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优美双曲线


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画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F,F2的距离的和为一个定 平面内与两个定点F12的距离的差的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. 值(大于︱F1F2︱ )的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意

M

(1)距离之差的绝对值

F

1

o

F2

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

0<2a<2c

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ (x-c)2 + y2 = + 2a



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

( x ? c) ? y

2

2

?

( x ? c) ? y

2

2

? ? 2a

y
2

( ( x ? c) ? y ) ? ( ( x ? c) ? y

2

2

2

2

2

M

? 2a )

cx ? a

2

? ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

2

F1

o

(c

2

? a )x

? a y

2

2

? a (c

2

2

? a )

2

令c2-a2=b2
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

( a ? 0, b ? 0 )

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上? 判断: 6 1
x 2 ? y 2 ? 1

9



y

2 ?

x

2 ? 1 的焦点位置?

9

16

结论: x , y 前的系数,哪一个为正,则 看

2

2

焦点在哪一个轴上。

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义


2 2 2 2

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x a ? ? y b x b
2 2 2 2

|MF1|+|MF2|=2a
x a y a
2 2 2 2

方程

? ?

y b x b

2 2 2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ? 1( a ? b ? 0 )

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ? 1( a ? 0 , b ? 0 )

y a

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 5 4 3 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M

y
M
F2

图象
F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1

F ( ±c, 0)
c
2

F(0, ± c)
? a ?b
2 2

这节课,我们一起认识到了双曲线的 图形及方程之美,但我们并没有完全认识 她的特征。她像极了我们的人生,有优美, 也有悲伤,接下来让我们通过一首歌一起 去遐想和感受她的悲伤,希望大家能在聆 听之后,下课之余,去真正的认识双曲线 的另外一面,为今后我们研究双曲线的性 质提供帮助,同时也让我们得出对人生的 一些思考。

如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,漫漫长路无交点 为何看不见,等式成立要条件 难到正如书上说的,无限接近不能达到 为何看不见,明月也有阴晴圆缺 此事古难全,但愿千里共婵娟


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