当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结


三角函数知识点总结
1、任意角。 2、角 ? 的顶点与 重合,角的始边与 重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 4、 叫做 1弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 . 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 L= . S= 8 、设 ? 是一 个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离 是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11、同角三角函数的基本关系:(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ?? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
?

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 重要公式 ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?
1

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴

sin 2? ? 2sin ? cos ?
2



(2)

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

( cos ? ? 辅助角公式

2 tan ? cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) .⑶ tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 2 2
? . ?
得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
13、函数 y ? sin x 的图象上所有点 14.函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? B ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则? ?

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2


15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 质 图象 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域 值域 最值 周期性 奇偶性

单调性

对称性
2

三角函数题型分类总结
一、求值 1、 sin 330? =
tan 690° =

sin585o =
12 ,则 sin ? ? 13
.

2、 (1) ? 是第四象限角, cos ? ?

(2)若 sin ? ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? (3) ? 是第三象限角, sin(? ? ? ) ? 3、(1)已知 sin ? ?

4 5

1 ,则 cos? = 2
.

cos(

5? ??)= 2

5 , 则 sin 4 ? ? cos4 ? = 5
3 ? ,则 2 cos(? ? ) = 5 4

(2)设 ? ? (0, ) ,若 sin ? ?

?

2

.

(3)已知 ? ? (

?

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) = 2 5 4
3 的是( 2

4.下列各式中,值为

)

(A) 2sin15? cos15? (B) cos 2 15? ? sin2 15? (C) 2 sin2 15? ? 1 (D) sin2 15? ? cos 2 15? 5. (1) sin15 cos 75 ? cos15 sin105 = (2) cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 =
o o o o

。 。

(3) sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? 6.(1) 若 sinθ +cosθ =

? 3 (2)已知 sin( ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为 4 5
(3) 若 tan ? ? 2 ,则

1 ,则 sin 2θ = 5

sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?

, ? 2) ,则 cos? = 7.若角 ? 的终边经过点 P(1
8.已知 cos(

tan 2? =

?
2

? ?) ?

? 3 ,且 | ? |? ,则 tan ? = 2 2

9.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? = ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
3

10.下列关系式中正确的是(
0 0


0

A. sin11 ? cos10 ? sin168 C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0 0 0

0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

3 ,则 sin 2 ? ? cos2 ? 的值为 2 5 7 16 9 7 A. B. ? C. D. ? 25 25 25 25 12 ? ? 12.已知 sinθ =- ,θ ∈(- ,0) ,则 cos(θ - )的值为 13 2 4
11.已知 cos( ? ?

?

)?









7 2 7 2 17 2 B. C.- 26 26 26 13.已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30
A.- A.1 B.

D.

17 2 26
( )

3 2

C.0

D.-1 ( )

14.已知 sinx-siny= - A.

2 2 ,cosx-cosy= ,且 x,y 为锐角,则 tan(x-y)的值是 3 3

2 14 2 14 2 14 B. - C.± 5 5 5 o o 15.已知 tan160 =a,则 sin2000 的值是 a a 1 A. B.- C. 2 2 2 1+a 1+a 1+a

D. ?

5 14 28

( D.- ) 1 1+a
2

)

16.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是: ( (A) ?

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?
( )

17.已知 cos(α -

π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 )+sinα = 6 5 6
(B)

(A)-

2 3 5

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5
( )

18.若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tan a = (A)

1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2

4

二.最值 1.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是= 2.① 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 ? ② 函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 ③ 若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? 3. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值为 4. 函数 y ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是 5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? . 。 。

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为 最大值为 。

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于 , ? 3 4? ?

6 将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像向右平移了 n 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 n 的最小正 值是 A.

7π 6

B.

π 3

C.

π 6

D.

π 2

7.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大 值为( ) A.1 B. 2 )cos( C. 3 D.2

8.函数 y=sin( A. ?
4

? x+θ 2
B. ?
2

? x+θ 2
3

)在 x=2 时有最大值,则θ 的一个值是( ) D. 3?
4

C. 2?

9.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? A.1 三.单调性 1.函数 y ? 2 sin( A. [0, B.

?? ? ? , 上的最大值是( ?4 2? ?
D.1+ 3



1? 3 2

C.

3 2

?
6

? 2x) ( x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是(

).

?
3

]

B. [

? 7?
,

12 12

]

C. [ ,

? 5?
3 6

]


D. [

5? ,? ] 6

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ? B. ? , ?

? ? ?? ? ? ??

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?
5

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?

3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是 A. [ ?? , ?

( D. [ ?



5? ] 6

B. [ ?

5? ? ,? ] 6 6
(

C. [ ? ) C. (

?
3

, 0]

?
6

, 0]

4.函数 y ? 2cos2 x 的一个单调增区间是 A. ( ?

? ?

5. 若函数 f(x)同时具有以下两个性质: ①f(x)是偶函数, ②对任意实数 x, 都有 f( ? ? x )= f( ? ? x ),
4
4

, ) 4 4

B. (0,

?
2

)

? 3?
4 , 4

)

D. (

?
2

,? )

则 f(x)的解析式可以是 ( ) A.f(x)=cosx 四.周期性 1.下列函数中,周期为 A. y ? sin B.f(x)=cos(2x ?

?
2

)

C.f(x)=sin(4x ?

?
2

)

D.f(x) =cos6x

? 的是( 2

) C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

x 4

D. y ? cos 4 x

2. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
. .

3.(1)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是 (2)函数 y ? 2 cos x ? 1 ( x ? R) 的最小正周期为
2

4.函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是 (

) B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为 .

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2
2

? 的偶函数 2

5.函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是 五.对称性 1.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
B. x ? ?

) D. x ? )

?
6

?
12

C. x ?

?
6

?
12

2.下列函数中,图象关于直线 x ? A y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(

?
3

)

B y ? sin( 2 x ?

?
6

)

C y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D y ? sin(

x ? ? ) 2 6

6

3.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?

) D.关于直线 x ? π 对称
3

π ? ? π ? 对称 π A.关于点 ? 0 ? 对称 B.关于直线 x ? 对称C.关于点 ? , 0? ? , 4 ?3 ? ?4 ?
4.如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 ( 3 ? (D) 2



六.图象平移与变换

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式为 2 ? 2.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4 ? 3.将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后, 得到函数 y=sin ( x ? ) 的图象, 则? 6
1.函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 等于 4.将函数 y = 3 cos x-sin x 的图象向左平移 m(m > 0)个单位,所得到的图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小正值是 ( ) 2? 5? ? ? A. B. C. D. 6 3 3 6 七.图象 1.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( )

?? ?? ? ? (B) y ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 6? ? ? ?? ?? ? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? (D) y ? cos ? 2 x ? ? 3? 6? ? ? 2.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则
(A) y ? sin ? x ?

? 7? ? f? ?? ? 12 ?



π? ? 3.已知函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的部分图象如图所示,则 ( 2? ? π A.ω =1,φ = 6 π C.ω =2,φ = 6 π B.ω =1,φ =- 6 π D.ω =2,φ =- 6



7

4.已知函数 f(x)=Asin(x+φ )(A>0,0<φ <π ),x∈R 的最大值是 1,其图象经过点 M? (1)求 f(x)的解析式; 3 12 ? π? (2)已知 α ,β ∈?0, ?,且 f(α )= ,f(β )= ,求 f(α -β )的值. 2? 5 13 ?

?π ,1?. ? ? 3 2?

1 1 ?π ? ?π 1? 2 5.已知函数 f(x)= sin2xsinφ +cos xcosφ - sin? +φ ?(0<φ <π ),其图象过点? , ?. 2 2 2 ? ? ? 6 2? (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图 2

? π? 象,求函数 g(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 4? ?
八.综合 1. 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 2.函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

? ]上是增函数 2

) 的图象为 C, 如下结论中正确的是 3 2? 11 ? 对称; ②图象 C 关于点 ( ,0) 对称; ①图象 C 关于直线 x ? 3 12 ? 5? ③函数 f ( x)在区间 (? , )内是增函数; 12 12 ? ④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3

?

3.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A、2 或 0 B、 ?2 或 2 C、0

?

D、 ?2 或 0

? ? ? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于( 6 6 6



8

九.解答题 1.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

? 2

(Ⅱ) 在 (I) 的条件下, 若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? , 求函数 f ( x) 3

的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

2.已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值;

2

? ? ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2 π ? ?

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

3.知函数 f ( x) ? 2cos (Ⅰ)求 ? 的值;

2

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

4.已知向量 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记函数 f ( x) ? a ? b 。
9

?

?

? ?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求此时 x 的值。

5.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图象上一

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

10


相关文章:
三角函数和三角恒等变换题型总结
三角函数和三角恒等变换题型总结 - 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角 ? 的顶点与 重合,角的始边与 重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第...
三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳
三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳 及常见题型讲解教学大纲: ? 知识要点 (一)...
三角恒等变换知识点_图文
三角恒等变换知识点 - 三角恒等变换知识点总结 备课人:王媛 审核人:吕青乐 日期:2015.06.10 同角三角函数的基本关系 (1) sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ?...
三角函数与三角恒等变换(知识点)
三角函数与三角恒等变换(知识点) - 三角函数与三角恒等变换(知识点) 1.⑴ 角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180? , 1? ? ? 180 1 1 ⑵ 弧长公式: l...
三角恒等变换知识点解读及常考题型分析_图文
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角恒等变换知识点解读及常考题型分析 作者:计杨娟 来源:《中学生数理化· 高一版》2015 年第 06 期 三角函数是高中...
三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角...
三角恒等变换常考题型及解析
三角恒等变换三角函数部分常考的知识点, 是求三角函数极值与最值的一 个过渡...其中化简的过程就用到三角恒等变换,有关三角恒等变换 常考的题型及解析总结如下...
三角恒等变换专题总结复习
三角恒等变换知识分析】 1、 本章网络结构 tan ...(4)求值的类型: ①“给角求值” :一般所给出的...【典例解析】题型 1:两角和差的三角函数( cos ...
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案_数学_高中教育_教育专区。三角函数与三角恒等变换(A) 一、 填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.不...
三角函数与三角恒等变换_经典测试题_附答案
三角函数与三角恒等变换_经典测试题_附答案_数学_高中教育_教育专区。三角函数与三角恒等变换(A) 一、 填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.不...
更多相关标签: