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【教师原创整理】江苏省南通市2015届高三数学总复习优秀资源课件:第34讲 数列的综合应用


第34讲

数列的综合应用

江苏省南通第一中学

主要内容
一、聚焦重点 等差数列、等比数列的综合应用. 二、破解难点

构建数学模型解数列应用性问题.

知识结构

通项an

? S1 (n ? 1) an ? ? ? S

n ? Sn?1 (n ≥ 2)

前n项和Sn 数列 定义 等比数列

通项
前n项和

等差数列 性质

聚焦重点:等差、等比数列的综合应用

经典例题1
例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数.

思路分析
例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数.

思路 1:设这四个数分别为 x,y,m,n.
解四元二次 方程组

? x ? m ? 2 y, ? 2 ?y ? n ? m , ? ? x ? n ? 16, ? ? y ? m ? 12.

不经济!

思路分析
例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数.

思路 2:设前三个数分别为 a-d,a,a+d.
则第四个数为 16-(a-d).列出方程组
解二元二次 方程组

?a ? a ? d ? 12, ? 2 ( a ? d ) ? a[16 ? ( a ? d )]. ?
可以一试!

思路分析
例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数. a 思路 3:设后三个数为 ,a,aq. q 则第一个数为 16-aq,这样列出的方程组为
解二元 方程组

2a ? 16 ? aq ? a ? ? q ? , ? ? a ? a ? 12. ? ?q

可以一试!

思路分析
例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数.

思路 4:设这四个数为 x,y,12-y,16-x.

求解过程
解 设四个数分别为 x,y,12-y,16-x,
(1) ? x ? (12 ? y ) ? 2 y, 则 ? 2 y (16 ? x ) ? (12 ? y ) . (2) ?

由(1) ,得 x=3y-12.(3)代入(2) , 得 y2-13y+36=0.解得 y=4 或 y=9,

? x ? 0, ? x ? 15, 分别代入(3) ,得 ? 或? ? y ? 4; ? y ? 9.
∴四个数分别为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.

收获:未知数设得巧妙,从而减少了运算量.

回顾反思
(1)思想方法:基本量思想,方程思想.
(2)解题步骤:①设未知数;②列方程;③解方程.
(3)方法比较:四种方法均可,但前三种方法计算 较复杂;法四运算量小.

(4)通性通法:方法1、2、3虽然有一定的运算

量,但属于通性通法.
三个成等差数列的数可设为 a-d,a,a+d. a 三个成等比数列的数可设为 ,a,aq. q

经典例题2
例 2 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,由{an}中的 部分项组成的数列 a b1 ,a b2 ,…,a bn ,…为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1) 求数列{bn}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和.

思路分析
例 2 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,由{an}中的部 分项组成的数列 a b1 ,a b2 ,…,a bn ,…为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.
三数列:等差数列{an},等比数列{ a bn },下标数列{bn}.

切入点: a1 , a5 , a17 成等比数列. 基本量: a1 , d .

解题过程
解 (1)由题意知 a52=a1· a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d), 得 a1d=2d2.∵d≠0, ∴a1=2d, a5 a1 ? 4d 等比数列{ abn }的公比 q= ? =3. 第n项 a1 a1 n-1 n-1 ∴在等比数列{ abn }中, abn = ab1 · 3 =a1· 3 ①
bn ? 1 a1② 又在等差数列{an}中,abn =a1+(bn-1)d= 2 第bn n-1 bn ? 1 由①②得 a1· 3 = · a1. ∵a1=2d≠0, 项 2

∴bn=2· 3

n- 1

-1.

解题过程
(2)∵bn=2· 3n 1-1.


通项分解

∴Tn= b1 +b2 +…+bn =(2· 30-1)+ (2· 31-1)+ …+ (2· 3n-1-1) =2· (30+31+…+3n-1)-n

1? 3 =2· ( )-n=3n ? 1-n. 1? 3
n

等比数列的前n 项和公式

回顾反思
本题难点:第(1)小题. 审读题意:三个数列一个入口,即

原数列——等差数列;
新数列——等比数列;

联系点——下标数列.
a1,a5,a17成等比数列.

思维方向:在新旧数列中不断转换角色.
解题策略:主抓数列的首项、公差、公比.

基本公式:等差、等比数列有关公式.

破解难点:构建数学模型解数列应用性问题.

问题研究
如何构建适当的数列模型解决实际应用问题?

经典例题3
例 3 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次 (一 个分裂成二个) ,经过 3 小时这种细菌由一个可繁殖 成多少个?

思路分析
例 3 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次 (一 个分裂成二个) ,经过 3 小时这种细菌由一个可繁殖 成多少个?
思路 1:共繁殖 9 次, a9 ? a1 ? q8 ? 256 个.
哪个正 确?

a1 (1 ? q 9 ) 29 ? 1 ? ? 511个. 思路 2:共繁殖 9 次, S9 ? 1? q 2 ?1 a1 (1 ? q10 ) 210 ? 1 ? ? 1023个. 思路 3:共繁殖 9 次, S10 ? 1? q 2 ?1
思路 4:共繁殖 9 次, a10 ? a1 ? q9 ? 512 个.

求解过程
解 由题意知,逐次分裂细菌数构成等比数列{an },
180 ? 9 次, a1 ? 1,公比 q ? 2 ,共分裂 20

第 1 次应为 a2 ? a1q ? 1? 21个, 第 2 次应为 a3 ? a1q 2 ? 1? 22 个, …… 第 9 次应为 a10 ? a1 ? q9 ? 1? 29 ? 512个. 答: 经过 3 小时这种细菌由一个可繁殖成 512 个.

回顾反思
解题策略:构造等比数列模型 思维误区: (1)数列的第 n 项误认为前 n 项和; (2)项数判断错误.

经典例题4
例 4 某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争 , 到 2001 年底全县的绿化率已达 30%。从 2002 年开始,每年 将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此 同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化. 3 (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为 a1 ? , 经过 n 10 4 4 ? an . 年绿化总面积为 an?1.求证 an?1 ? 25 5 (2)至少需要多少年(年取整数, lg 2 ? 0.3010 )的努力, 才能使全县的绿化率达到 60%?

3 ( 1) 设全县面积为 1, 2001 年底绿化面积为 a1 ? , 10 4 4 ? an . 经过 n 年绿化总面积为 an?1.求证 an?1 ? 25 5 思路 1 由 a1可求出一年后的绿化面积 a2 ,
由 a2 可求出两年后的绿化面积 a3 …… 由 an 可求出 n 年后的绿化面积 an?1. 再找 an?1和 an 的关系.
思路 2 寻找一年后的绿化面积 a2 与 a1的关系, 两年后的绿化面积 a3 与 a2 的关系,…… 目标意识! n 年后的绿化面积 an?1与 an 的关系.
思维经济, 但运算较 繁!

思路分析

解题过程
(1) 证明:由已知可得 an 确定后, an?1表示如下: an?1= an ?(1 ? 4%) ? (1 ? an ) ?16%. 4 4 即 an?1=80% an +16%= an + . 5 25

解题过程
(2)至少需要多少年(年取整数,lg 2 ? 0.3010 )的努力, 才能使全县的绿化率达到 60%?

目标:求出 an !
3 4 4 想一想:数列{ an }中,已知 a1 ? ,且 an?1= an + . 10 5 25 如何求 an ?
4 4 4 4 思路 1:由 an?1= an + ,得 an = an?1 ? 回代上式,依 5 25 5 25 次代入,直到用 a1表示.

解题过程
4 4 (2)解法 1 由 an?1= an + ,可得 5 25 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 an = an?1 ? = ( an?2 ? ) ? = ( ) an?2 ? ? ? 25 5 5 25 25 5 5 25 5 5 4 3 4 2 4 4 4 4 = ( ) an?3 ? ( ) ? ? ? ? =…… 5 5 25 5 25 25 4 n?1 4 n ? 2 4 n ?3 4 4 = ( ) a1 ? [( ) ? ( ) ? ? ? 1] ? 5 5 5 5 25 4 n?1 1? ( ) 4 n?1 3 4 4 n?1 3 4 n?1 4 5 ? = ( ) ? ? [1 ? ( ) ] ? =( ) ? ? 4 10 5 5 5 10 25 5 1? 5 1 4 n?1 4 故有 an = ? ( ) ? . 2 5 5

解题过程
3 4 4 想一想:数列{ an }中,已知 a1 ? ,且 an?1= an + . 10 5 25 如何求 an ?
4 4 4 4 4 思路 2:由 an?1= an + ,得 an?1 ? = ( an ? ) . 5 25 5 5 5 4 4 4 得 an ? = ( an?1 ? )回代上式,依次代入, 5 5 5 直到用 a1表示.

解题过程
4 4 (2)解法 2 由 an?1= an + ,可得 5 25 4 4 4 an?1 ? = ( an ? ). 5 5 5 4 4 4 4 2 4 4 n?1 4 ∴ an ? = ( an?1 ? ) = ( ) ( an?2 ? ) =…= ( ) (a1 ? ) 5 5 5 5 5 5 5 1 4 n?1 4 故有 an = ? ( ) ? . 2 5 5

解题过程
3 4 4 想一想:数列{ an }中,已知 a1 ? ,且 an?1= an + . 10 5 25 如何求 an ?
4 4 4 4 4 思路 3:由 an?1= an + ,得 an?1 ? = ( an ? )构造新 5 25 5 5 5 的等比数列.

n年后

解题过程

4 4 (2)解法 3 由 an?1= an + ,可得 5 25 4 4 4 an?1 ? = ( an ? ). 5 5 5 4 4 4 数列{ an ? }是以 a1 ? 为首项公比为 的等比数列. 5 5 5 4 4 4 n?1 an ? =( a1 ? ) ( ) , 5 5 5 1 4 n?1 4 故有 an = ? ( ) ? . 2 5 5
n-1年后

n-1年后

解题过程

3 1 4 n?1 4 3 若 an≥ , 则有 ? ( ) ? ≥ . 5 2 5 5 5 1 1 4 n?1 2 4 n?1 ≥ ( ) ,即 ≥ ( ) . 5 2 5 5 5 1 4 4 n?1 1 4 n?2 ? ≥ ( ) ,即 ≥ ( ) 2 5 5 2 5 两边同时取对数,可得 ? lg 2 ≥ (n ? 2)(2lg 2 ? lg5) ? ( n ? 2)(3lg 2 ? 1) lg 2 故n ≥ ? 2 ? 5, 1 ? 3lg 2 故使得上式成立的最小 n ? N*为 6. 故最少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿化率 达到 60%.

回顾反思
解数学问题应用题重点在过好三关 (1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容; (2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为 符号语言,用数学关系式表述事件; (3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际 问题数学化,并解答这一数学模型, 得出符合实际意义的解答。

总结提高
知识与内容 一、聚焦重点
等差数列、等比数列的综合应用. 二、破解难点 构建数学模型解数列应用性问题.

总结提炼
思想与方法 (1)通性通法 (2)基本量思想,方程思想. (3)化归转化思想





同步练习
1.已知 x、y 为正实数,且 x,a1,a2,y 成等差数列, (a1 ? a2 ) 2 x,b1,b2,y 成等比数列,则 的取值范围 b1b2 是_____.

2.已知数列?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1,2, ), a1 ? 1. (1)设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2, ), 求证:数列?bn ?是等比数列; an ), (2)设数列 cn ? n ,(n ? 1,2, 2 求证:数列?cn ? 是等差数列; (3)求数列?an ?的通项公式及前 n 项和.

同步练习
3.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进 行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据 规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将
1 比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 5

400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,
1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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同步练习
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元, 旅游业总收入为 bn 万元, 写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总 投入?

参考答案
1. [4,+∞) . 2. (1)略; (2)略; (3)S n =2 n?1(3n-4)+2.

参考答案
5 n 4 n 3.(1)an=4000× [1-( ) ] ;bn=1600× [ ( ) - 1] . 4 5

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总 投入,即 bn-an>0,
5 n 4 n 1600× [( ) -1]-4000× [1-( ) ]>0, 4 5 4 n 2 令 x=( ) ,代入上式,得 5x -7x+2>0. 5 2 解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去). 5 4 n 2 即( ) < , 由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年. 5 5


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