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高中数学课件 选修2-3:第二章 随机变量及其分布 3.1《离散型随机变量的均值应用》课时2


2.3.1 离散型随机变 量的均值应用

通过解决实际问题中的离散型随机变 量期望问题,感悟数学与生活的和谐之 美,体现数学的文化功能与人文价值.

以知识回顾引入课题,通过一.投篮次数问题、二 . 安全生产问题、三 . 保险公司收益问题、四 . 商场促 销问题、五.比赛得分问题、六.摸彩中奖问题创设情 境激发学生学习数学的兴趣.

/>
引导学生分析问题、解决问题,培养学生归纳、概
括等合情推理能力,再通过实际应用,培养学生把实 际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的意识,培 养其严谨治学的态度.

1.一般地,设离散型随机变量ξ的概率分布为:

ξ P

x1 P1

x2 P2

… …

xi Pi

… …

则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xipi+…为ξ 的数学期望,简 称 期望 .它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . 2.期望的性质: (1).若ξ 是随机变量,η =aξ +b,

则E(aξ +b)= aEξ +b .
(2).若ξ ~B(n,p),则Eξ = np .

一.投篮次数问题

姚明的投篮命中率为0.8,假设他每次命中率相
同,他在某次训练中连续投篮,直到进球为止,则他

的平均投篮次数是多少?

二.安全生产问题 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查 (简称安检).若安检不合格,则必须整改.若整改后经 复查仍不合格 , 则强行关闭 . 设每家煤矿安检是否合 格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率 是0.5.则
平均有多少家煤矿必须整改? 解:由题设,必须整改的煤矿数 ? ? B(5,0.5) 从而 ? 的数学期望是 E? ? 5 ? 0.5 ? 2.5

答:平均有2.5家煤矿必须整改.

三.保险公司收益问题 例 . 目前由于各种原因 , 许多人选择租车代步 , 租车行 业生意十分兴隆,但由于租车者以新手居多,车辆受损 事故频频发生 . 据统计 , 一年中一辆车受损的概率为 0.03.现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年 的保险费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司 需赔偿3000元,求保险公司收益的期望. 一年内保险公司收益
?
P 1000 0.97

?

的分布列:
-2000 0.03

两点分布

四.商场促销问题 假如你是一位商场经理 ,在十一那天想举行促销 活动,根据统计资料显示:

(1).若在商场内举行促销活动,可获利2万元
(2).若在商场外举行促销活动, 则要看天气情况: 不下雨可获利10万元,下雨则要损失4万元.气象台预 报十一那天有雨的概率是40%, 你应选择哪种促销方式?

商场促销问题 解:设商场在商场外的促销活动中获得经济 效益为 ? 万元,则 ? 的分布列为:
?
P 10 0.6 -4 0.4

E ? =10×0.6+(-4)×0.4=4.4万元 >2万元, 故应选择在商场外搞促销活动.

变式1:若下雨的概率为0.6呢?
变式2:下雨的概率为多少时,在商场内、外搞 促 销没有区别.

五.比赛得分问题

对阵队员 A队队员胜的概率 B队队员胜的概率
1 2 A1对B1 3 3 3 2 A 2 对B 2 5 5 3 2 A 3 对B 3 5 5 现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0 分.设A队最后所得总分为 ? ,求A队最后所得总分的 期望.

解:?的取值可为:? ? 0, 1 , 2, 3,
1 3 3 3 P( ? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25

2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 3 5 5 3 5 5

2 2 3 2 2 1 2 2 3 28 P( ? ? 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 5 5 3 3 5 5 75
2 2 2 8 P(? ? 3) ? ? ? ? 3 5 5 75

22 E? ? 15

六.摸彩中奖问题

一个布袋内装有6个红球与6个黄球,除颜色不同 外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 6个全红 赢得100元 5红1黄 赢得50元 4红2黄 赢得20元 3红3黄 输100元 2红4黄 赢得20元 1红5黄 赢得50元 6个全黄 赢得100元 其中只有一种情况输,而对于其它六种情况你均 能赢得相应的钱数,而不用花其它的钱。 摸奖人赢钱的期望有多大?

解: 设ξ 为赢得的钱数,则ξ 的分布列如下:
ξ p 100
6 2C 16 6 C 12 462

50
5 1 2C6 6C6 6 77 C 12

20
4 2 2C 75 6 C6 6 C12 154

-100
3 3 C100 6 C6 6 C 231 12

6800 ? E? ? ? ? ?29.34 231
所以每摸一次,平均输掉29.34元 说明: 事实上,任何赌博、彩票都是不公平的,否则赌场 的巨额开销和业主的高额利润从何而来? 在我国,彩票 发行只有当收益主要用于公益事业时才允许.

如图,广州到北京之间有 6条不同的网络线路并联 ,它们能通 过的最大信息量分别为 1、1、2、2、3、4.现从中任取三条 网线且使每条网线通过最大信息量 ,三条网线可通过的信息 总量即为三条网线各自的最大信息量之和. (1)求选取的三条网线可通过信息总量ξ 的数学期望; (2)当ξ ≥6时,则保证信息畅通,求 线路信息畅通的概率; (3) 2008 年北京奥运会 , 为保证广州 网络在 ξ ≥6 时信息畅通的概率超过 85%,需要增加一条网线且最大信息量 不低于3,问增加的这条网线的最大信 息量最少应为多少? 广 州 1 1 2 2 3 4 北 京

解: ξ 的分布列为
ξ

4
1 C 22 3 C 20 6

5

6

7

8

9

P

1 1 1 1 1 1 1 C2 C C ? 1 C 3? 1 C2 3 52 ? 1 C2 2 C ? 1 5 2 2 2 3 3 3 3 3 C C C 20 20 C 20 20 C 20 6 6 6 6 6

2 3 5 5 3 2 (1) E? ? 4 ? ? 5? ? 6? ? 7? ? 8? ? 9? 20 20 20 20 20 20 13 ? 2 3 (2) P?? ? 6 ? ? 1 ? P?? ? 4 ? ? P?? ? 5? ? 4

(3) 2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ ≥6 时信息畅通的概率超过85%,需要增加一条网线且 最大信息量不低于3,问增加的这条网线的最大信 1 息量最少应为多少?
(3)设这条新增网线的最大 信息量为a, (a ? 3) 不畅通的概率应低于 15% 当a ? 3时,
广 州 1 2 北


1 1 1 C C ? C 6 ' ' 2 2 2 P ?? ? 4? ? P ?? ? 5? ? 3 ? ? ? 15% 不可以 3 C7 C7 35

2 3 4

当a ? 4时,
1 1 C C 5 ' ' 2 2 ?1 P ?? ? 4? ? P ?? ? 5? ? 3 ? ? ? 15% 3 C7 C7 35

可以

? 最少应为4.


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