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高一数学奥赛试题


高一数学奥赛试题 一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 2 1.二次函数 y=2x +4x+3 的顶点坐标、对称轴分别是( A.(-1,1),x=-1 B.(1,1),x=1 C.(4,3),x=4 ) D.(-4,3),x=-4

2.设 为正整数,若 A. 3.已知关于

解,则化简 A、2a B.

是完全平方数,则它前面的一个完全平方数是 ( C. D.



只有一个 的结果是 ( B、2b ) C、2c D、0

4、 2007 年的夏天,我市旱情严重.7 月 10 号、15 号某居民区的人日均用水量的变化情况 如图所示.若 10 号、15 号该区的人均用水量分别为 18 千克和 15 千克,并一直按此趋势直 线下降.当人日均用水量低于 10 千克时,政府将向区居民送水.那么政府应开始送水的日期 为( )号 A.23

B.24

C.25

D.26 的值都不小于 0, 则常数 c 满足的条件是( )

5、 若 x 为任意实数时, 二次三项式

A. ≥0 B. c>0 C. c≥9 D. c>9 6、如图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象.若用黑 点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( )

7、如图 AD 是△ABC 的中线,∠ADC=60°,BC=4,把△ADC 沿直线 AD 折叠后,使 AB 和 DC’

相交于点 E,点 C 落在 C’的位置上,那么 BC’为 A.1 B. 2 C.



) D.

8、如图 ,在△ABC 中,已知∠C=90°,AC=60 cm,AB=100 cm,a、b、c?是在△ABC 内部 的矩形,它们的一个顶点在 AB 上,一组对边分别在 AC 上或与 AC 平行,另一组对边分别在 BC 上或与 BC 平行. 若各矩形在 AC 上的边长相等,矩形 a 的一边长是 72 cm,则这样的矩形 a、b、c?的个数是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

(第七题) 9、如图 , 中点, 是直径 是⊙O 的直径, 上一动点,则 ,点 在⊙O 上, ) , 为弧 的

的最小值为(

A. 1

B.2

C.

D.

10.如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体 的个数是( A.5 )个。 B.6 C.7 D.8

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.函数

的定义域是

. 的系数 , ,

12、 从-2, -1, 1, 2 这四个数中, 任取两个不同的数作为一次函数

则一次函数 13.如图,已知

的图象不经过第四象限的概率是________. 是⊙O 的直径,弦 于 H,AC=10,CD=12,那么 的

值是



14、对于正数 x,规定 f(x)=

,例如 f(3)=

,f(

)=

,计算

f(

)+ f(

)+ f(

)+ ?f(

)+ f(

)+ f(1)+ f(1)+ f(2) .

+ f(3)+ ? + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)=

15、如上图,二次函数 y=ax +bx+c(a>0).图象的顶点为 D,其图象与 x 轴的交点 A、B 的横 坐标分别为–1、 3, 与 y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论: ①2a+b=0; ②a+b+c>0; ③当 时,y 随 x 值的增大而增大;④当 是等腰直角三角形; 那么,其中正确的结论是 论的序号) 三. 解答题(共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ________ ⑤只有当 a= 时,△ABD .(只填你认为正确结

2

16. (本题满分 12 分) (1)解不等式组

,并把解集在数轴上表示出来.

(2)先化简,再求代数式 .

的值,其中



17、 (本小题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0. ⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根; ⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角 形 ABC 的周长. 18、 (本题满分 12 分)某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动, 派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品. 已知该超市的锦江牌钢笔每 支 8 元,红梅牌钢每支 4.8 元,他们要购买这两种笔共 40 支. (1)如果他们两人一共带了 240 元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支?(2)小林和小明根据主题班会

2

活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的

,但又不

少于红梅牌钢笔的数量的 ①请写出

.如果他们买了锦江牌钢笔 支,买这两种笔共花了

元.

(元)关于 (支)的函数关系式,并求出自变量 的取值范围;

②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花了多少元? 19、 (本题满分 12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于 点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交 BC 于点 E. (1)求证:点 E 是边 BC 的中点; (2)若 EC=3,BD= ,求⊙O 的直径 AC 的长度;

(3)若以点 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 20、 (本题满分 13 分)在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升 趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从 第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售;从第 12 周开始,当季节即将过去时, 每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。

⑴求 销售价格

(元/件)与周次 之间的函数关系式;

⑵若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 次之间的关系为 Z= (1≤ ≤16) ,且 为整数,试问该服装第几周出售时,每件

销售利润最大?最大利润为多少?

21、 (本题满分 14 分) 设抛物线 0),与 y 轴交于点 C.且∠ACB=90°. (1)求 m 的值和抛物线的解析式;

与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1, 0)、 B(m,

(2)已知点 D(1,n )在抛物线上,过点 A 的直线 (3)在(2)的条件下,求△BDP 的外接圆半径.

交抛物线于另一点 E.若点

P 在 x 轴上,以点 P、B、D 为顶点的三角形与△AEB 相似,求点 P 的坐标.

题次 答案

1 A

2 D

3 D

4 B

5 C

6 D

7 B

8 C

9 D

10 B

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.函数

的定义域是

{x|

}



12、 从-2, -1, 1, 2 这四个数中, 任取两个不同的数作为一次函数

的系数 , ,

则一次函数 13.如图,已知

的图象不经过第四象限的概率是__ 是⊙O 的直径,弦

______. 的

于 H,AC=10,CD=12,那么

值是



14、对于正数 x,规定 f(x)=

,例如 f(3)=

,f(

)=

,计算

f(

)+ f(

)+ f(

)+ ?f(

)+ f(

)+ f(1)+ f(1)+ f(2) 2006 .

+ f(3)+ ? + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)=

15、如图,二次函数 y=ax +bx+c(a>0).图象的顶点为 D,其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐 标分别为–1、3,与 y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;③当 时,y 随 x 值的增大而增大;④当 是等腰直角三角形; 那么,其中正确的结论是 正确结论的序号) 三. 解答题(共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ①④⑤ ⑤只有当 a= 时,△ABD ________ .(只填你认为

2

16. (本题满分 12 分) (1)解不等式组 解:解第一个不等式得: 解第二个不等式得: 所以不等式组的解集为:

,并把解集在数轴上表示出来.

(2)先化简,再求代数式 .

的值,其中



解:原式=

代入上式得:原式= 17、 (本小题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0. ⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根; ⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,
2

求三角形 ABC 的周长. 解: (1)

所以:无论 k 取何值,这个方程总有实数根。-------5 分 (2)三角形 ABC 为等腰三角形,可能有两种情况: 2 1)b 或 c 中至少有一个等于 a= 4,即:方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0 有一根为 4, 可得 k= ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2,此时三角形 ABC 周长为 10;------9 分
2

2)b=c 时, 得 k= ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形; 综上,三角形 ABC 周长为 10。 --------------------12 分 18、 (本题满分 12 分)某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动, 派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品. 已知该超市的锦江牌钢笔每 支 8 元,红梅牌钢每支 4.8 元,他们要购买这两种笔共 40 支. (1)如果他们两人一共带了 240 元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? (2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红
2

梅牌钢笔的数量的 买这两种笔共花了 ①请写出

,但又不少于红梅牌钢笔的数量的 元.

.如果他们买了锦江牌钢笔 支,

(元)关于 (支)的函数关系式,并求出自变量 的取值范围;

②请帮他们计算一下,这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花了多少元? 解: (1)设能买锦江牌钢笔 支,则能买红梅牌钢笔 得 .解得 . 支.依题意, .

答:能买锦江牌钢笔 15 支,红梅牌钢笔 25 支.------------------5 分 (2)①依题意,得 .

又由题意,有

解得



关于 的函数关系式为 数.--8 分 ②对一次函数 ,

,自变量 的取值范围是

且 为整



随 的增大而增大.



, 当

时 ,

值 最 小 . 此 时



答:当买锦江牌钢笔 8 支,红梅牌钢笔 32 支时,所花钱最少,为 217.6 元.--------12 分 19、 (本题满分 12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于 点 D,过点 D 作⊙O 的切线,交 BC 于点 E. (1)求证:点 E 是边 BC 的中点; (2)若 EC=3,BD= ,求⊙O 的直径 AC 的长度;

(3)若以点 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC 的形状,并说明理由. (1)证明:连接 DO, ∵∠ACB=90°,AC 为直径, ∴EC 为⊙O 的切线, 又∵ED 也为⊙O 的切线, ∴EC=ED. ???????????????2 分 又∵∠EDO=90°, ∴∠BDE+∠ADO=90°, ∴∠BDE+∠A=90°, 又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B,

∴EB=ED. ∴EB=EC,即点 E 是边 BC 的中点. ???????????????4 分 (2)∵BC,BA 分别是⊙O 的切线和割线,BC=2DE ∴BC =BD·BA, ∴(2EC) = BD·BA,即 BA· ∴BA= ,
2 2

=36,

在 Rt△ABC 中,由勾股定理得

AC=

=

=

. ???????????????8 分

(3)△ABC 是等腰直角三角形. 理由:∵四边形 ODEC 为正方形, ∴∠DOC=∠ACB=90°,即 DO∥BC, 又∵点 E 是边 BC 的中点, ∴BC=2OD=AC, ∴△ABC 是等腰直角三角形. ???????????????????12 分 20、 (本题满分 13 分)在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升 趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从 第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售;从第 12 周开始,当季节即将过去时, 每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 (元/件)与周次 之间的函数关系式; (1

⑵若这种时装每件进价 Z (元/件) 与周次 次之间的关系为 Z=

≤ ≤16) , 且 为整数, 试问该服装第几周出售时, 每件销售利润最大?最大利润为多少?

解:⑴依题意,可建立的函数关系式为:

------------------------------------5 分 ⑵设销售利润为 W,则 W=售价-进价

故 W=

化简得 W=

??????9 分

①当 W= ∴当

时,∵ ≥0,函数

随着 增大而增大,∵1≤ ≤6

时,W 有最大值,最大值=18.5

②当 W= 增大而增大

时,∵W=

,当 ≥8 时,函数



∴在

时,函数有最大值为

③当 W= 数 随 增大而减小, ∴在

时,∵W=

,∵12≤ ≤16,当 ≤16 时,函

时,函数有最大值为 18

综上所述,当

时,函数有最大值为

??????13 分

21、 (本题满分 14 分) 设抛物线 0),与 y 轴交于点 C.且∠ACB=90°. (1)求 m 的值和抛物线的解析式;

与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1, 0)、 B(m,

(2)已知点 D(1,n )在抛物线上,过点 A 的直线 (3)在(2)的条件下,求△BDP 的外接圆半径.

交抛物线于另一点 E.若点

P 在 x 轴上,以点 P、B、D 为顶点的三角形与△AEB 相似,求点 P 的坐标.

解: (1)易知 C(0,-2), 在 得 OB=4,所以:B(4,0)即:m=4

所以:

解得:

抛物线解析式为: (2)易得:D(1,-3 ) 可求出 E(6,7)

-----------------4 分

在线段 OB 上有点 P 使:





此时

--------6 分

在 BA 延长线上有点 P 使:





此时

--------9 分

(3)可求出 相似比,

外接圆半径为



外接圆半径与

外接圆半径比等于

可得

外接圆半径为

-----------------------------14 分


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