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南开大学计量经济学课件第5章-一元线性回归模型


第5章

一元线性回归模型

张晓峒
(2009-7-23) 南开大学数量经济研究所所长、博士生导师 中国数量经济学会常务理事、天津市数量经济学会理事长 nkeviews@yahoo.com.cn http://202.113.23.180:7050(南开大学?经济学院?数量经济研究所)

2012-9-2

计量经济学

第5章

一元线性回归模型

建立计量经济模型一般分为如下几个步骤: 确定 研究对象 画变量 散点图 设定,估计,诊断、检验模型, 分析回归参数,预测。

收集数据

本章先介绍最简单的一元线性回归模型。内容包括 模型的建立及其假定条件, 一元线性回归模型的参数估计, 回归参数估计量的分布, 最小二乘(OLS)估计量的统计性质, OLS 回归函数的性质, 拟合优度的测量, 回归参数的显著性检验, 回归参数的置信区间, 模型的预测, 案例分析等。
2012-9-2 计量经济学

第5章 5.1 模型的建立及其假定条件 5.1.2 一元线性回归模型的定义

一元线性回归模型

yt = ?0 + ?1 xt + ut (5-1) 上式表示变量 yt 和 xt 之间的真实关系。其中 yt 称作被解释变量(相依变量、 因变量) t 称作解释变量(独立变量、自变量、回归因子) t 称作随机误差 ,x ,u 项, 0 称作常数项 ? (截距项) ?1 称作回归系数。 0 和?1 又统称为模型参数 , ? (回 归参数) 。 在模型 (5-1) 中,xt 是影响 yt 变化的重要解释变量。回归参数?0 和?1 具体描 述这种关系。?0 和?1 通常是未知的,需要估计。如果 xt 和 yt 是截面数据,t 表示序数;如果 xt 和 yt 是时间序列数据,t 表示时间序数。ut 则包括除 xt 以外 的影响 yt 变化的众多微小因素。ut 的变化是不可控的。 上述模型可以分为两部分。 (1)?0 +?1 xt 是非随机部分; (2)ut 是随机部分。

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计量经济学

第5章

一元线性回归模型

5.1.3 一元线性回归模型的经济含义与特征 以研究家庭支出与收入的关系为例。假设家庭支出与收入呈线性函数关系。实际 上,数据来自各个不同家庭,来自各个不同收入水平,从而使收入以外的影响支 出变化的其他因素维持不变是不可能的。随机误差项 ut 中包括了家庭人口数,消 费习惯,不同地域的物价水平,家庭的额外收入等因素。由 yt 与 xt 数据得到的观 测点也不在一条直线上(不呈线性函数关系) ,而是散布在一条直线周围,这些观 测点服从统计关系,见图 5-1,其中直线 E(yt) = ?0 + ?1 xt 称作真实的回归直线。

ut E(yt) = ?0 + ?1 xt

图 5-1
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真实的回归直线 计量经济学

第 5 章 一元线性回归模型 yt = ?0 + ?1 xt + ut (5-1) 一般来说,回归模型的随机误差项 ut 中包括如下几项内容。 (1)未在模型中专门列出的影响 yt 变化的非重要解释变量。如上例中家庭人口 数、消费习惯、物价水平差异等因素的影响都包括在随机误差项中。 (2)人的随机行为。经济活动都是人参与的。人的经济行为的变化也会对随机误 差项产生影响。 (3)数学模型形式欠妥。对于同一组观测值,若拟合的数学模型形式不同,则相 应的随机误差项的值也不同。显然当模型形式欠妥时,会直接对随机误差 项的值带来影响。 (4)归并误差。模型中被解释变量的值常常是归并而成的。当归并不合理时,会 产生误差。比如由不同种类粮食合并构成的粮食产量的不合理归并会带来 归并误差。 (5)测量误差等。当对被解释变量的测量存在误差时,这种误差将包括在随机误 差项中。
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第5章

一元线性回归模型

yt = ?0 + ?1 xt + ut (5-1) 5.1.4 模型的假定条件 在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项 ut 做出如下假定。 因为最小二乘法 (OLS)是以如下假定条件为基础的。 (1) ut , (t =1, 2, …, T ), 是 T 个随机变量,ut 的取值服从概率分布。 (2) E(ut) = 0, (t =1, 2, …, T )。 (3) Var(ut) = E[ut - E(ut) ]2 = E(ut)2 = ? 2, (t =1, 2, …, T )。 称 ut 具有同方差性。这个假定的含义是对于任意 ut, (t =1, 2, …, T )其分布的方差 都是常量?2,此条件下,称 ut 具有同方差性。当此条件得不到满足时,称 ut 具有 异方差性。 (4) ut 服从正态分布。 根据中心极限定理, 如果能保证 ut 由众多的微小随机因素所组成, 那么就可以认 为 ut 近似地服从正态分布。以上四个假定条件可表达如下, ut ? N (0, ? ? ) 在假定(1)(2)成立条件下有 E(yt) = E(?0 +?1 xt +ut ) = ?0 +?1 xt。称 E(yt)为真实的 , 回归函数。通常 E(yt) = ?0 +?1 xt 是观测不到的,利用样本得到的只是对它的估计
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第5章

一元线性回归模型

yt = ?0 + ?1 xt + ut (5-1) 5.1.4 模型的假定条件 (5) Cov(ui, uj) = E[(ui - E(ui) ) ( uj - E(uj) )] = E(ui, uj) = 0, (i ? j )。 (6) xt 是非随机的。 xt 的值是事先确定的。注意,这一假定条件在自然科学领域的实验研究中容易得 到满足,因为实验是可控的,而在经济领域内,xt 的观测是不可控的,所以这一假定 条件不容易满足。 (7) Cov(ut, xt) = 0。 (8) 对于含有多个解释变量的线性回归模型,解释变量之间不能完全相关或高度相 关。否则称解释变量之间存在多重共线性。 E(yt) = ? 0 +?1 xt 是回归模型 (5-1) 的一部分。由此可见回归模型有两个特点。 (1) 建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的 经济过程。 (2)从另一方面看,也正是由于这些假定, 才能对经济问题进行高度抽象, 从而更深刻地揭示经济变量之间的变化规律。
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第5章

一元线性回归模型

5.2 一元线性回归模型的参数估计 5.2.1 估计方法初探 对于所研究的经济问题,假定变量 yt 和 xt 之间服从线性关系。通常真实的回归 直线是观测不到的。收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。 设估计的回归直线用
? yt

= ?? 0 + ?? 1 xt

(5-2)

? 表示。其中 y t 称作 yt 的拟合值, ?? 0 和 ?? 1 分别是 ?0 和?1 的估计量。观测点到这 ? ? ? 条估计的回归直线的纵向距离用 u t 表示。 u t 称作残差, u t 是对 ut 的估计。 ? ? ? yt = y t + u t = ?? 0 + ?? 1 xt + u t

(5-3)

称作估计的回归模型。
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5.2.2 最小二乘估计法原理
? 最小二乘法的估计原理是以“残差平方和( ? t ? 1 u t 2 )最小”为原则确定直线位置。
T

5.2.3 最小二乘估计的计算 设残差平方和用 Q 表示, Q=

?
t ?1

T

? ut

2

=

? ( yt
t ?1

T

? ? yt )

2

=

? ( yt
t ?1

T

2 ? ? ? ? 0 ? ?1xt )

(5-4)

OLS 法是以 Q 取最小值为条件确定回归直线,即确定 ?? 0 和 ?? 1 的值。当样本已知时, 上式中的 yt,xt 是已知量, ?? 0 和 ?? 1 是未知量。把 Q 看作是 ?? 0 和 ?? 1 的函数。这是一个 二元函数求极值问题。 解法是求 Q 对 ?? 0 和 ?? 1 的偏导数并令其为零, 得正规方程如下,
?Q ? ??
0

= 2?
t ?1

T

? ? ( yt ? ? 0 ? ?1xt )

(-1) = 0

(5-5)

?Q

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? ?? 1

= 2?
t ?1

T

? ? ( yt ? ? 0 ? ?1xt )

(- xt) = 0
计量经济学

(5-6)

由式(5-5)(5-6)得, 、

? ( yt
i ?1

T

? ? ? ? 0 ? ?1xt )

=0

(5-7)

? ( yt
i ?1

T

? ? ? ? 0 ? ?1xt )

xt = 0

(5-8)

式(5-7)两侧用 T 除,并移项整理,得 ?? 0 = y ? ?? 1 x 。把上式代入式(5-8)并整理,得

? [( y
i ?1

T

t

? ? y ) ? ? 1 ( x t ? x ) ] xt = 0

?

T

? ( yt ? y)xt ? ?1

i ?1

? (x
i ?1

T

t

? x )xt = 0

为书写简便,自本章始,如不作特别说明,把 ? t ?1 简写为?。由上式得
T

? ?1 =

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? x (y ? y) = ? x (y ? y) ? ? ? (x ? x)x ? (x ? x)x ? ?
t t t t t t t t

x( yt ? y)

x (xt ? x ) 计量经济学

? ( x ? x )( y ? = ? (x ? x)
t t 2 t

y)

第 5 章 一元线性回归模型

5.3 yt, ?? 1 和 ?? 0 的分布 5.3.1 yt 的分布 根据假定条件 ut ? N (0, ? ? ),得 yt 的期望, E(yt) = E(?0 + ?1 xt + ut) = ?0 + ? 1 xt + E(ut) = ?0 + ?1 xt E(yt) = ? 0 + ?1 xt 表示真实的回归直线。当 xt 固定时,E(yt)表示 yt 取值的期望。 Var(yt) = Var (?0 + ?1 xt + ut) = Var (?0 + ?1 xt) + Var (ut) = ? ? 根据模型(5-1),yt 是 ut 的线性函数。因为根据假定条件,ut 服从正态分布, 所以 yt 也服从正态分布。 yt ? N (?0 + ? 1 xt, ? ? )。 (5-11)

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5.3.2 ?? 1 的分布 下面讨论 ?? 1 的分布。先求 ?? 1 的期望。由式(5-10),
? ?1 =

? ( x t ? x t )( y t ? y t ) = ? ( x t 2 ? (xt ? x)

? xt ) yt ? yt

? (xt
2

? xt )

? (xt

? x)

=

? (xt ? xt ) yt 2 ? (xt ? x)

(5-12)

根据假定 (6),xi 是非随机的,所以令 kt =

(xt ? xt )

? (xt

? x)

2

代入式(5-12),得 ?? 1 = ? kt yt

则 E( ?? 1 ) = E(? kt yt) = E[ ? kt (?0 + ?1 xt + ut) ] = E ( ?0 ? kt + ?1 ? kt xt + ? kt ut) = E[?1 ? kt (xt - x ) + ? kt ut ] (其中? kt (xt - x ) =? kt xt) = ?1 + E(? kt ut ) = ?1 在上式的推导过程中利用了结论,? kt = 0,? kt x = 0。 (5-15)

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第5章

一元线性回归模型

5.3 yt, ?? 1 和 ?? 0 的分布 求 ?? 1 的方差。由上式有 ?? 1 = ? 1 + ? kt ut。则 Var ( ?? 1 ) = Var (? 1 + ? kt ut) = Var (? kt ut) = ? kt2 ? ? 利用式 (5-13)得 Var ( ??
1

) = ?[

(xt ? xt )

? (xt

? x)

2

]? =

?

?

?

2

? (xt

? x)

2

(5-16)

因为 ?? 1 是 yt 的线性函数 (见式(5-14)) yt 服从正态分布, , 所以 ?? 1 也服从正态分布。
? ?1 ?

N ( ? 1,

1

? (xt

? x)

2

??)
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(5-17)

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5.4 ? ? 的估计 若用 ?? 2 或 s2 表示对? ?的估计,则
??
2

= s2 =

? ( ? u t ) (T ? 2 )
2

(5-24)

? 其中 T 表示样本容量,2 表示回归函数中被估参数( ?? 0 和 ?? 1 )的个数。因为 u t

是残差,所以 ?? 2 又称作误差均方。 ?? 2 是? ? 的无偏估计量。 5.5 最小二乘估计量的统计性质 5.5.1 线性特性
? ? ? 0 和 ? 1 分别是 yt 的线性函数。

5.5.2 无偏性
? ? ? 1 和 ? 0 具有无偏性。

5.5.3 最小方差性
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在所有线性无偏估计量中 OLS 估计量 ?? 1 和 ?? 0 的方差最小。
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高斯-马尔可夫(Gauss-Marcov)定理:若 ut 满足 E(ut) = 0,Var(ut) = ? 2,那么 用 OLS 法得到的估计量就具有最佳线性无偏特性。估计量 ?? 1 、 ?? 0 称作最佳线性 无偏估计量。最佳线性无偏估计特性保证估计值最大限度的集中在真值周围。 5.5.4 渐近无偏性 随着样本容量 T 的无限增大,OLS 估计量 ??1T 的渐近期望为?1,即
T ??

? L i m E ( ? 1T )

= ?1 + Lim E(? kt ut ) = ? 1
T??

(5-40)

则称 OLS 估计量 ??1T 具有渐近无偏特性。 5.5.5 一致性 因为 OLS 估计量 ?? 1 满足(1)渐近无偏性, (2) Lim
T??

? V ar ( ? 1 T ) =

0,所以 ?? 1 具有

一致性, ?? 1 为 ?1 的一致估计量。可证明 OLS 估计量 ?? 1 也具有渐近有效性。
2012-9-2 计量经济学

5.6 最小二乘回归函数的性质 用 OLS 法得到的估计的回归函数具有如下性质。
? (1) 残差和等于零,? u t = 0。 ? 证: 由正规方程 2? (yt - ?? 0 - ?? 1 xt) (-1) = 0 得? (yt - ?? 0 - ?? 1 xt) =? (yt - y t ) =? ? ut

=0

(2) 估计的回归直线 证:在正规方程

? yt

= ?? 0 + ?? 1 xt 过( x , y )点。 xt) = 0 两侧同除样本容量 T,得 y = ?? 0 + ?? 1
x

? (yt - ?? 0 - ?? 1

这意味着回归直线过( x , y )点。
? (3) yt 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数, y t = y 。 ? 证: y t =

1 T

? y? t =

1 T

? ( ?? 0 + ?? 1

xt) = ?? 0 + ?? 1

x

=

y



? (4) Cov( u t , xt) = 0 ? ? (5) Cov( u t , y t ) = 0

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图 5-2

真实的与估计的回归直线

注意分清以下 4 个式子的含义。 (1) yt = ?0 + ?1 xt + ut 表示真实的回归模型。
? (2) yt = ?? 0 + ?? 1 xt + u t 表示估计的回归模型,

(3) E(yt) = ?0 + ?1 xt 表示真实的回归直线。 (4)
? yt

= ?? 0 + ?? 1 xt 表示估计的回归直线。

图 5-2 给出真实的与估计的回归直线比较。在估计过程中估计的 2012-9-2 回归直线一般不会等于真实的回归直线, 计量经济学 但希望估计得越准越好。

第5章

一元线性回归模型

5.7 拟合优度的测量 评价回归直线对观测值拟合的好坏,拟合优度是一个重要定量分析指标。显然若 观测点离回归直线近,则拟合程度好;反之则拟合程度差。测量拟合优度的统计 量是可决系数(亦称确定系数) ,用 R2 表示。定义
? ? (yt R = ? (yt
2

? y) ? y)

2 2

(5-41)
? ut ? + ( y t - y )。

? ? 见图 5-3,因为对单个观测点有 yt - y = (yt - y t ) + ( y t - y ) =

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图 5-3 计量经济学 三种离差示意图

图 5-3

三种离差示意图

? ? ? ? (yt - y ) 2 = ? ( y t - y ) 2 + ? (yt - y t )2 = ? ( y t - y ) 2 + ? ( u? t )2

(5-42)

? 其中? (yt - y ) 2 称作总平方和,用 TSS(total sum of squares)表示;? ( y t - y ) 2 ? 称作回归平方和,用 ESS(explaied sum of squares)表示;? (yt - y t )2 = ? ? ut
2

称作误差平方和,用 RSS(sum of squared residuals)表示。由式(5-42)有如下关
? ? (yt 系, TSS = ESS + RSS。由定义 R = ? (yt
2

? y) ? y)

2 2

,R2 的取值范围是[0,1]。R2

的值越接近 1,说明回归直线对观测值的拟合程度越好;反之,R2 的值越接近 0, 说明回归直线对观测值的拟合程度越差。 2012-9-2 计量经济学

5.8 回归参数的显著性检验 ?1 的假设检验。设定原假设和备择假设,H0:?1 = 0;H1:?1 ? 0。 此检验为双侧检验。所用统计量是 t。在 H0 成立条件下, t=
? ?1 ? ?1 s ? ( ?1 )

=

? ?1 s
? ( ?1 )

=
? ?

? ?1

? (xt

? t (T-2)
? x)
2

(5-43)

其中 T 表示样本容量,2 表示被估参数个数。 s ( ?? ) 的计算见式(5-25) 。统计量 t
1

服从(T-2)个自由度的 t 分布。判别规则是 若用样本计算的 ? t ? ? t?/2 (T-2) ,则结论是接受 H0; 若用样本计算的 ? t ? > t?/2 (T-2) ,则结论是拒绝 H0。 其中 t?/2(T-2)表示临界值,?表示检验水平,可以通过查附表 4 得到。t 检验判别 规则如图 5-4 所示。

原假设拒绝域 -t?/2 (T-2)

原假设接受域 t?/2 (T-2) t 检验判别规则 计量经济学

原假设拒绝域

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图 5-4

5.9 回归参数的置信区间
? ? ? 1 是对?1 的点估计。还可以利用 ? 1 估计?1 的置信区间。由于
? ?1 ? ?1 s
? ( ?1 )

P{

? t?/2 (T-2) } = 1- ?

由大括号内不等式得?1 的置信区间 [ ?? 1 - s ( ?? ) t?/2 (T-2), ?? 1 + s ( ?? ) t?/2 (T-2)]
1 1

(5-44)

其中 s ( ?? ) 是 ?? 1 的样本标准差,而其中的 ?? 是 ?? 2 的算术平方根。
1

同理得?0 的置信区间 [ ?? 0 - s ( ?? ) t?/2 (T-2) , ?? 0 + s ( ?? ) t?/2 (T-2)]
0 0

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5.10 单方程回归模型的预测 5.10.1 单个 yT+1 的点预测
? 根据估计的回归函数, y t = ?? 0 + ?? 1 xt,得 yT+1 的点预测式,
? ? ? y T ? 1 = ? 0 + ? 1 x T+1

(5-45)

? y T ? 1 是对 yT+1 的点估计。

5.10.2 单个 yT+1 的区间预测 单个 y T+1 的区间预测是
? ? [ y T ? 1 - t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) , y T ? 1 + t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) ]
1 T ( x T ?1 ? x )
2 2

(5-54)

其中(见式(5-52), s ( eT ? 1 ) = ?? )
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1?

?

?

(xt ? x)

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5.10.3 E(yT+1) 的区间预测 E(yT+1) 的置信区间公式,
? ? [ y T ? 1 - t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) , y T ? 1 + t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) ]
1 T ( x T ?1 ? x )
2 2

(5-56)
1 T ( x T ?1 ? x )
2 2

其中,s ( eT ? 1 ) = ??

?

?

(xt ? x )

比较式 (5-54) s ( eT ? 1 ) = ?? ,

1?

?

?

(xt ? x)



? (5-56)知,单个 yT+1 的区间预测比 E(yT+1) 的区间预测多了 u t 的一个方差。

yT+1 和 E(yT+1)的置信区间都以 x T+1= x 时为最小。 即预测精度最高。 x T+1 远离 x 时, 当 yT+1 和 E(yT+1)的置信区间都以非线性的形式逐渐变大。见图 5-6。 yt
yT+1 的置信区间 估计的回归直线
y

E(yT+1)的置信区间

x
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图 5-6 yT+1 和 E(yT+1)的置信区间示意图

xt

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5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 通过这个案例一是掌握怎样利用实际数据建立、分析计量模型并预测, 二是怎样从计量经济学专用软件 EViews 输出结果中找到这些有关的量。 伊春林区位于黑龙江省东北部。全区有森林面积 2 189 732 公顷,木材 蓄积量为 23 246.02 万 m3。 森林覆盖率为 62.5%, 是我国主要的木材工业基 地之一。1999 年伊春林区木材采伐量为 532 万 m3。按此速度 44 年之后, 1999 年的蓄积量将被采伐一空。所以目前亟待调整木材采伐规划与方式, 保护森林生态环境。为缓解森林资源危机,并解决部分职工就业问题,除 了做好木材的深加工外,还要充分利用木材剩余物(主要是指伐下的树冠) 生产林业产品,如纸浆、纸袋、纸板等。因此预测林区的年木材剩余物是 安排木材剩余物加工生产的一个关键环节。下面,利用简单线性回归模型 预测林区每年的木材剩余物。显然引起木材剩余物变化的关键因素是年木 材采伐量。

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计量经济学

5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 应该建立一元线性回归模型。
28 Y 24 20 16 12 8 X 4 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

yt = ?0 + ?1 xt + ut 利用表 5-1 的数据对模型做 OLS 估计,得结果如下, ? y t = -0.7629 + 0.4043 xt
(-0.6) (12.1)

(5-57)

R2 = 0.91, s.e. = 2.04, T=16 其中 0.4043 是对?1 的估计,-0.7629 是对?0 的估计。括号内数字是相应 t 统计量 的值。12.1 是检验?1 = 0 的 t 统计量的值。-0.6 是检验?0 = 0 的 t 统计量的值。 2012-9-2 计量经济学

5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 ? (5-57) y t = -0.7629 + 0.4043 xt R2 = 0.91, s.e. = 2.04, T=16 检验回归系数显著性的原假设和备择假设是 H0:?1 = 0; H1:?1 ? 0。 如果设定检验水平?=0.05,查附表 4, t0.025(14) = 2.15。因为 t = 12.1 > 2.15, 所以检验结果是拒绝?1 = 0,即认为 年木材剩余物和年木材采伐量之间 存在回归关系。 回归函数的经济解释是,对于伊春林区每采伐 1 万立方米木材,将平均产生 0.4 万立 方米的剩余物。R2 是可决系数。R2 = 0.91 说明上式的拟合情况较好。yt 变差的 91% 由 变 量 xt 解 释 。 s.e. 是 回 归 函 数 的 标 准 误 差 , 或 称 作 残 差 的 标 准 差 , s.e.= ?? =
(-0.6) (12.1)
? ? ut
2

(16 ? 2 )

= 2.04。s.e.越小,回归效果越好。
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5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物
? yt

= -0.7629 + 0.4043 xt
(-0.6) (12.1)

(5-57)

R2 = 0.91, s.e. = 2.04, T=16 还可以进一步分析,真值?1 的取值范围是多少。也就是估计?1 的置信区间。 设定置信度为 0.95,已知 T=16,回归函数(5-57)中有 2 个被估参数,根据式(5-44), ?1 的置信区间是 [ ?? 1 - t0.025 (14) s ( ?? ) , ?? 1 + t0.025 (14) s ( ?? ) ]
1 1

由 EViews 输出结果知 ?? 1 = 0.4043, s ( ?? ) =0.0334,查附表 4 得 t0.025 (14)= 2.15,则?1
1

的置信度为 95%的置信区间是 [0.4043-2.15?0.0334, 0.4043 +2.15?0.0334], [0.3325, 0.4761] 置信区间的实际含义是尽管?1 的点估计值是 0.4043,但以 95%的置信度估计,这个 比值的真实值在 0.3325 至 0.4761 之间。

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5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 下面分析 yt 的预测。比如,乌伊岭林业局 2000 年计划采伐木材 20 万米 3,求木材剩 余物的点预测值。根据式(5-57), 3 ? (5-58) y 2000 = - 0.7629 + 0.4043 x2000 = -0.7629 + 0.4043 ? 20 = 7.3231(万米 ) ? 7.3231 万立方米是 y 2000 的点估计值。同样也可以分析 y2000 的置信区间。 设定置信度为 0.95,已知 T=16,回归函数中有 2 个被估参数,y2000 的置信区间是
? ? [ y T ? 1 -t0.025 (14) s ( eT ? 1 ) , y T ? 1 + t0.025 (14) s ( eT ? 1 ) ]
? 知y
2000

= 7.3231, EViews 输出结果知 s ( eT ? 1 ) = 2.1450, 由 查附表 4 得 t0.025 (14) = 2.15,

则 y2000 的置信度为 95%的置信区间是 [7.3231- 2.15 ? 2.1450,7.3231+ 2.15 ? 2.1450], [2.7114,11.9349] 实际含义是如果乌伊岭林业局 2000 年采伐木材 20 万立方米,木材剩余物的 95%置 信度的值在 2.71 至 11.93 万米 3 之间。

2012-9-2

计量经济学

5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 如果乌伊岭林业局 2000 年采伐木材 20 万立方米, 那么木材剩余物的平均产出是多少 呢?根据式(5-56) ,E(y2000)的置信区间是
? ? [ y T ? 1 - t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) , y T ? 1 + t?/2 (T-2) s ( eT ? 1 ) ]
? 知y
2000

= 7.3231, 根据式 (5-55) 计算 s ( eT ? 1 ) = 0.6742, 已知 t0.025 (14)= 2.15, E(y2000) 则

的置信度为 95%的置信区间是 [7.3231- 2.15 ? 0.6742,7.3231+ 2.15 ? 0.6742], [5.8736, 8.7726] 实际含义是如果乌伊岭林业局 2000 年采伐木材 20 万立方米, 木材剩余物平均产出的 95%置信度的值在 5.87 至 8.77 万立方米之间。 木材剩余物的平均产出也可以理解为, 采伐木材 20 万立方米条件下,对应的估计的回归直线上的点的取值范围。 注意,回归函数(5-57)中的截距项-0.7629 并没有通过显著性检验(即显著不为零的 检验) ,换句话说,-0.7629 与零没有显著性差异。那么,根据假设检验原理,是否把 截距项?0 从模型中删除呢?这要根据实际情况决定。

2012-9-2

计量经济学

5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 因为在回归模型的检验中主要是考察解释变量与被解释变量之间是否存在回归关系, 所以重点是检验?1 是否为零。所以对?0 的处理比较随便。例如在上面的分析中,尽管 截距项?0 没有通过显著性检验,但仍然把?0 保留在了模型中。在一些实际研究中,经 济理论认为截距项不应该为零,那么,实际估计中尽管截距项没有通过显著性检验, 但仍然应该把截距项保留在模型中。 结合本例分析,当采伐量等于零时,自然木材剩余物也应该为零,所以既然截距 项没有通过显著性检验,就可以把截距项从模型中删掉。下面用删掉截距项的模型进 一步研究木材剩余物问题。 没有截距项的模型的估计结果是
? yt

= 0.3853 xt
(28.3)

(5-59)

R2 = 0.91, s.e. = 2.0 在木材采伐 20 万立方米条件下,木材剩余物的点预测值是 ? y 2000 = 0.3853 x2000 = 0.3853 ? 20 = 7.7060(万立方米) 两个模型的估计结果略有差异。
计量经济学

(5-60)

2012-9-2

5.12 案例分析:用回归模型预测木材剩余物 怎样从 EViews 输出结果中找到前面介绍的那些有关的量。 OLS 估计的 EViews 操作: 打开工作文件, 从主菜单上点击 Quick 键, Estimate 选 Equation 功能。在出现的对话框中输入

y

c x

点击 OK 键。立即会得到如图 5-8 所示的结果。

2012-9-2

图 5-8

式(5-57)的 EViews 输出结果 计量经济学

? 给定 xt = 20(因为原样本值是以万立方米测度的) ,求 y t =?

EViews 预测步骤如下: 在完成上述 OLS 估计基础之上,先把工作文件的范围从 16 扩展到 17。 (1) 点击 Procs 键选 Change workfile range 功能。 在弹出的对话框的 End data 选择框处改为 17。点击 OK 键。 (2) 双击工作文件的 Sample:1 16 区域, 在弹出的对话框的 Sample range pairs 选择框处把 16 改为 17。 (3)双击工作文件窗口中的 x 序列,打开 x 数据窗口。点击 Edit+/-键,使 x 数据窗口处于可编辑状态。在第 17 个观测值位置(现在显示的是 NA)输 入 20。相当于给定 x=20。 (4)激活上述 OLS 估计窗口,点击 Forecast 键。在 S.E. 选择框处填入 yfse, 表示要保存 yt 预测值的标准差。yt 的预测值(用 yfse 表示)将自动默认保 存在工作文件中。 点击 OK 键, 工作文件窗口中已经出现一个 yf 序列和 yfse 序列。双击 yf 序列,可以在第 17 号观测值位置看到 y17 = 7.322668。双击 yfse 序列,可以在第 17 号观测值位置看到 yfse = 2.145072。

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计量经济学

表 5-2 序号 公 式 名 称

一元线性回归模型的主要计算公式 计 算 公 式

1

真实的回归模型

yt = ?0 + ?1 xt + ut

2

估计的回归模型

? ? ? yt = ? 0 + ? 1 xt + u t

3

真实的回归函数

E(yt) = ?0 + ?1 xt

4

估计的回归函数

? ? ? y t = ? 0 + ? 1 xt

5

最小二乘估计公式
? ?1 =

? xt yt T ) ? xy 2 2 (? x t T ) ? ( x )
(

=

? ( x t ? x )( y t ? y ) 2 ? (xt ? x)

? ? ? 0 = y ? ?1x

6

? ? ? 0 和 ? 1 的方差

? Var ( ? 0 ) = ? ?

? xt 2 T ? (xt ? x)
2

? Var ( ? 1 ) =

1

? (xt
2

? x)

2

??

7

? ? 的无偏估计量

? ?? = s2 = ( ? u t ) (T ? 2 )
2

2012-9-2

计量经济学

8

? ? ? 0 和 ? 1 估计的方差

2 ? ? s ( ?? 0 ) = Var ( ? 0 ) = ?

?

2

? xt 2 T ? (xt ? x)
2

=

? u? t

2

T ?2

? xt 2 T ? (xt ? x)
2

2 ? ? ? s ( ? 1 ) = Var ( ? 1 ) = ?

?

2

1

? (xt

? x)

2

=

? u? t

2

1

T ?2

? (xt

? x)

2

9 10 11 12

总平方和(TSS) 回归平方和(ESS) 误差平方和(RSS) 可决系数(确定系数)

? (yt - y ) 2
? ?( yt - y ) 2 ? ? ? (yt - y t )2 = ? ( u t )2

R2 = 检验?0, 1 是否为零的 ? t 统计量 t=
s

? ? (yt ? (yt

? y) ? y)

2 2

13

? ?0
? (?0 )

=
? (?

? ?0

?

xt )

2

T

? (xt

? x)

2

t=
s

? ?1
? ( ?1 )

=
? ?

? ?1

? (xt

? x)

2

14

?0 的置信区间 ?1 的置信区间
单个 yT+1 的点预测 单个 yT+1 的区间预测

? [ ? 0 - s ( ??

0

t ) ?/2

? (T-2) , ? 0 + s ( ??

0

t ) ?/2

(T-2)]

15

? ? [ ? 1 - s ( ?? ) t?/2 (T-2), ? 1 + s ( ?? ) t?/2 (T-2)]
1 1

16

? ? ? y T ? 1 = ? 0 + ? 1 x T+1
( x T ?1 ? x )
2 2

17

? y T ? 1 ? t?/2 (T-2) ??

1?

1 T

?

? (xt

? x)

18

E(yT+1)的区间预测
? y T ? 1 ? t?/2 (T-2) ??
1 T ?

( x T ?1 ? x )

2 2

2012-9-2

? (xt ? x ) 计量经济学

第5章结束

2012-9-2

计量经济学


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