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2012年第29届物理竞赛复赛试卷


2012 年第 29 届全国中学生物理竞赛复赛

29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正 立方体物块在湖面上由静止开始释放, 释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。 已知湖水 密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。在只

考虑物块受重力和液体浮力作用的 情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 二、 (23 分)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯顶端可超 过地球的同步卫星高度 R (从地心算起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低 成本地发射绕地人造卫星, 其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度, 然后启 动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1.设在某次发射时,卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到 0.80R 处意外 地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 ⅰ.论证卫星脱落后不会撞击地面 ⅱ.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星,讨论该卫星从 脱落时刻起,在 0 ? 12 小时及 12 ? 24 小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。 2.如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 Rx 处有一卫星从电梯 脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零) ,脱离后该卫星轨道刚好能和 赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星卓地点的经度。提示:此问要用数值方法求 解高次方程。 已知:地球质量 M ? 6.0 ?1024 kg ,半径 Re ? 6.4 ? 106 m 的球体;引力恒量 G ? 6.7 ? 10 ?11 N?

m2 ? ?2 ;地球自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引力作用。 kg

R

0.80R

R0

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三、 (25 分)如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 端牢固粘接在一起, AB 延长线于 BC 的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三个点各固连一质 量均为 m 的小球,构成一刚性系统,整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的光 滑竖直挡板。杆 AB 延长线与挡板垂直,现使该系统以大小为 v0 、方向沿 AB 的速度向挡板 平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球 C 在垂直于挡板方向的分速度为零, 且球 C 与挡板不粘连。若使求 C 碰撞后,球 B 先于球 A 与挡板相碰。求夹角 ? 应满足什么 条件。

A

B α

v0

C

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四、 (21 分)如图所示,虚线小方框是由 2n 个电容器联成的有限网络;虚线大方框是并联 的两个相同的无线网络。此无线网络的结果是:从左到中间,每个电容器的右极板与两个电 容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板 相连, 直至联结到一个电容器为止。 网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器, 其极板面积为 S ,极板间距为 d (d ?

S ) 。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池

连接,电池电动势恒定、大小为 ? 。忽略电容器的边缘效应,静电力常量 k 已知。 1.若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板极缓慢地向右拉动,使其两极板的距离变为 2d 。求在拉动过程中电池所做的功和外力所做的功。 2.在电容器 a 两极板的距离变为 2d 后,再将一块与电容器 a 的极板形状相同、面积也为 S 、 带电荷量为 Q(Q ? 0) 的金属薄板沿平行于 a 的极板方向全部插入到电容器 a 中,使金属薄板 电容器 a 左极板的距离为 x 。求此时电容器 a 的左极板所带的电荷量。

……

a

ε

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五、 分) (25 如图所示, 两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。 大圆环半径为 R1 。 小圆环表面绝缘半径为 R2 ( R2 ? R1 ) , 两圆环导线每单位长度电阻均为 r0 , 它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为 B ,方向竖直向下。一每单位长度电阻为 r1 的长直 金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为 R1 / 100(? R2 ) 的 ab 的位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd ,滑动过程中金属杆始终与 大圆环保持密接。 假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。 试 求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R 、长度为 l 的一段圆环导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处产生的磁感 应强度大小为 B ? km
Il , 方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则; R2

无限长直导线通有电流 I 时,电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度 B 的大小为 B ?
km 2I ,其中 km 是已知常量。 r
a c

v R1

R2

b

d

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六、 (15 分)如图所示,刚性绝热容器 A 和 B 水平放置,一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热 刚性细短管把容器 A 、 B 相互连通。初始时阀门是关闭的, A 内装有某种理想气体,温度 为 T1 ; B 内为真空。现将阀门打开,气体缓慢通过多孔塞后进入容器 B 中,当容器 A 中气 体的压强降到与初始时 A 中气体压强之比为 ? 时,重新关闭阀门。设最后留在容器 A 内的 那部分气体与进入容器 B 中的气体之间始终无法热量交换,求容器 B 中气体质量与气体总 质量之比。已知:1 摩尔理想气体的内能为 u ? CT ,其中 C 是已知常量,T 为绝对温度;一 定质量的理想气体经历缓慢的绝过程时,其压强 p 与体积 V 满足过程方程 pV 其中 R 为普适气体常量。重力影响和连接管体积忽略不计。
阀门
C?R C

? 常量,

A

B

多孔塞

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七(16 分)图中 L1 为一薄凸透镜, Q 为高等于 2.00cm 与光轴垂直放置的线状物,已知 Q 经
L1 成一实像,像距为 4.00cm ,现于 L1 的右方依次放置薄凸透镜 L2 、 L3 和薄凸透镜 L4 以及

屏 P ,它们之间的距离如图所示,所有的透镜都共轴,屏与光轴垂直, L2 、 L3 焦距的大小 均为 15.0cm 。已知物 Q 经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像,像高为 0.500cm 。
P L1 L2 L3 L4

27.5cm 2.5cm 5.0cm

26.0cm

1. L1 焦距的大小为

cm , L4 焦距的大小为

cm 。

2.保持 Q 、 L1 L4 和 P 位置不变,而沿光轴平移 L2 和 L3 ,最后在屏上成倒立的实像,像高为
1.82cm ,此时 L2 到 L1 的距离为

cm , L3 到 L4 的距离为

cm 。

八、 (18 分)如图所以,竖直固定平行放置的两条相同长直导线 1 和 2 相距为 a ( a ? 长直 导线的长度) ,两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流,电流方向向上。导线中正离子 都是静止的, 每单位长度导线中正离子的电荷量为 ? ; 形成电流的导电电子以速度 v0 沿导线 向下匀速运动, 每单位长度的导线中导电电子的电荷量为 ? ? 。 已知: 单位长度电荷量为 ? 的 无限长均匀带电直导线在其距离为 r 处产生的电场强度大小为 E ? ke
2? ,其中 k e 是常量; r

当无线长直导线通有恒稳电流 I 时,电流在距导线距离为 r 处产生磁场的磁感应强度大小为
B ? km 2I ,其中 km 是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量 k e 和 km 的比值。 r

提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中的光速为 c 。

1

2


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