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综合法证明不等式


综合法证明不等式

一.教学目标
1. 理解用综合法证明不等式的原理和思维特点. 2. 掌握由学过的基本不等式来证明新的简单的不等式.

3. 培养学生对数学知识的理解能力,应用能力及论证能力

二.重难点分析
重点:综合法证明不等式的原理和思维特点 难点:综合法证明不等式的方法操作

课前练习

1. 求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca 2. 已知a,b,c是正数,

求证:a(b2+c2)≥ 2abc

综合法证明不等式
综合法:利用某些已经证明过的不
等式和不等式的性质推导出所要证明 的不等式成立,这种证明方法通常叫 做综合法.

例1.已知a,b,c是不全相等的正数,
求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明:∵b2+c2≥ 2bc,a>0
∴a(b2+c2)≥ 2abc ①

同理 b(c2+a2) ≥ 2abc,
c(a2+b2)≥ 2abc




因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥ 2bc,c2+a2≥ 2ca,a2+b2≥ 2ab,三式不能全取等号,从而① ②③也不能全取等号. ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

说明:
1. 综合法的思维特点是:由已知推结论.用综合法证明不
等式中常用的重要不等式为:① a ? 0 ②a2≥0
?

③a2+b2≥ 2ab(a,b∈R)④
⑤ b a

a ?b 2
a

? ab (a, b ? R )
? a ? 2b(a ? R )
?

? ?2
a b

(a,b同号)⑥ b 2

2. 条件a,b,c是不全相等的正数,所以最后所证不等式 取不到等号.

练习:
1. 已知a,b,c∈R,求证:a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c) 答案1 2. 已知a,b,c∈R+,求证: bc

a

? ac ? ab b c

≥ a+b+c

答案2

例2. 已知a,b,c是互不相等的正数,且 abc=1,
求证:

a ? b ? c? ? ?
1 a 1 b

1 c

证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且abc=1,


? a? b?

1 bc

?

1 ac

1 ? 1 ( b ? 1 ) ? 1 ( 1 ? 1 ), 2 c 2 a c

同理得:
1 c

1 b ? c? 1 ( 1 ? 1 ) ? 1 ( 1 ? b ), c 2 a c 2 a

1 1 1 ) ? 1 ( 1 ? b ), c ? a? 1 ( 1 ? b ) ? 1 ( b ? 1 ) 2 a 2 a 2 c

三式相加即得:

1 a ? b ? c? 1 ? b ? 1 a c

练习:
已知a,b,c是不全相等的正数, 求证: 提示:左边= =
b?c ?a a
b a
b a

?
c a

c ? a ?b b
c b

?
a b

a ?b ?c c
a c

?3
b c

? ? ? ? ? ?3
a b c a a c c b b c

( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3?3

课堂小结
1. 综合法证题方法:由已知推结论.这里已 知可以是已知的重要不等式,也可以是已知 的不等式性质. 2.用综合法证题过程中要适当将原不等式 变形,使其转化为易证的不等式. 3.运用不等式的性质和已证过的不等式时, 要注意他们各自成立的条件,这样才能使推 理正确,结论无误.

作业
1. 已知a,b,c∈R+且a+b+c=1, 求证(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc.

2. 已知a,b∈R+且a+b=1,
求证(ax+by)(ay+bx)≥xy 3. 已知a,b,c∈R, 求证:a4+b4+c4≥ a2b2+b2c2 +c2a2

祝同学们学习愉快!

证明:
∵a2b2+b2c2≥2ab2c , b2c2+c2a2≥2abc2,

a2b2 +c2a2≥ 2a2bc 上述三个不等式相加得: a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c)
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证明:
证法一:先证a2b2+b2c2+c2a2≥ abc( a+b+c)
又∵a,b,c∈R+,∴abc>0由不等式性质,不等式的两 边同除以abc得证.

证法二: ∵a,b,c∈R+,


bc a

?

ac b

? 2c, ?
ac b

ab c

? 2a,

ab c

?

bc a

? 2b

上述三式相加得证

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