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含参不等式恒成立问题的求解策略


含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结 合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命 题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化 归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力, 培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问 题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地, 对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有

?a ? 0 1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? ?? ? 0 ?a ? 0 2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? . ?? ? 0
例 1.已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,即有

? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解 得 a ? ?1或a ?

1 3

所以实数 a 的取值范围为

1 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。

例 2.设 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的 取值范围。 解:设 F ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:
? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?

y x

- O 1

综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。

二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型 有: 1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max 例 3 . 已 知 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? a, g ( x) ? 2x 3 ? 4x 2 ? 40x , 当 x ? [?3,3] 时 ,
f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

解:设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? c , 则由题可知 F ( x) ? 0 对任意 x ? [?3,3] 恒成立 令 F ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 12 ? 0 ,得 x ? ?1或x ? 2 而 F (?1) ? ?7a, F (2) ? 20 ? a, F (?3) ? 45 ? a, F (3) ? 9 ? a, ∴ F ( x) max ? 45 ? a ? 0 ∴ a ? 45 即实数 a 的取值范围为 [45,??) 。 例 4.函数 f ( x) ?
x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, x

求实数 a 的取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,
x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, 即对 x ? [1,??) , f ( x) ? x

考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得 而 抛 物 线 g ( x) ? x 2 ? 2x ? a 在 x ? [1,??) 的 最 小 值 g min ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得
a ? ?3

注:本题还可将 f ( x) 变形为 f ( x) ? x ?

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f ( x) 最小 x

值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问 题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值, 但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:

1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略解: x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立, 只要 a ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒成立。而易求得二次函数 h( x) ? ? x 2 ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以
a ? ?3 。

例 5.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取 值范围。
2 解: 将问题转化为 a ? 4 x ? x 对 x ? (0,4] 恒成立。

x

令 g ( x) ?

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x

由 g ( x) ?

4x ? x 2 ? x

4 ? 1 可 知 g ( x) 在 (0,4] 上 为 减 函 数 , 故 x

g ( x) min ? g (4) ? 0
∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量 进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。 例 6.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范 围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问 题可转化为一次不等式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。 解 : 令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 , 则 原 问 题 转 化 为 f (a) ? 0 恒 成 立 ( a ? [?1,1] )。 当 x ? 2 时,可得 f (a) ? 0 ,不合题意。

? f (1) ? 0 当 x ? 2 时,应有 ? 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注:一般地,一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上恒有 f ( x) ? 0 的充
f (? ) ? 0 。 要条件为 ? ? ? f (? ) ? 0

五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明 了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知 道,函数图象和不等式有着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。 例 7 .设 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x , g ( x) ? 成立,求实数 a 的取值范围. 分析:在同一直角坐标系中作出 f ( x) 及 g ( x) 的图象如图所示,
f ( x) 的图象是半圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) g ( x) 的图象是平行的直
4 x ? 1 ? a , 若恒有 f ( x) ? g ( x) 3

y

-2 -4 -4 O x

线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则圆心 (?2,0) 到直 线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的 距 离 满 足
a ? ?5或a ?

d?

? 8 ? 3 ? 3a 5

?2 解 得

5 (舍去) 3 由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样, 但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变” ,当然这需要 我们不断的去领悟、体会和总结。


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