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山东省实验中学高三第三次诊断性测试 理科数学


山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试 数学试题(理科) (2012.12)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共两卷。其中第Ⅰ卷为 第 1 页至第 2 页,共 60 分;第Ⅱ卷为第 3 页至第 6 页,共 90 分;两卷合计 150 分。考试时 间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题

/>
共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。

“ ”“ 1、设 M ? {1,2} N ? {a 2} ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( ,
A.充分不必要条件 件 【答案】A B.必要不充分条件

) D.既不充分又不必要条

C.充要条件

“ ” “ 【解析】若 N ? M ” ,则有 a ? 1 或 a ? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ? 2 ,所以 a ? 1 是
2 2

“N ? M ” 充分不必要条件,选 A.
2、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( ) D. f ( x) ? ? tan x

1 A. f ( x) ? x
【答案】C 【 解 析 】 f ( x) ?

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

1 在 定 义 域 上 是 奇 函 数 , 但 不 单 调 。 f ( x) ? ? x 为 非 奇 非 偶 函 数 。 x

f ( x) ? ? t anx 在定义域上是奇函数,但不单调。所以选 C.
3.若 tan( A.2 【答案】D

?
4

? ? ) ? 3 ,则 cot ? 等于(
B. ?

) C.

1 2

1 2

D.-2

【解析】 tan( 由

?

4 1 cot ? ? ? ?2 tan ? 所以 选 D.

tan ? ? tan[ ? ( ? ? )] ? 4 4 ? ? ) ? 3 得,

?

?

tan

? tan( ? ? ) 1? 3 1 4 4 ? ?? ? 1? 3 2, 1 ? tan( ? ? ) 4

?

?

4.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有( A.0 个 B.1 个

) C.2 个
-1-

D.3 个

【答案】B 【解析】由 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 0 得

ln x ?

1 1 y ? ln x, y ? x ? 1 ,做出函数 x ? 1 的图象,如图

由图象中可知交点个数为 1 个,即函数的零点个数为 1 个,选 B. 5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 【答案】A B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3 )

【解析】 因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a , 所以 ?(a ? 2) ? 0 , 所以 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 1 3 1 x? ?a且 ? ?2 ,解得 ,因为两直线平行,所以 a?2 a?2 a?2 a?2

a ? ?1 或 a ? 3 ,选 A.

( 6.设命题 p :曲线 y ? e ? x 在点 ? 1,e) 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : a, b 是任意实
数,若 a ? b ,则

1 1 ? ,则( ) a ?1 b ?1 A.“ p 或 q ”为真 B.“ p 且 q ”为真
?x ?x

C. p 假 q 真

D. p , q 均为假命题

【答案】A

e 【解析】y ' ? (e )' ? ?e , 所以切线斜率为 ?e , 切线方程为 y ? e ? ?e( x ? 1) , y ? ?x , 即
所以 P 为真。当 a ? 0, b ? ?2 时,

1 1 1 1 1 ? 1, ? ? ?1 ,此时 ? ,所以命 a ?1 b ? 1 ?2 ? 1 a ?1 b ?1


题 q 为假。所以“ p 或 q ”为真,选 A. 7.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? sin x ,则 f ' ( x) 的大致图象是( 2

-2-

【答案】B 【 解 析 】 f '( x) ? x ? cos x , 所 以 f ' ( x ?) ?x

c o xs 奇 非 偶 , 排 除 A,C. 非

f '( ) ? ? cos ? ( , ) 2 2 2 2 ,即过点 2 2 ,选 B.
8.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2013,其前 n 项和为 Sn ,若 ( ) A.-2012 【答案】B 【 解 析 B.-2013 C.2012

?

?

?

?

? ?

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于 12 10

D.2013



S12 ? 12a1 ?

12 ?11 d 2



S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d 2







12 ?11 d S S S 9 S12 11 2 ? ? a1 ? d , 10 ? a1 ? d , 所 以 12 ? 10 ? d ? 2 , 所 以 10 2 12 10 12 12 2 2013 ? 2012 S2013 ? 2013a1 ? d ? 2013(?2013 ? 2012) ? ?2013 ,选 B. 2 12a1 ?
9.已知 P(x,y)是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两 条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.3 【答案】D
2 2 【解析】由圆的方程得 x ? ( y ?1) ? 1 ,所以圆心为 (0,1) ,半径为 r ? 1 ,四边形的面积



B.

21 2

C. 2 2

D.2

S ? 2S? PBC , 所 以 若 四 边 形 PACB 的 最 小 面 积 是 2 , 所 以 S? PBC 的 最 小 值 为 1 , 而
S ? P B C? 1 r P B, 即 PB 的最 小值为 2, 此时 PC 最 小为 圆心 到直线 的距 离,此时 2

d?

5 k ?1
2

? 12 ? 22 ? 5 , 即 k 2 ? 4 , 因 为 k ? 0 , 所 以 k ? 2 , 选

-3-

D. 10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数。若

a1 ? d , b1 ? d 2 , 且
A.

a12 ? a2 2 ? a32 是正整数,则 q 的值可以是( b1 ? b2 ? b3
1 7
C.



1 7

B.-

1 2

D.-

1 2

【答案】C 【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d ,b2 ? b1q ? d 2q, b3 ? b1q2 ? d 2q2 ,所 以
2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 a ? a2 ? a3 ,因为 1 是正整数,所以令 ? 2 ? b1 ? b2 ? b3 d ? d 2q ? d 2q 2 1 ? q ? q 2 b1 ? b2 ? b3

t t 14 2 2 ?0 , 解 得 , 即 q ? q ?1? ? t , t 为 正 整 数 。 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q

?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2

14 14 56 ) ?1 ? 1 ? 4(1 ? ) ?1 ? ?3 ? t ? t ? t ,因为 为正整数,所以当 t 2 2

t ? 8 时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 ? ? 。符合题意,选 C. 2 2 2

11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) ,则

f (1) 的最小值为( f ' (0)
A.3 【答案】C B.



5 2

C.2

D.

3 2

【解析】 f '( x ) ? 2ax? b, f '(0) ? b ? 0 ,函数 f (x) 的值域为 [0,??) ,所以 a ? 0 ,且

-4-

4ac ? b 2 ? 0 , 即 4ac ? b2 , , 所 以 c ? 0 。 所 以 f ( 1?) a ? b ? , 所 以 c 4a

f (1) a ? b ? c a?c 2 ac 4ac ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 ,所以最小值为 2,选 C. f '(0) b b b b
12.已知椭圆

x2 y 2 ( ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在 a 2 b2


点P使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为( ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1
B.(

A.(0, 2 ? 1 ) 【答案】D 【解析】 根据正弦定理得

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

PF2 sin ?PF1F2

?

PF1 sin ?PF2 F1


, 所以由

a c 可得 ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1

a c ? PF2 PF1





PF1 PF2
2

?

c ?e a





PF1 ? e PF2



又 ,

F ? c ? ePF2 ? a ? c a a (不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2a ? a ? c ,即 e ?1 P
1

? F

? F 2P

? e

P (

2

? 1 F

, PF ? 2a , 即 因为 2

)2P ? F e ? 1 P 2 ?

?1 ? e 2 ? 2 ?(1 ? e)(1 ? e) ? 2 ? c 2 c ,所以 2 ,即 ? ,所以 ? ,解 1? ? ? 1? 1? e ? ? 1? e 2 2 ? (1 ? e) ? 2 ? 1? e a e ?1 a e ?1 ? ?
得 2 ?1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ?1,1) ,选 D.

第Ⅱ卷(非选择题
题号 分数 二 17 18 19

90 分)
20 21 22 总分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m = 2 2 m

.

【答案】

3 2
2 2 2 2 2

【解析】因为焦点在 x 轴上。所以 0 ? m ? 2 ,所以 a ? 2, b ? m, c ? a ? b ? 2 ? m 。椭

-5-

圆的离心率为 e ?

1 3 1 c2 2 ? m 2 ,所以 e ? ? 2 ? ,解得 m ? 。 2 2 4 a 2

14.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围 是 【答案】 (0, )
x x 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数

.

1 2

y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。
当 0 ? a ? 1 时 , 0 ? 2a ? 2 , 要 使 两 个函 数的 图 象 有两 个 公 共点 ,则 有 0 ? 2a ? 1 ,即

0?a?

1 1 2 ,所以 a 的取值范围是 (0, ) 。 2

15. 若 不 等 式 组 ? 围 【答案】 [?3, 2) .

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 的 解 集 中 所 含 整 数 解 只 有 -2 , 求 k 的 取 值 范 ?2 x 2 ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 ?

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ? x ? 2或x ? ?1 【解析】由 ? 得? 要使解集中只有一个整数 ?2 , 2 ?2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 ?( x ? k )(2 x ? 5) ? 0 ?
则由

( x ? k ) ( 2 ? 5? x )

可知,不等式

0

( x ? k ) ( 2 ? 5? x )

的解为 ?

0

5 ? x ? ?k , 且 2

?2 ? ?k ? 3 ,即 ?3 ? k ? 2 ,所以 k 的取值范围是 [?3, 2) 。

-6-

?x ? 0 ? 16.当实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ( a 为常数)时 z ? x ? 3 y 有最大值为 12,则 ?2 x ? 2 y ? a ? 0 ?
实数 a 的值为 【答案】-12 .

【解析】 z ? x ? 3 y 的最大值为 12,即 x ? 3 y ? 12

,由图

? x ? 3 y ? 12 ?x ? 3 ? ? 象可知直线 2 x ? 2 y ? a ? 0 也经过点 B.由 ? y ? x ,解得 ? y ? 3 ,即点 B(3,3) ,代入直
线 2 x ? 2 y ? a ? 0 得 a ? ?12 。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 得分 评卷人 17.(本小题满分 12 分)记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ( x) ? 0 的解 集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

得分

评卷人

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对的 边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。 (1)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

-7-

得分

评卷人 19.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;

3 , ] 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f (x) 的解析式; 2 6 3 ? (Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f (x) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的 2 12 1 ? 倍,再向下平移 ,得到函数 g (x) ,求 g (x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ? 所围成图形 2 2
(Ⅱ)当 x ? [ ? 的面积。

? ?

得分

评卷人

20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 单 调 递 增 的 等 比 数 列 {an } 满 足 :

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小
2

值。

-8-

得分

评卷人

21.(本小题满分 12 分)已知长方形 ABCD, AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB 的

中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy. (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为 直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

22. ( 本 小 题 满 分 得分 评卷人

14

分 ) 已 知 函 数

f (x) 的 导 数

f ' ( x) ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数,1 ? a ? 2 .
(Ⅰ)若 f (x) 在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求 a、 b 的值;

) (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2,1 且与曲线 f (x) 相切的直线 l 的方程;
(Ⅲ)设函数 F ( x) ? [ f ' ( x) ? 6x ? 1] ? e2 x ,试判断函数 F (x) 的极值点个数。

-9-

实验中学三诊数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 8 B 16.-12

2012.2 9 D 10 C 11 C 12 D

二、填空题:13.

3 1 ;14. 0 ? a ? ;15. [?3,2); 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 18.解: (Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ????????2 分 又 a ? 2c ,可得 b ?

3 c, 2

??????????4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,????????6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? , ????????8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 , S ?ABC ? bc sin A , 4 2 1 1 3 15 3 15 ,????????????10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4
??????????12 分

所以 S ?ABC ?

得 c2 ? 4,即c ? 2, b ? 3 . 19.解(Ⅰ) f ( x) ? ∴T ? ? . 由

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分)

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? ,得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3

- 10 -

2? ? k? ]( k ? Z ) . (6 分) 6 3 ? ? ? ? 5? 1 ? .? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . (2) Q ? ? x ? ,? ? ? 2 x ? ? 6 3 6 6 6 2 6
故函数 f (x) 的单调递减区间是 [

?

? k? ,

当 x ? ??

1 1 1 3 ? ? ?? ( , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 2 2 2 2 ? 6 3?
(8 分) (10 分) (12 分)

? 1 ? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 6 2
(3)由题意知 g ( x) ? sin x

?

?
2

0

sin xdx ? ? cos x | 2 =1
0

?

20、解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q, 依题意,有 (a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 2 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,? a2 ? a4 ? 20 ??????????2 分

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 20 ?q ? 解之得 ? ??????????4 分 ?? 或? 2 ?a3 ? a1q 2 ? 8 ?a1 ? ?a1 ? 32 ? ?
又 ?an ? 单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2n
n n n

????????????6 分

(Ⅱ) bn ? 2 ? log 1 2 ? ? n ? 2 ,????????????7 分
2

??sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

① ②

??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n2n?1

? ① - ② 得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2

10 分

?sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,? 2
又 当n ? 4时, 2 当 n ? 5 时, 2 12 分
n?1

n?1

? 2 ? 50,? 2n?1 ? 52

? 25 ? 32 ? 52 , ??????????11 分
? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50,成立的正整数 n 的最小值为 5. ?

n?1

21.解: (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2,, 2,, 2, . 0) ( 0) ( 1 )

- 11 -

设椭圆的标准方程是 则

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2

2a ? AC ? BC ? ( 2 ? (? 2 )) 2 ? (1 ? 0) 2 ? ( 2 ? 2 ) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2
2分

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .

x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 ? ? 1 . ????????4 分 4 2
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0) .??5 分 设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) . 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??????7 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,????8 分 所以, x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 即 1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ( 所以,

4(1 ? k 2 ) 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
????????9 分



8 ? 4k 2 ?0, 1 ? 2k 2

得 k 2 ? 2, k ? ? 2 .

????????10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .??????11 分 所在存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。???? 12 分

- 12 -

22.解: (Ⅰ)由已知得, f ( x ) ? x ?
3

3 2 ax ? b ,????????1 分 2

由 f ' ( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? a .

Q x ?[?1,1],1 ? a ? 2 ,当 x ?[?1,0) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增;
当 x ? (0,1] 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 递减.

? f (x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ? b,? b ? 1 .??????3 分
3 3 3 3 a ? 1 ? 2 ? a, f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a,? f (?1) ? f (1) . 2 2 2 2 3 4 4 由题意得 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? , 故a ? , b ? 1 为所求。 ??????5 分 2 3 3
又 f (1) ? 1 ? (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1, f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ,点 P(2,1)在曲线 f (x) 上。 (1)当切点为 P(2,1)时,切线 l 的斜率 k ? f ' ( x) x?2 ? 4 ,

? l 的方程为 y ?1 ? 4( x ? 2),即4 x ? y ? 7 ? 0 .??????6 分
(2)当 切 点 P 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 Q( x0 , y0 )(x0 ? 2), 切 线 l 的 余 率
2 k ? f ' ( x) x? x0 ? 3x0 ? 4 x0 ,

2 ? l 的 方 程 为 y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(x ? x0 ) 。 又 点 P ( 2 , 1 ) 在 l 上 , 2 ?1? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 3 2 2 2 2 ?1 ? ( x0 ? 2x0 ?1) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ),? x0 (2 ? x0 ) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 ? x0 ? 3x0 ? 4x0 ,即2x0 ( x0 ? 2) ? 0,? x0 ? 0 .? 切线 l 的方程为 y ? 1 .

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .??????????????8 分 (Ⅲ)解: F ( x) ? (3x2 ? 3ax ? 6x ?1) ? e2 x ? [3x2 ? 3(a ? 2) x ? 1] ? e2 x .

? F ' ( x) ? [6x ? 3(a ? 2)]? e2 x ? 2[3x2 ? 3(a ? 2) x ?1] ? e2 x . ? [6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x . ????????10 分
二次函数 y ? 6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为

? ? 36(a ? 3)2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a2 ?12a ?11) ? 12[3(a ? 2)2 ?1],令? ? 0 得:

- 13 -

1 3 3 3 3 .令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ? ,或 a ? 2 ? 。 (a ? 2) 2 ? ,2 ? ? a ? 2? 3 3 3 3 3

?e2 x ? 0,1 ? a ? 2 ,
?当2 ?
12 分 当1 ? a ? 2 ?

3 ? a ? 2 时, F ' ( x) ? 0 ,函数 F (x) 为单调递增,极值点个数 0; ?????? 3

3 时,此时方程 F ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义, 3

可知函数 F (x) 有两个极值点. ??????????????14 分

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