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零点存在性定理


3.1.1方程的根 与函数的零点

3.1.1方程的根 与函数的零点

约公元50-100年前编 成的《九章算术》给出 了一次方程、二次方程 和正系数三次方程的求 根方法 13世纪,南宋数学家秦 九韶给出了求任意次代 数方程的正根的解法

阿拉伯数学家花拉子米 的《还原与对消计算概 要》第一次给出了一元 二次程的一

般解法,并 用几何方法对这一解法 给出了证明 19世纪挪威数学家阿 贝尔证明了五次及五 次以上一般方程没有 求根公式

(一)设问激疑,创设情景

问题1

下列方程有实数根吗.

(1)3x + 2 = 0; (2) 2-2x-3=0; x (3)ln x + 2x - 6 = 0.

(二)启发引导,形成概念

问题2:填表,同时思考下列二次函数的图象与x轴交点
和相应方程的根有何关系?
方程

函数 函 数 的 图 象
方程的实数根

x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
y
2 1

x2-2x-3=0

y y
2 2

5 4
3 2 1
-1

-1 0 -11
-3 -4 -2

3

x
-1

1

0

12

x

0

1 2

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1 (1,0)

无实数根

函数的图象 与x轴的交点

无交点

(二)启发引导,形成概念

问题3:若将上面特殊的一元二次方程推广到一般
的一元二次方程,上述结论是否仍然成立?
判别式 △ =b2-4ac 方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根 △>0
两个不相等 的实数根x1 、x2
y y

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2

△<0
没有实数根
y

函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象

x1

0

x2

x
0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

(二)启发引导,形成概念

函数零点
注:1.函数的零点是一个数不是一个点

举例:学过的函 数中哪些有零点

对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. 2. 从数的角度理解就是方程f(x)=0的实数根,

从形的角度理解就是函数y=f(x)的图象与x轴 的交点的
横坐标.

函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 方程f(x)=0有实数根

(三)初步运用,示例练习
练习 1、函数f (x)=x(x2-16)的零点为( D ) A. (0,0), (4,0) B. 0, 4 C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4 注意:零点是一个数,而不是一个点. 2、求下列函数的零点: (1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=2x-8

求函数零点的方法:

-1, 4

3

(1) 方程法:解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 (2) 图象法:画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交点 的横坐标是函数y= f (x)的零点

(四)讨论探究,揭示定理

生活实例一
观察下列两组画面, 并推断哪一组能说明人的行程 一定曾渡过河? A

A

B

(四)讨论探究,揭示定理

生活实例二
观察温度变化图象,根据该图象片段,推断哪 一个图像最有可能使某时刻的温度为0℃?

y

8
0
x

B
20
x A

y

0

20

A -4

-4

B

问题:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点?
y

a O b

c d x

观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(“<”或 < 有 “>”). 在区间(a,b)上______(有/无)零点; < 有 ② 在区间(b,c)上f(b)· _____ 0(“<”或 f(c) “>”). < 有 在区间(b,c)上______(有/无)零点; ③ 在区间(c,d)上f(c)· _____ 0(“<”或” f(d)

零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 【注意】 (1)图像是连续不断的曲线

(2) f (a) ? f (b) ? 0

辨析1:若函数y=f(x)在区间[a,b]上不连续,但f(a)·f(b)<0,则
(不一定) f(x)在区间(a,b)内一定没有零点么?
c1 c2 b

b x a x

a

辨析2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,但f(a)·f(b)>0,则f(x)
(不一定) 在区间(a,b)内一定没有零点么?
c1 c2

b b x a

a

x

辨析3:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)
在区间(a,b)内一定只有一个零点么? (不一定,有几个零点不确定) b b x

a

a

x

思考:增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? (单调)
推论:在零点存在的条件下,如果函数在[a , b]上单调,函数 f(x)在区间(a , b)上可存在唯一零点。

辨析4:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定能够得出f(x)
在[a,b]上连续,或者一定有f(a)·f(b)<0么? (不一定)
c1 c2 b c1 c2

a

x

a

b

x

结论:函数零点存在性定理不可逆的。

(五)知识应用,尝试练习
练习 1、已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:

X

1

2

3

4

5

6

f(x) 23

9

-7

11

-5

-12

问:那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个,哪些区 间上一定存在零点 答案:至少有3个零点,分别在区间(2, 3)(3,4)(4,5)上 2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为( ) A. ( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)

例 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定零 点所在的区间[n,n+1](n∈Z)
解: 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -4 -1.3 1.1
y
10 8 f(x)=lnx+2x- 6 6 4 2 x

9

3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2

由表和图可知f(2)<0,f(3)>0,从而
f(2)· f(3)<0, 又f(x)在区间[2,3]上连续 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点.

问题: 如何说明零点的唯一性?

O 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, -2 1 2 3 4 5 6 所以函数f(x)在区间(2,3)内仅有一个零点. -4



求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定零 点所在的区间[n,n+1](n∈Z)

解法2: 数形结合
lnx+2x-6=0的根

? ?

lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
6

y

y= lnx
O 1234

x

y=-2x +6

(六)反思小结,培养能力
※一个定义: ※一个定理: 函数的零点 零点存在性定理

①根、交点、零点之间的关系
※三个结论: ②对零点存在性定理的理解

③零点唯一存在的条件

※三种题型:求函数零点、确定零点个数、判断零点所在区间。

※三种方法: 方程法 图像法 定理法
※三个数学思想方法:函数与方程,数形结合,转化

(七)课后作业,自主学习
1.教材 92 页习题 3.1(A 组)第 2 题; 2 2.求函数 f ( x) = ln x - 的零点个数, x 并指出其零点所在的大致区间.

必做题

函数f(x)=lnx+2x-6在区间内有零点, 思考题 你能想到办法求出这个零点吗?


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