q lh ql 2 ? (? x ) x ?l ydy ? 1 ? M ? FS l ? , ? ?? h / 2 2 2 ? ? h / 2 (? ) dy ? ?ql ? F 。 S ? ?? h / 2 xy x ?l ? 2-9 试应用圣维南原理,列出题 2-9 图所示的两个问题中 OA 边的三个积分的应 力边界条件,并比较两者的面力是否静力等效?

【解】 (1)对于图(a) ,上端面的面力向截面形心简化,得主矢和主矩分别为

FN ? qb / 2 , FS =0 ,

M ??

b

0

qx b ( ? x)dx ? ?qb 2 /12 b 2 。应用圣维南原理,列出三个

积分的应力边界条件,当板厚 ? ? 1 时,

? b (? ) dx ? ? qb 2, ? ?0 y y ?0 ? b 2 ? ?0 (? y ) y ?0 xdx ? qb 12, ? b2 ? (? ) dx ? 0。 ? ?? b 2 yx y ?0

(2) 对于图 (b) 应用圣维南原理, , 列出三个积分的应力边界条件, 当板厚 ? ? 1 时,
? b (? ) dx ? ? qb 2, ? ?0 y y ?0 ? b 2 ? ?0 (? y ) y ?0 xdx ? qb 12, ? b ? (? yx ) y ?0 dx ? 0。 ? ?0

所以,在小边界 OA 边上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,这两个问 题为静力等效的。 2-10 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么? 【解】 (1)用位移表示的平衡微分方程
? E ?1 ? ? 2 ? ? ? E ?1 ? ? 2 ? ? 2u 1 ? ? ? 2u 1 ? ? ? 2u ( 2? ? ) ? fx ? 0 ?x 2 ?y 2 2 ?x?y ? 2 v 1 ? ? ? 2 v 1 ? ? ? 2u ( 2? ? ) ? fy ? 0 ?y 2 ?x 2 2 ?x?y

(2)用位移表示的应力边界条件

? E ? 2 ?1 ? ? ? ? E ?1 ? ? 2 ?

? ?u ?v 1 ? ? ?u ?v ? ?l ( ?x ? ? ?y ) ? m 2 ( ?y ? ?x ) ? ? f x ? ?x ? ?v ?u 1 ? ? ?v ?u ? ? m( ?y ? ? ?x ) ? l 2 ( ?x ? ?y ) ? ? f y ? ?x

(3)位移边界条件

(u)s ? u,(v)s ? v。 su上) (在
2-11 检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么? 【解】 (1)平衡微分方程
??? x ?? yx ? ? f x ? 0, ? ?y ? ?x ? ? ?? y ? ?? xy ? f ? 0。 y ? ?y ?x ?

(2)相容方程

?2 (? x ? ? y ) ? ?(1 ? ? )(

?f x ?f y ? ) ?x ?y 。

(3)应力边界条件(假定全部为应力边界条件, s ? s? )

?(l? x ? m? yx ) ? f x , ? ? ?(m? y ? l? xy ) ? f y。/. (在s ? s? 上) ?
(4)若为多连体,还须满足位移单值条件。 2-13 检验下列应力分量是否是图示问题的解答: (a)题 2-13 图(a) ,

?x ?

y2 q, ? y ? ? xy ? 0 b2 。
M FS

?x ? y,? xy ? S I bI (取梁的厚度 b=1) (b)题 2-13 图(b) ,由材料力学公式, ,
得出所示问题的解答:
x3 y 3qx 2 2 ? x ? ?2q 3 ,? xy ? ? (h ? 4 y 2 ) 3 lh 4lh 。

又根据平衡微分方程和边界条件得出

?y ?

3q xy xy 3 qx ? 2q 3 ? 2 lh lh 2l 。

试导出上述公式,并检验解答的正确性。 【解】按应力求解时, (本题体力不计) ,在单连体中应力分量 足:平衡微分方程、相容方程、应力边界条件(假设 s ? s? ) 。

? x ,? y ,? xy

必须满

(1) 题 2-13 图(a) ,

?x ?

y2 q, ? y ? ? xy ? 0 b2

① 相容条件:将应力分量代入相容方程,教材中式(2-23)

?2 ?2 2q ( 2 ? 2 )(? x ? ? y ) ? 2 ? 0 ?x ?y b ,
不满足相容方程。 ② 平衡条件:将应力分量代入平衡微分方程
??? x ?? yx ? ?0 ? ?y ? ?x ? ? ?? y ? ?? xy ? 0 ? ?y ?x ?

显然满足。 ③ 应力边界条件:在 x ? ? a 边界上,

(? x ) x ?? a ?

y2 q, (? xy ) x ?? a ? 0 b2 。

在 y ? ?b 边界上,

(? y ) y??b ? 0,(? yx ) y??b ? 0
满足应力边界条件。



?x ? y,? xy ? S I bI (取梁的厚度 b=1) (2) 题 2-13 图 (b) 由材料力学公式, , ,

M

FS

得出所示问题的解答:

? x ? ?2q

x3 y 3qx 2 2 ,? xy ? ? (h ? 4 y 2 ) lh3 4lh3 。 又根据平衡微分俄方

3q xy xy 3 qx ?y ? ? 2q 3 ? 2 lh lh 2l 。试导出上述公式,并检验解答的正 程和边界条件得出

确性。

① 推导公式: 在分布荷载作用下,梁发生弯曲变形,梁横截面是宽度为 1,高为 h 的矩形,其 对 z 轴(中性轴)的惯性距
M ( x) ? ? Iz ? h3 12 ,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

剪力方程分别为

q 3 qx 2 x , FS ( x) ? ? 6l 2l 。

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为

?x ?
? xy ?

M ( x) y x3 y ? ?2q 3 Iz lh ,
3FS ( x) 4 y2 3q x 2 2 (1 ? 2 ) ? ? (h ? 4 y 2 ) 2bh h 4 lh3 。

根据平衡微分方程的第二式(体力不计)

?? y ?y
得到

?

?? xy ?x

?0


3q xy xy 3 ?y ? ? 2q 3 ? A 2 lh lh 。

根据边界条件

(?y) y?h 2 ? 0,
qx 2l ,



A??

所以

?y ?

3q xy xy 3 q x ? 2q 3 ? 2 lh lh 2l。

② 相容条件: 将应力分量代入相容方程

(

?2 ?2 24qxy ? 2 )(? x ? ? y ) ? ? ?0 2 ?x ?y lh3 。

不满足相容方程。 ③ 平衡方程: 将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 ④ 应力边界条件: 在主要边界 y ? ? h 2 上,应精确满足下列边界条件:

(? y ) y ?? h / 2 ? ? (? y ) y ? h / 2 ? 0,

qx , l

(? yx ) y ?? h / 2 ? 0。 (? yx ) y ?h / 2 ? 0。

自然满足。 在 x=0 的次要边界上, 外力的主矢量, 主矩都为零。 有三个积分的应力边界条件:
? h / 2 (? ) dy ? 0, ? ?? h / 2 x x ?0 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? 0, ? h/2 ? (? ) dy ? 0。 ? ?? h / 2 xy x ?0

在 x ? l 次要边界上,(u) x?l ? 0,(v) x?l ? 0 。 这两个位移边界条件可以改用积分的应 力边界条件来代替。

h/2 ? h/2 x3 y (? x ) x ?l dy ? ? ?2q 3 dy ? 0, ? ?? h / 2 ?h / 2 lh ? h/2 x3 y ql 2 ? h/2 , ? ?? h / 2 (? x ) x ?l ydy ? ?? h / 2 ?2q 3 ydy ? ? lh 6 ? h/2 ? h/2 3q x3 y 2 ql (? xy ) x ?l dy ? ? ? (h ? 4 y 2 )dy ? ? 。 ? ?? h / 2 3 ?h / 2 4 lh 2 ?

所以,满足应力的边界条件。 显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件, 但不满足相容方 程,所以两题的解答都不是问题的解。 2-15 设已求一点处的应力分量,试求 ? 1 , ? 2 , ?1 : (a) (b)

? x ? 100, ? y ? 50,? xy ? 10 50;
? x ? 200,? y ? 0,? xy ? ?400;
tan ?1 ?

【解】根据教材中式(2-6)和 向: (a)

?1 ? ? x ? xy

可分别求出主应力和主应力的方

? x ? 100, ? y ? 50,? xy ? 10 50;

? 1 ? 100 ? 50 100 ? 50 2 ? ( ) ? (10 50) 2 , ?? ?2 ? 2 2
tan ?1 ? 得

? 1 ? ? x 150 ? 100 ? ? 0.707。 ? xy 10 50

? 1 ? 150, ? 2 ? 0, ?1 ? 35?16?
(b)

? x ? 200,? y ? 0,? xy ? ?400;

? 1 ? 200 ? 0 200 ? 0 2 ? ( ) ? (?400) 2 , ?? ?2 ? 2 2
tan ?1 ? 得

? 1 ? ? x 512 ? 200 ? ? ?0.78。 ? xy ?400

? 1 ? 512, ? 2 ? ?312, ?1 ? ?37?57?
2-17 设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载 F,如题 2-17 图所示,

体力不计,试根据材料力学公式,写出弯应力 ? x 和切应力 压应力

? xy

的表达式,并取挤

?y ? 0

,然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明,

这些表达式是否表示正确的解答。 【解】 (1)矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程为 M ( x) ? ? Fx ,
Iz ? h3 12 ,根据材料力学公式,弯应力

横截面对 z 轴(中性轴)的惯性距为

?x ?

M ( x) y 12 F ? ? 3 xy Iz h ; 该 截 面 上 的 剪 力 为 FS ( x) ? ?F , 剪 应 力
3FS ( x) 4 y2 6F h2 (1 ? 2 ) ? ? 3 ( ? y 2 ) ? ?0 2h h lh 4 ;并取挤压应力 y 。

? xy ?

(3) 经验证,上述表达式能满足平衡微分方程
??? x ?? yx ? ? f x ? 0, ? ?y ? ?x ? ? ?? y ? ?? xy ? f ? 0。 y ? ?y ?x ?

也能满足相容方程

?f ?f ?2 ?2 ( 2 ? 2 )(? x ? ? y ) ? ?(1 ? ? )( x ? y ) ? 0 ?x ?y ?x ?y 。
再考察边界条件:在 y ? ? h 2 的主要边界上,应精确满足应力边界条件:

(? y ) y ? h / 2 ? 0, (? y ) y ?? h / 2 ? 0,

(? yx ) y ?h / 2 ? 0; (? yx ) y ?? h / 2 ? 0。

能满足。 在次要边界 x=0 上,列主三个积分的应力边界条件:

? h / 2 (? ) dy ? 0, ? ?? h / 2 x x ?0 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? 0, ? h/2 ? (? ) dy ? 0。 ? ?? h / 2 xy x ?0

满足应力边界条件。 在次要边界 x ? l ,列出三个积分的应力边界条件:
h / 2 12 F ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?l dy ? ? ?? h / 2 h3 lydy ? 0, ? h / 2 12 F ? h/2 2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?l ydy ? ? ?? h / 2 3 ly dy ? ? Fl , h ? 2 h / 2 6F h ? h/2 (? xy ) x ?l dy ? ? ? ( ? y 2 ) ? ? F。 ? ?? h / 2 ? h / 2 h3 4 ?

满足应力边界条件。 因此,它们是该问题的正确解答。
2 2 3 3-2 取满足相容方程的应力函数为:(1)? ? ax y,(2)? ? bxy ,(3)? ? cxy 试求出应

力分量(不计体力) ,画出题 3-2 图所示弹性体边界上的面力分布,并在次要边 界上表示出面力的主矢量和主矩。

2 【解】 (1)应力函数 ? ? ax y ,得应力分量表达式

? x ? 0,? y ? 2ay,? xy ? ? yx ? ?2ax



在主要边界 y ? ? h 2 上,即上、下边,面力为

(? y ) y??h 2 ? ?ah,(? yx ) y??h 2 ? ?2ax



在次要边界 x ? 0, x ? l 上,面力的主矢量和主矩为

? h / 2 (? ) dy ? 0, ? ?? h / 2 x x ?0 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? 0, ? h/2 ? (? ) dy ? 0。 ? ?? h / 2 xy x ?0

? h / 2 (? ) dy ? 0, ? ?? h / 2 x x ?l ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?l ydy ? 0, ? h/2 h/2 ? (? xy ) x ?l dy ? ? ? 2aldy ? ?2alh。 ?h / 2 ? ?? h / 2

弹性体边界上的面力分布及在次要边界 x ? 0, x ? l 上面力的主矢量和主矩如解 3-2 图(a)所示。 (2)应力函数 ? ? bxy ,得应力分布表达式
2

? x ? 2bx,? y ? 0,? xy ? ? yx ? ?2by



在主要边界 y ? ? h 2 上,即上、下边,面力为

(? y ) y ??h 2 ? 0,(? yx ) y ??h 2 ? ?bh



在次要边界 x ? 0, x ? l 上,面力的主矢量和主矩为
? h / 2 (? ) dy ? 0, ? ?? h / 2 x x ?0 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? 0, ? h/2 h/2 ? ?? h / 2 (? xy ) x?0 dy ? ??? h / 2 2bydy ? 0。 ? ? h / 2 (? ) dy ? h / 2 2bldy ? 2lh, ?? h / 2 ? ?? h / 2 x x ?l h/2 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?l ydy ? ?? h / 2 2blydy ? 0, ? h/2 h/2 ? ?? h / 2 (? xy ) x?l dy ? ??? h / 2 2bydy ? 0。 ?

弹性体边界上的面力分布及在次要边界 x ? 0, x ? l 上面力的主矢量和主矩如解 3-2 图(b)所示。 (4) 应力函数 ? ? cxy ,得应力分量表达式
3

? x ? 6cxy,? y ? 0,? xy ? ? yx ? ?3cy2



在主要边界 y ? ? h 2 上,即上、下边,面力为
3 (? y ) y ?? h 2 ? ?3chx, (? yx ) y ?? h 2 ? ? ch 2 4

在次要边界 x ? 0, x ? l 上,面力的主矢量和主矩为

? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 dy ? 0, ? h/2 ? ? ?? h / 2 (? x ) x ?0 ydy ? 0, ? ? h / 2 (? ) dy ? ? h / 2 3cy 2 dy ? ? c h3。 ?? h / 2 ? ?? h / 2 xy x ?0 ? 4
h/2 ? h/2 ? ?? h / 2 (? x ) x ?l dy ? ?? h / 2 6clydy ? 0, ? h/2 clh3 ? h/2 (? x ) x ?l ydy ? ? 6cly 2 dy ? , ? ?? h / 2 ?h / 2 2 ? h/2 ? h/2 ch3 2 。 ? ?? h / 2 (? xy ) x ?l dy ? ? ?? h / 2 3cy dy ? ? ? 4

弹性体边界上的面力分布及在次要边界 x ? 0, x ? l 上面力的主矢量和主矩如解 3-2 图(c)所示。 3-3 试考察应力函数
?? F xy (3h 2 ? 4 y 2 ) 2h 3 能满足相容方程,并求出应力分量(不

计体力) ,画出题 3-3 图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面 力的主矢量和主矩) ,指出该应力函数所能解决的问题。

【解】 (1)相容条件

? 4? ? 4? ? 4? ?2 2 2 ? 4 ?0 4 ?x ?y ?y 将 ? 代入相容方程 ?x ,显然满足。
(2)应力分量表达式
12 F 3F 4 y2 ? x ? ? 3 xy, ? y ? 0,? xy ? ? (1 ? 2 ) h 2h h 。

(3)边界条件:在 y ? ? h 2 的主要边界上,应精确满足应力边界条件
(? y ) y ?? h 2 ? 0,? yx ? ? 3F 4 y2 (1 ? 2 ) ? 0 2h h 。

在次要边界 x ? 0, x ? l 上,应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件

?

h/2

?h / 2 h/2

(? x ) x ?0,l dy ? 0

, ,?
h/2 ?h / 2

(a)

?
?

?h / 2
h/2

(? x ) x ?0 ydy ? 0

(? x ) x ?l ydy ? ? Fl ,

(b)

(c) 对于如图所示矩形板和坐标系, 当板内发生上述应力时, 由应力边界条件式 (a) 、 (b)(c)可知上边、下边无面力;而左边界上受有铅直力;右边界上有按线性 、 变化的水平面力合成为一力偶,和铅直面力。所以,能解决悬臂梁在自由端受集 中力作用的问题。 4-2 试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。
?h / 2

(? xy ) x ?0,l dy ? ? F

【解】参看图,位移矢量是服从几何加减运算法则的。 位移矢量为 d,它在(x,y)和 ( ? , ? ) 坐标系中的分量分别表示为 所以 ?u ? ? u cos ? ? v sin ? ? ? ?u? ? ?u sin ? ? v cos ? ? 写成矩阵形式 ?u? ? ? cos ? ? ??? ?u? ? ? ? sin ? ? ? 所以
?u ? ?cos ? ?v ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ?u? ? ? ? cos ? ? ?u? ? ?? ?

(u, v)和(u? , u? )



(a)

sin ? ? ?u ? cos ? ? ?v ? ?? ?

(b)

(c) 若写成一般形式,则位移分量的变换关系为

u ? u? cos? ? u? sin ?, v ? u? sin ? ? u? cos?


u? ? u cos? ? v sin ?, u? ? ?u sin ? ? v cos?



4-14 设有一刚体,具有半径为 R 的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为 R 而内半 径为 r 的圆筒,圆筒受内压力为 q,试求圆筒的应力。

【解】本题为轴对称问题,故环向位移

u? ? 0

,另外还要考虑位移的单值条件。

(1) 应力分量 引用轴对称应力解答,教材中式(4-11) 。取圆筒解答中的系数为 A,B,C,刚体解 答中的系数为 A?, B?, C ? ,由多连体中的位移单值条件,有 B=0 ,
B? ? 0 。

(a) (b)

现在,取圆筒的应力表达式为

?? ?

A

?

2

? 2C

,

?? ? ?

A

?2

? 2C

。(c)

刚体的应力表达式
? ?? ? A?

?

2

? ? 2C ?, ? ? ? ?

A?

?2

? 2C ?

。 (d)

考虑边界条件和接触条件来求解常数 A, A?, C, C ? 和相应的位移解答。 首先,在圆筒的内面,有边界条件
A ? 2C ? ? q r2 。

(? ? )? ?r ? ?q

,由此得

(e)

其次,在远离圆孔处,应当几乎没有应力,于是有

? ? (? ? )? ?? ? ?0,(?? )? ?? ? 0
由此得
2C ? ? 0



(f)

再次,圆筒和刚体的接触面上,应当有

? (? ? )? ?R ? (? ? )? ?R



于是有式(c)及式(d)得
A A? ? 2C ? 2 ? 2C ? 2 R R 。

(2) 平面应变问题的位移分量 应用教材中式(4-12)的第一式,稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达 式

u? ?

1? ? ? A? ?2(1 ? 2? )C ? ? ? ? ? I cos ? ? K sin ? E ? ?
(i)

(h)

? u? ? 0

刚体的径向位移为零,在接触面上,圆筒与刚体的位移相同且都为零,即

? (u? )? ?R ? (u? )? ?R ? 0



将式(h)和式(i)代入,得
1? ? ? A? ?2(1 ? 2? )CR ? R ? ? I cos ? ? K sin ? ? 0 E ? ?

方程在接触面上的任意点都成立,? 取任何值都成立,方程两边的自由项必须相 等,于是得
1? ? ? A? ? 2(1 ? 2? )CR ? R ? ? 0 E ? ?

简化并利用式(f) ,得

A ? 2(1 ? 2? )CR2 。 (j)
(3)圆筒的应力 把式(j)代入式(e) ,得
A?? (1 ? 2 ? )qr 2 R 2 ?(1 ? 2? ) R 2 ? r 2 ? ? ? C?? qr 2 2 ?(1 ? 2 ? ) R 2 ? r 2 ? ? ?





圆筒的应力为

1 1 ? 2? 1 ? 2 2 ? R ?2 R ?? ? q ?? ? q 1 ? 2? 1 1 ? 2? 1 ? 2 ? 2 r2 R , r2 R 。
2

1 ? 2?

?

4-15 在薄板内距边界较远的某一点处,应力分量为 有一小圆孔,试求孔边的最大正应力。

? x ? ? y ? 0,? xy ? q

,如该处

【解】 (1)求出两个主应力,即

?1 ? ? x ? ? y ? x ?? y 2 ? ( ) ? ? xy 2 ? ? q 。 ?? ?3 ? 2 2

原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力 q 而在上下两边受均布压力 q, 如图所示。 应力分量

? x ? q,? y ? ?q,? xy ? 0

代入坐标变换式,教材中式(4-7) ,得到外边界

上的边界条件

(? ? )? ?R ? q cos 2? (? ?? )? ?R ? ?q sin 2?

(a) (b)

在孔边,边界条件是

(? ? )? ?r ? 0 (? ?? )? ?R ? 0

(c) (d)

由边界条件式(a)(b)(c)(d)可见,用半逆解法时,可假设 、 、 、 一函数乘以 cos 2? ,而 ? ?? 为 ? 的另一函数乘以 sin 2? 。而

??

为 ? 的某

?? ?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2? ( )。 , ? ?? ? ? ? 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? ??

因此可假设
? ? f ( ? ) cos 2? 。

将式(e)代入相容方程,教材中式(4-6) ,得
? d 4 f ( ? ) 2 d 3 f ( ? ) 9 d 2 f ( ? ) 9 df ( ? ) ? cos ? ? ? 2 ? 3 ? 0。 4 ? d?3 ? d?2 ? d? ? ? d? ?

删去因子 cos 2? 以后,求解这个常微分方程,得
f ( ? ) ? A? 4 ? B ? 3 ? C ? D

?2



其中 A,B,C,D 为待定常数,代入式(e) ,得应力函数
? ? cos 2? ( A? 4 ? B ? 3 ? C ? D

?2

),

由应力函数得应力分量的表达式

? 4C 6 D ?? ? ? ? cos 2? (2 B ? ? 2 ? ? 4 ) ? ? 6D 2 ?? ? ? cos 2? (12 A? ? 2 B ? 4 ) ? ? ? 2C 6 D 3 ?? ?? ? sin 2? (6 A? ? 2 B ? 2 ? 4 ) ? ? ? 将上式代入应力边界条件 由式(a)得 4C 6 D 2 B ? 2 ? 4 ? ?q R R 由式(b)得 2C 6 D 6 AR 3 ? 2 B ? 2 ? 4 ? ?q R R 由式(c)得 4C 6 D 2 B ? 2 ? 4 ? 0 (i) r r 由式(d)得 2C 6 D 6 Ar 3 ? 2 B ? 2 ? 4 ? 0 (j) r r r 联立求解式(g)——(j) ,并命 ? 0 ,得 R

(g)

(h)

q qr 4 A ? 0, B ? ? , C ? qr 2 , D ? ? 。 2 2

将各系数值代入分量的表达式,得

? r2 r2 ? ? ? q cos 2? (1 ? 2 )(1 ? 3 2 ) ? ? ? ? 2 ? r ? ?? ? ? ?q cos 2? (1 ? 3 2 ) ? ? ? r2 r2 ?? ?? ? ? ?? ? ? q sin 2? (1 ? 2 )(1 ? 3 2 ) ? ? ? ?
沿着孔边 ? ? r ,环向正应力是

?? ? ?4q cos 2? 。
最大环向正应力为 (?? )max ? 4q 。 6-2 如题 6-2 图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元,其边长为

a, ? ? 1 6 。
(1)试求出应力转换矩阵 S 及单元劲度矩阵 k。

(2)试求出 k 中的每行之和及每列之和,并说明原因。 (3)设单元发生结点位移 ui ? u j ? um ? 1, vi ? v j ? vm ? 0, 或发生结点位移

ui ? u j ? vi ? 0, v j ? 1, um ? ? 3 2, vm ? 1 2 ,试求单元中的应力,并说明其原因。
(4)设该单元在 jm 边上受有线性分布的压力,其在 j 点及 m 点的集度分别为

q j 和qm ,试求等效结点荷载。

【解】 (1)在所选的坐标系中
xi ? 0, x j ? a, xm ? 1 a, 2 3 yi ? 0, y j ? a, ym ? a。 2

应用教材中式(6-19)及(6-20) ,得
bi ? ? 3 3 a, b j ? a, bm ? 0, 2 2 1 1 ci ? ? a, c j ? ? a, cm ? a, 2 2 3 2 A? a。 2
? ?18 ? 3 18 ? 3 0 2 3? ? ? E S? ?6 3 3 ?6 3 0 12 3 ? (a) ? ?3 35a ? ? 0 ? ? ?2.5 3 ?7.5 ?2.5 3 7.5 5 3 ? ?

应用教材中式(6-32)和(6-33) ,得该单元的应力转换矩阵

应用教材中式(6-37)及(6-38) ,得单元的劲度矩阵

? 41 对 ? 8 3 ? 27 ? 21 3 ? 8 8 ? 9 41 ? ? 31 3 3 Et ? 8 8 8 k? 35 ? 9 3 21 ? ? ? 3 ? 8 8 8 ? ? 5 15 5 3 ? ? 3 ?? 4 4 ? 4 3 3 ? ?3 3 ? ?2 ? 2

27 3 8 15 4 ?3 3

? ? ? ? ? ? ? 称 ? ?。 ? ? ? 5 3 ? 2 ? ? 0 6 3? ?

(2)求得式(b)中每一行(或列)的元素之和为零(其第一、三、五个元素之 和或第二、四、六个元素之和也为零) 。 因为 k 中的每一个元素都表示,发生单位结点位移时所引起的结点力。而 各个节点的位移都相同,说明单没有发生形变,即不会引起结点力。 (3) 设单元发生结点位移 ui ? u j ? um ? 1, vi ? v j ? vm ? 0, 此时,单元作平移,则 三角 形内不产生应力和应变,从而结点力为零;但单元发生结点位移

ui ? u j ? vi ? 0, v j ? 1, um ? ? 3 2, vm ? 1 2 ,单元作转动,从而结点力也为零。
(4) 单元在 jm 边上受有线性分布的压力,在 j 点及 m 点的集度分别为 q j 和qm (可假设 ,此时,相当于有均布荷载 q j 和三角形分布荷载(在 j 点集度为 0,m 点 q j ?qm ) 集度为 qm ? q j )同时作用在 jm 边上。 ① 在均布荷载 q j 的作用下, 方向的均布面力为 ? x
3 q j ; 方向的均布面力 y 2

1 为 ? q j 。由教材中式(6-45)求得的结点荷载为 2

3 3 3 q j t ? N i ds, FLjx1 ? ? q j t ? N j ds, FLmx1 ? ? q j t ? N m ds, jm jm jm 2 2 2 1 1 1 FLiy1 ? ? q j t ? Ni ds, FLjy1 ? ? q j t ? N j ds, FLmy1 ? ? q j t ? N m ds。 jm jm jm 2 2 2 FLix1 ? ?

应用教材中式(6-22)中的第二式及式(6-21)中的第三式,得 1 1 ? jm Ni ds ? 0,jm N j ds ? ? jm N m ds ? 2 ij ? 2 a 。 ? 所以,有

? ? FLix1 ? FLiy1 ? 0 ? 3 ? q j ta ? FLjx1 ? FLmx1 ? ? 4 ? 1 ? ? FLjy1 ? FLmy1 ? ? 4 q j ta ?

(c)

② 在线性分布荷载(j 点集度为 0,m 点集度为 qm ? q j )的作用下,m 点 x 方向的面力为
1 3 y 由教材中式 (6-45) (qm ? q j ) , 方向的均布面力为 q j 。 2 2

求得的结点荷载为

? ? FLix 2 ? FLiy 2 ? 0, ? 3 3 ? (qm ? q j )t ? N j ds, FLmx 2 ? ? (qm ? q j )t ? N m ds, ? FLjx 2 ? ? jm jm 4 4 ? 1 1 ? ? FLjy 2 ? ? 4 (qm ? q j )t ? jm N j ds, FLmy 2 ? ? 4 (qm ? q j )t ? jm N m ds。 ?

(d)

1 2 三角形分布荷载作用在 jm 上,两点的形函数有 Ni ? ,N m ? ,根据教材 3 3 式(6-22)的第二式, 1 2 ? jm N j ds ? 3 a,jm N m ds ? 3 a 。 ? 代入式(d) ,得

? ? FLix 2 ? FLiy 2 ? 0, ? 3 3 ? (qm ? q j )ta, FLmx 2 ? ? (qm ? q j )ta, ? FLjx 2 ? ? 12 6 ? 1 1 ? ? FLjy 2 ? ? 12 (qm ? q j )ta, FLmy 2 ? ? 6 (qm ? q j )ta。 ?
将式(c)和(e)中对应项相加,得

(e)

? ? FLix ? FLiy ? 0, ? 3 3 ? (2q j ? qm )ta, FLmx ? ? (q j ? 2qm )ta, ? FLjx ? ? 12 12 ? 1 1 ? ? FLjy ? ? 12 (2q j ? qm )ta, FLmy ? ? 12 (q j ? 2qm )ta。 ?
如果设 q j ? qm ,可得相同的结果。 6-5 对 于 如 题 6-5 图 所 示 的 结 构 , 试 求 整 体 劲 度 矩 阵 K 中 的 子 矩 阵

K41 , K42 , K44 , K46 。

【解】结构是对称的,只取下半部分进行研究,如解 6-5 图所示,在 2,5, 8 结点设置了铅直支座。单元的局部编码 i, j, m 与整体编码 1,2,4,5,7, 8 对应如下: 单元号 局部编码 i j m Ⅰ 4 8 7 Ⅱ 整体编码 8 4 5 1 5 4 5 1 2 Ⅲ Ⅳ

取 ? ? 0 根据教材 6-7 中式(g)知四个单元的劲度矩阵都是
0 0 0 ?0.5 0 ? ? 0.5 ? 0 0.25 0.25 0 ?0.25 ?0.25? ? ? ? 0 0.25 0.25 0 ?0.25 ?0.25? k ? Et ? (a) ?。 0 0 0 0.5 0 ?0.5 ? ? ? ?0.5 ?0.25 ?0.25 0 0.75 0.25 ? ? ? ?0.25 ?0.25 ?0.5 0.25 0.75 ? ? 0

应用公式 Kij ? ? kij 求整体劲度矩阵 K 中的子矩阵 K41 , K42 , K44 , K46 分别为
e

? ?0.5 ?0.25? ?0 0 ? K 41 ? kmi ? Et ? ? , K 42 ? Et ?0 0 ? , ?0.25? ? 0 ? ? ? 1.5 0.25? ?0 0 ? K 44 ? kii ? k jj ? kmm ? Et ? ? , K 46 ? Et ?0 0 ? 。 ?0.25 1.5 ? ? ?


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