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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第三节 平面向量的数量积习题 理


第三节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

平面向量的数量积

1.已知向量 a,b 和实数 λ ,下列选项中错误的是 A.|a|= B.|a?b|=|a||b|

(

)

C.λ (a?b)=λ a?b D.|a?b|≤|a||b| 1.B

【解析】|a?b|=|a||b||cos θ |,故易知 B 错误. 2. (2015?青岛诊断) 已知不共线的平面向量 a,b 满足 a=(-2,2),(a+b)⊥(a-b),那么|b|=( A.2 B.3 C.2 D.8 )

2.A 【解析】a=(-2,2),得|a|=2

,而(a+b)⊥(a-b)得(a+b)?(a-b)=0,即|a|2-|b|2=0,即

|b|=|a|,因此|b|=2

.

3. (2015?浙江嘉兴一中测试) 已知

=0,|

|=1,|

|=2,

=0,则

|

|的最大值为

(

)

A.

B.2

C.

D.2

3.C 【解析】由

=0,

=0 知 B 点,D 点都在以 AC 为直径的圆上,当 BD 为圆

的直径时其值最大且为

.

4.已知向量 a=(1,2x),b=(4,-x),则“x= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

”是“a⊥b”的

(

)

D.既不充分也不必要条件

1

4.A 【解析】 当 x=

时,a?b=4-2x2=4-4=0 即有 a⊥b,反之 a⊥b 时,有 a?b=0,即 4-2x2=0,

得 x=±

.

5. (2015?重庆高考) 若非零向量 a,b 满足|a|= 为( A. ) B. C.

|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角

D.π

5.A 【解析】由条件得(a-b)?(3a+2b)=3a2-2b2-a?b=0,即 a?b=3a2-2b2.又|a|=

|b|,

所以 a?b=3?

-2b2= b2,所以 cos<a,b>=

,所以<a,b>= .

6. (2016?山西忻州一中月考) 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,若(a+b)⊥(a-2b)且

|a|=2,则 b 在 a 上的投影为(
A.B.

) C. D.
2 2

6.A 【解析】由(a+b)⊥(a-2b)得(a+b)?(a-2b)=0,即|a| -a?b-2|b| =0,又|a|=2,由向量 a 与向量 b 的夹角为 120°得 a?b=|a||b|cos<a,b>=-|b|,故 4+|b|-2|b|2=0? |b|= ,|b|= (舍),而 b 在 a 上的投影为|b|cos θ ,即 cos

120°=-

.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. (2015?宜春一模) 已知 a,b 是单位向量,a?b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范 围是

.

2

7.[2-

,2+

]

【解析】由 a,b 是单位向量,a?b=0.可设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).

∵向量 c 满足|c-a-b|=2 可得(x-1)2+(y-1)2=4,其圆心 C(1,1),半径 r=2,∴|OC|=

.∴

r-|OC|≤|c|≤|OC|+r,即 2-

≤|c|≤2+

.∴|c|的取值范围是[2-

,2+

].

8. (2015?湖北高考) 已知向量

,|

|=3,则

=

.

8.9 【解析】因为

,所以

=0,所以

?(

)=

+0=32=9. .

9.若平面向量 a,b 满足|2a-b|≤3,则 a?b 的最小值是 9.-

【解析】由|2a-b|≤3 可知,4a2+b2-4a?b≤9,所以 4a2+b2≤9+4a?b.而

4a +b =|2a| +|b| ≥2|2a|?|b|≥-4a?b,所以-4a?b≤9+4a?b,得 a?b≥- .

2

2

2

2

[高考冲关] 1.(5 分) (2015?陕西高考) 对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 A.|a?b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b) =|a+b|
2 2

(

)

D.(a+b)(a-b)=a -b

2

2

1.B 【解析】对任意向量 a,b,|a?b|=|a||b|

≤|a||b|,所以 A 恒成

立;|a-b|≥||a|-|b||,所以 B 不恒成立;由数量积的运算法则可得(a+b)2=|a+b|2 和 (a+b)(a-b)=a -b 恒成立,即 C,D 均恒成立. 2.(5 分) (2015?湖北华中师大附中月考) 已知 a,b 是两个单位向量,且 a?b=- ,向量 c 与 a+b 共线,则|a+c|的最小值为( )
2 2

3

A.

B.

C.

D.1

2.A 【解析】由于向量 c 与 a+b 共线,所以可设 c=λ (a+b),因此|a+c|=|(1+λ )a+λ b|,而

|(1+λ )a+λ b|2=(1+λ )2|a|2+2(1+λ )?λ a?b+λ 2|b|2=(1+λ )2+2(1+λ )?λ ?
λ +λ + 1=
2

+λ 2=

,所以当 λ =- 时,|(1+λ )a+λ b|2 取最小值为 ,即|a+c|2 最小值为 ,故当

λ =- 时,|a+c|取最小值为

.

3.(5 分) (2015?遵义一模) 已知 AD,BE 分别是△ABC 的中线,若|

|=|

|=1,且

的夹角为 120°,则

=

(

)

A.

B.

C.

D.

3.B 【解析】如图所示,|

|=|

|=1,且

夹角为 120°,所以

=|

|?|

|?cos 120°=- ,又因为 AD,BE 分别是△ABC 的中线,所以

),

)=

(-

)=

-2

),解得

(2

-2

),

(4

+2

),故

)?(2

)=

(2

)=

2-1+

= .

4

4.(5 分) (2015?哈尔滨三中四模) 向量 函数 f(x)的最大值为 4.2 【解析】 由题得 f(x)=

=(1,1),

=(

),f(x)=

,

.
(-3≤x≤1),所以 f2(x)=4+2 ,

即 f2(x)=4+2

=4+2

,因此当 x=-1 时,f2(x)取最大值为 8,故 f(x)

的最大值为 2

.

5.(10 分)设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 5.【解析】由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,得 即(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 化简即得 2t +15t+7<0, 解得-7<t<- . 当夹角为 π 时,也有(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 但此时夹角不是钝角. 设 2te1+7e2=λ (e1+te2),λ <0, 可求得
2

<0,

解得

5

∴所求实数 t 的范围是

∪ -

,-

.

6


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