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1 8.4直线与圆、圆与圆的


数学

浙(理)

§8. 4 直线与圆、圆与圆的 位置关系
第八章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离

,联立直线和圆的方程,消元 后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 方法 位置关系 相交 相切 相离 几何法 d <r d =r d >r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ< 0
知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0),
2 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 (r2>0).

知识回顾 理清教材

方法 几何法:圆心距 d 代数法: 两圆方程联立组 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 与 r1,r2 的关系 成方程组的解的情况

d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2)

无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

直线与圆的交点个数即为直线方 程与圆方程联立而成的方程组解 的个数;最短弦长可用代数法或 几何法判定.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点;

方法一 (1)证明 ? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? ??x-1? +?y+1? =12,
因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,

(2)求直线 l 被圆 C 截得的最 总有两个交点. 短弦长.
B(x2,y2)两点,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2

|AB|= 1+k2|x1-x2|

8-4k+11k2 =2 =12. 1+k2 4k+3 (1)试证明: 不论 k 为何实数, =2 11- , 1+k2 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 4k+3 2 令 t= , 则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k2 3 (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 当 t=0 时,k=-4,当 t≠0 时,

短弦长.

因为 k∈R, 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,
解得-1≤t≤4,且 t≠0,

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

4k+3 故 t= 的最大值为 4, 此时|AB| 1+k2 最小为 2 7. 方法二 (1)证明

圆心 C(1,-1) |k+2| (1)试证明: 不论 k 为何实数, 到直线 l 的距离 d= 圆C的 2, 1+k

直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.

2 k +4k+4 2 2 R -d =12- 1+k2

半径 R=2 3,

11k2-4k+8 = , 1+k2

而在 S=11k2-4k+8 中,

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx +1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

Δ=(-4)2-4×11×8<0,
故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立,

所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 交点. (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
(2)解 由平面几何知识,
知|AB|=2 R2-d2 8-4k+11k2 =2 ,下同方法一. 1+k2

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC| =12. = 5<2 3=R,

方法三

(1)证明

因为不论 k 为何

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
内部的定点 P. 所以不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 (2)解 由平面几何知识知过圆内定 =12.
点 P(0,1)的弦,只有和 AC (C 为圆 心)垂直时才最短,而此时点 P(0,1)

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 为弦 AB 的中点,由勾股定理,知 直线 l 和圆 C 总有两个交点; |AB|=2 12-5=2 7, (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 (1)利用圆心到直线的距离可判断直 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数,
线与圆的位置关系,也可利用直线 的方程与圆的方程联立后得到的一 元二次方程的判别式来判断直线与

直线 l 和圆 C 总有两个交点; 圆的位置关系; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 (2)勾股定理是解决有关弦问题的常 短弦长. 用方法.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交, 则 P(a, b)( B ) A.在圆上 C.在圆内 A.相离 C.相交 B.在圆外 D.以上都有可能 ( ) B.相切或相交 D.相切

(2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是

(3)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________.
解析 (1)由 1 2 2 2 2<1,得 a +b >1, a +b

∴点 P 在圆外.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交, 则 P(a, b)( B ) A.在圆上 C.在圆内 A.相离 C.相交 B.在圆外 D.以上都有可能 ( C ) B.相切或相交 D.相切

(2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是

(3)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________.
(2)圆 x2+y2-2y=0 的圆心是(0,1),半径 r=1,

则圆心到直线 l 的距离 d=

|k| 2<1. 1+k

故直线与圆相交.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交, 则 P(a, b)( B ) A.在圆上 C.在圆内 A.相离 C.相交 B.在圆外 D.以上都有可能 ( C ) B.相切或相交 D.相切

(2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是

(3)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直

-13,13). 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是( ________
(3)根据题意知,圆心 O 到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, |c| ∴ <1,∴|c|<13, 122+52
∴c∈(-13,13).

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】 -2)2=4.

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1)2 + (y (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1)2 + (y 在求过某点的圆的切线方程时, 应 -2)2=4. 首先确定点与圆的位置关系, 再求 (1)求过 M 点的圆的切线方程; 直线方程.若点在圆上,则过该点 (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 的切线只有一条;若点在圆外,则 切,求 a 的值. 过该点的切线有两条, 此时应注意 (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 斜率不存在的切线. 在处理直线和 交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 圆相交所得的弦的弦长问题时, 常 为 2 3,求 a 的值.
考虑几何法.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】 -2) =4.
2

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1)2 + (y 解 (1)圆心 C(1,2),半径 r=2,
当直线的斜率不存在时, 方程为 x=3. (1)求过 M 点的圆的切线方程; 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 =3-1=2=r 知, 切,求 a 的值.

此时,直线与圆相切.

当直线的斜率存在时,

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 设方程为 y-1=k(x-3), 交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 即 kx-y+1-3k=0. 为 2 3,求 a 的值.
|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k=4. 2 k +1

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

3 ∴ 圆的切线方程为 y - 1 = (x-3), ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1) + (y 4
2

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值.

即 3x-4y-5=0.
故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)由题意得|a-2+4|=2, 解得 a=0 2 a +1 交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 4 为 2 3,求 a 的值.
或 a= . 3

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1)2 + (y

(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距 -2)2=4. |a+2| 离为 2 , a +1 (1)求过 M 点的圆的切线方程;

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相

|a+2| 2 2 3 2 ∴( 2 ) +( ) =4, 2 a +1 切,求 a 的值. 3 (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 解得 a=-4.

交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 为 2 3,求 a 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】 -2)2=4.

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax - y + 4 = 0 及圆 (x - 1)2 + (y (1)求过某点的圆的切线问题时,应
首先确定点与圆的位置关系,再求 直线方程.若点在圆上(即为切点), 则过该点的切线只有一条;若点在 圆外,则过该点的切线有两条,此 时应注意斜率不存在的切线.

(1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值.

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)求直线被圆所截得的弦长时,通 交于 A, B 两点, 且弦 AB 的长 常考虑由弦心距垂线段作为直角边 为 2 3,求 a 的值.
的直角三角形,利用勾股定理来解 决问题.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准 方程为(x+2)2+(y-6)2=16, ∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4, 设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB,
∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6).

在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2.

设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 2 2 =2, k + ? - 1 ? 3 得 k=4.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.
又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0.
∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.
(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y),
→ → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0,

∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.

题型分类·深度剖析
题型三 圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x +10y- 24=0, C2:x2+y2+ 2x+ 2y -8=0, 则两圆公共弦所在的直线方 程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2 +y2+4x-8y-44=0 公切线的条数 是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线 长相等,则动点 P 的轨迹方程是 ________.

题型分类·深度剖析
题型三 圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x +10y- 24=0, C2:x2+y2+ 2x+ 2y -8=0, 则两圆公共弦所在的直线方 程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2 +y +4x-8y-44=0 公切线的条数 是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线 长相等,则动点 P 的轨迹方程是 ________.
2

求动点的轨迹方程关键是寻 找与动点有关的等量关系, 然 后将等量关系用坐标表示出 来.

题型分类·深度剖析
题型三 圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x +10y- 24=0, C2:x2+y2+ 2x+ 2y -8=0, 则两圆公共弦所在的直线方 程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2 +y2+4x-8y-44=0 公切线的条数 是________. (3)已知⊙O 的方程是 x +y -2=0, ⊙O′的方程是 x +y -8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线 长相等,则动点 P 的轨迹方程是 ________.
2 2 2 2

(1)两圆的方程相减得: x-2y+4=0. (2)两圆圆心距
d= 74< 66+ 64,

∴两圆相交,故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, 设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x=2.

⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,

题型分类·深度剖析
题型三 圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x +10y- 24=0, C2:x2+y2+ 2x+ 2y -8=0, 则两圆公共弦所在的直线方

(1)两圆的方程相减得: x-2y+4=0. (2)两圆圆心距
d= 74< 66+ 64,

x-2y+4=0 . 程是________________
(2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2 +y2+4x-8y-44=0 公切线的条数 是________ . 2 (3)已知⊙O 的方程是 x +y -2=0, ⊙O′的方程是 x +y -8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线 长相等,则动点 P 的轨迹方程是
3 x=2 . ________
2 2 2 2

∴两圆相交,故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, 设点 P 为(x, y), 由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x= . 2

⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,

题型分类·深度剖析
题型三 圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知两圆 C1:x2+y2-2x +10y- 24=0, C2:x2+y2+ 2x+ 2y -8=0, 则两圆公共弦所在的直线方

判断两圆的位置关系时常用几 何法,即利用两圆圆心之间的 距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法.若两圆相 交,则两圆公共弦所在直线的 方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到.

x-2y+4=0 . 程是________________
(2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2 +y2+4x-8y-44=0 公切线的条数 是________ . 2 (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线 长相等,则动点 P 的轨迹方程是
3 x= ________ 2 .

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2

+y2+2x+2y-8=0,则以两圆公共弦为直径的圆的方程是
2 2 ( x + 2) + ( y - 1) =5 . ________________

解析 圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 50,圆 C2 的圆心为(-1, -1),半径为 10,
则两圆心连线的直线方程为 2x+y+3=0,

由两圆方程作差得公共弦方程为 x-2y+4=0, 两直线的交点(-2,1) 即为所求圆的圆心,由垂径定理可以求得半径为 5,

即所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(4 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________.

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温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(4 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________.

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温 馨 提 醒

本题条件 M∩N≠?反映了两个集合所表示的曲线之间的关系,即 半圆与圆之间的关系,因此可以直接利用数形结合的思想求解.

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(4 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= 2-2 2 2+2 、2 a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________ ________.

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温 馨 提 醒

因为集合 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},

所以集合 M 表示以 O(0,0)为圆心,半径为 r1= 2a 的上半圆.
同理,集合 N 表示以 O′(1, 3)为圆心,半径为 r2=a 的圆上 的点.

这两个圆的半径随着 a 的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示, 当两圆外切时,由 2a+a=2,得 a=2 2-2;
当两圆内切时,由 2a-a=2,得 a=2 2+2.

所以 a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题 典例:(4 分)设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2= 2-2 2 2+2 、2 a2,a>0},则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________ ________.

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温 馨 提 醒

本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识,考查考生综合运 用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简 捷,在求解时要注意对 M∩N≠?的意义的理解,若题中未指明集合非 空时, 要考虑到空集的可能性, 例如 A?B, 则 A=?或 A≠?两种可能, 应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好 地结合起来.

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(4 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(4 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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求解本题应先画出点 P 所在的平面区域,再画出点 Q 所在的圆, 最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值 问题,即可求出|PQ|的最小值.

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高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(4 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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上,

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?2x-y+2≥0, ? 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ?
画出点 Q 所在的圆,如图所示.

画出点 P 所在的平面区域. 由点 Q 在圆 x2+(y+2)2=1 上,

由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1.

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二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(4 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________ 5-1 . 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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|0-2×?-2?+1| 又圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离为 = 5,此时 2 2 1 +2 垂足(-1,0)在满足条件的平面区域内,

故|PQ|的最小值为 5-1.

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二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(4 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

5-1 . =1 上,那么|PQ|的最小值为________

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本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识,并考查考生综合应用知识 解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起 来,为我们展现了数学知识相互交汇的新天地,求解时既要注意使用线性规 划的基本思想,又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提 升,即利用线性或非线性函数的几何意义,通过作图来解决最值问题.

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三、圆与不等式的交汇问题 典例:(4 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

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三、圆与不等式的交汇问题 典例:(4 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

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圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质, 即圆内点、 圆外点 的性质,直线与圆相交、相离的性质,圆与圆的相交、相离的性质 等,这些问题反映在代数上就是不等式的形式.

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三、圆与不等式的交汇问题 典例:(4 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

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|m+n| 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 =1, ?m+1?2+?n+1?2
1 所以 m+n+1=mn≤4(m+n)2,

所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2.

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高频小考点7 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(4 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

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直线与圆位置关系的考查,一般是已知位置关系求参数值,基本不等式的 考查一般是给出参数关系,利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直 线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系,利用基本不等式转化,结合 换元法把关系转化为一元二次不等式, 从而求得 m+n 的取值范围, 这一交 汇命题新颖独特,考查知识全面,难度中等,需要注意各知识应熟练掌握 才能逐一化解.

思想方法·感悟提高
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为 1 -k ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则 由图形写出切线方程 x=x0. 2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx -y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出 切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆 方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k, 切线方程即可求出.

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高
3.两圆公共弦所在直线方程的求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就 得到两圆的公共弦所在的直线方程.
4.圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则 ? l ?2 ? ? =r2-d2. ?2? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, ? ?y=kx+b, 解方程组? 消 y 后得关于 x 的一 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r , 元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦长为 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率).

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高

1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心

失 误 与 防 范

与弦中点连线与弦垂直的性质, 可以用勾股定理或斜 率之积为-1 列方程来简化运算.

2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点 作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考 虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情 况,以防漏解.


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