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1.2.2充要条件


1.2.2

复习 1、充分条件,必要条件的定义: 若

充分 p ? q,则p是q成立的____条件
必要 q是p成立的____条件

思考: 已知p:整数a是6的倍数,
q:整数a是2和3的倍数,

定义: 如果既有p ? q,又有q ? p就记做p ? q
称:

p是q的充分必要条件,简称充要条件

那么p是q的什么条件?

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件

p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)

各种条件的可能情况

1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1) A B且B B且 B B且B B且B A,则A是B的
充分非必要条件

2)若A 3)若A 4) A

A,则A是B的
必要非充分条件

A,则A是B的
既不充分也不必要条件

A,则A是B的
充分且必要条件

3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件

例题: 0 ? x ? 5是不等式 x ? 2 ? 4成立的( )条件。
注:一般情况下若条件甲为x∈A,条件乙为x∈B

当且仅当A ? B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当B ? A时,甲为乙的必要条件; 当且仅当A ? B时,甲为乙的充要条件.

3、从集合与集合的关系看充分条件、 必要条件
一般情况下若条件甲为x∈A,条件乙为x∈B

1)若A ? B且B?A,则甲是乙的 2) 若A? B且B ?A,则甲是乙的
充分非必要条件

必要非充分条件

3)若A ? B且B ? A,则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4)若A=B ,则甲是乙的充分且必要条件。

小结

充分必要条件的判断方法

定义法 集合法 等价法(逆否命题)

例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1) p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2) P: x>0,y>0, q: xy>0; (3) P: a>b, q: a+c>b+c.

例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L 的距离为d. 求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明 充分性q ? p 和必要性 p ? q 即可

练习1、 1、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充分条件,则 充要条件 (1)s是q的什么条件? 充要条件 (2)r是q的什么条件? 必要条件 (3)P是q的什么条件? 变.若A是B的必要而不充分条件,C是B的充 要条件,D是C的充分而不必要条件, 充分不必要条件 那么D是A的________ 注、定义法(图形分析)

若?A是B的充分不必要条件, 则A是?B的()条件.
必要不充分条件

2:填写“充分不必要,必要不充分,充要, 既不充分又不必要。

既不充分又不必要 条件。 1)sinA>sinB是A>B的____________

2)在ΔABC中,sinA>sinB是 A>B的
充要条件 ________条件。

注、定义法(图形分析)

3、a>b成立的充分不必要的条件是( D ) A. ac>bc B. a/c>b/c C. a+c>b+c D. ac2>bc2 4.关于x的不等式:|x|+|x-1|>m的 解集为R的充要条件是( C ) (A)m<0 (C)m<1 (B)m≤0 (D)m≤1

练习2、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或 x∈N”是“x∈M∩N”的 B

A.充要条件
C充分不必要

B必要不充分条件
D不充分不必要

注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

练习3、

1.已知p是q的必要而不充分条件, 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
注、等价法(转化为逆否命题)
2:若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 件,则A为C的( A )条件 A.充要 B必要不充分

C充分不必要

D不充分不必要

练习4、
1.已知P:|2x-3|>1;q:1/(x2+x-6)>0, 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6, 则非p是非q的( A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

集合法与转化法

注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清 ① A 是 B 的充分条件与 A 是 B 的充分非必要条件之间 的区别与联系; ② A 是 B 的必要条件与 A 是 B 的必要非充分条件之间 的区别与联系

3、注意几种方法的灵活使用: 定义法、集合法、逆否命题法

4、判断的技巧 ①向定语看齐,顺向为充(原命题真) 逆向为必(逆命题为真) ②等价性:逆否为真即为充, 否命为真即为必

练习5 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根 为-1的充要条件是a-b+c=0. 【解题回顾】充要条件的证明一般分两步: 证充分性即证A =>B, 证必要性即证B=>A

练习:设x、y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充 要条件是xy≥0 充要条件的证明的两个方面: 1、必要性:|x+y|=|x|+|y|→xy≥0

2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
3、点明结论

求:已知关于x的方程 (1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R). 求:⑴方程有两个正根的充要条件; ⑵方程至少有一个正根的充要条件。 【解题回顾】 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零, 二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求 的必要条件代替充要条件.

回顾总结: 1、条件的判断方法

定义法

集合法

等价法(逆否命题)

2、图形分析法(网)


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