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4.5 反函数的概念


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4.5 反函数的概念 反函数的概念 对于函数 y ? f ? x ? ,设它的定义域为 D ,值域为 A ,若对于每一个 y ? A 都有唯一确定 的 x ? D 满足 y ? f ? x ? ,则这样的对应也构成一个函数,称为原函数 y ? f ? x ? 的反函数,记 作 x ? f ?1 ? y ? .在习惯上,自变量常用 x 表示,而因变量用 y 表示,所以把它改写为

y ? f ?1 ? x ?? x ? A? .
反函数的性质 (1)原函数 y ? f ? x ? 与其反函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称. (2)原函数 y ? f ? x ? 的定义域和值域分别是其反函数 y ? f ?1 ? x ? 的值域和定义域. (3)奇函数的反函数仍是奇函数,偶函数没有反函数. (4)互为反函数的两个函数具有相同的单调性. 例 1:求下列函数的定义域 (1) y ? x ? 1 ?

? x ? 1? ; lg ? 2 ? x ?
0

(2)已知函数 y ? f 2x 的定义域是 ?1, 2? ,求 y ? f ? log 2 x ? 的定义域.

? ?

例 2:求下列函数的解析式 (1)已知 f

?

x ? 1 ? x ? 1 ,求 f ? x ? ;

?

?3? (2)设 f ? x ? ? x ? f ? ? ? 1? x ? 0, x ? R ? ,求 f ? x ? . ? x?

1

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例 3:某单位用木料制作如图 2-1 所示的框架,框架的下部是边长分别为 x 、 y (单位: m ) 的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积 8 cm2 .问 x 、 y 分别为多 少(精确到 0.001 m )时用料最省?

例 4:求下列函数的反函数

?? x2 ? 1? x ? 0? ? (1) f ? x ? ? ? ?2 x ? 2 ? x ? 0 ? ?
(2) f ? x ? ?

2x ? 3 ( x ? R且x ? 1) x ?1

例 5: (1)已知 f ? x ? ? 的值.

ax ? b 2x ? 5 ( a 、 b 、 c 是常数)的反函数是 f ?1 ? x ? ? ,求 a ? b ? c x?c x?3

(2) 设点 P ? ?1, ?2 ? 既在函数 f ? x ? ? ax2 ? b ? x ? 0? 的图象上, 又在其反函数的图象上, 求 f ?1 ? x ? .

2

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【当堂训练】 1.1:已知 f ? x ? ? log 2?
x ?3?

? 1 ,求 f ?1 ? x ?

(对数函数形式)

1.2:已知 f ? x ? ? ln ?

2 x ?1?

? 3 ,求 f ?1 ? x ?

2.1:已知 f ? x ? ? 2

x?2

?1 求 f ?1 ? x ?

(指数函数形式)

2.2:已知 f ? x ? ?

1? 2

x ? 3?

? 2 ,求 f ?1 ? x ?

3.1:已知 f ? x ? ? 1 ? ? x ? 1?

2

? 0 ? x ? 1? ,求 f ?1 ? x ?

(根式形式)

3.2:已知 f ? x ? ? ? 1 ? x

2

? ?1 ? x ? 0 ? ,求 f ?1 ? x ?

4.1:求 y ?

x ?1 ? 1? ? x ? R且x ? ? 的反函数 2x ?1 ? 2?

(分式形式)

3

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4.2 求 y ?

2x ?1 ? x ? 2 ? 的反函数 x?2

5.1 已知 f ? x ?1? ? x 2 ? 2x ?1 x ? ?1,2 ? ,求 f ? x ? 的反函数

(二次函数形式)

5.2:已知函数 f ? x ? ? x ? 6 ?1 ? x ? 3? ,求 f
2

?1

? x ?1?

? x2 ? 6.1 求 y ? ? 1 ?? x ? 2

? x ? 0? ? x ? 0?
的反函数 (分段函数形式)

? x2 ? 1 ? 6.2:已知 f ? x ? ? ? x ? ? x ?1

x ?1 x ?1

在x ? 1 处连续,求 f ?1 ? x ?

7.1 已知 f ? x ? ?

2 ? 2? x ? ?1? , 求f ?1 ? ? ? 的值 2 ? 1? x ? 3?

4

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7.2 已知 f ?

? x ? 2x ? 3 ?x? ,求 f ?1 ? ? ?? x ?3? ?3?

8.1 已知 f ? x ? ? a x ? k 的图像过点 ?1,3? , 其反函数 y ? f ?1 ? x ? 的图像过 ? 2, 0 ? 点, f ? x ? 求 的表达式。

8.2 已知 f ? x ? ? 2 ? b 的反函数为 y ? f
x

?1

? x? ,若 y ? f ?1 ?x ? 的图像经过点 Q ?5,2? ,求

b 的值。

9.1 已知函数 f ? x ? ?

2x ?1 ? 1 ? ? a ? , x ? a ? 的图像关于直线 y ? x 对称,求 a 的值 x?a ? 2 ?

9.2 已知函数 f ? x ? ?

x?2 ? x ? a ? 图像关于直线 y ? x 对称,求 a 的值 x?a

5

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【家庭作业】 一、填空题

?2? x , x ? ? ??,1? 1 ? 1、设函数 f ? x ? ? ? ,则满足 f ? x ? ? 的 x 值为 4 ?log81 x, x ? ?1, ?? ? ?
2、函数 f ? x ? ?
lg ? 4 ? x ? x?3



的定义域为

. . . .

3、 (1)函数 f ? x ? ? log4 ? x ? 1? 的反函数 f ?1 ? x ? ? (2)函数 f ? x ? ?

x 的反函数 f ?1 ? x ? ? x ?1

4、 (1)若函数 f ? x ? ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的反函数的图象过点 ? 2, ?1? ,则 a ? (2)若函数 f ? x ? 的反函数为 f ?1 ? x ? ? x2 ? x ? 0? ,则 f ? 4 ? ? .

(3)对任意不等于 1 的正数 a ,函数 f ? x ? ? loga ( x ? 3) 的反函数的图象都经过点 P ,则点 P 的坐标是 .

(4)已知函数 y ? f ? x ? 在 R 上存在反函数,若 y ? f ? x ? 的反函数过点 ?1,0 ? ,则函数
y ? f ? x ? 4? 的反函数图象必过点



5、一块边长为 10 cm 的正方形铁片按图 2-2-1 所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全 等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器(如图 2-2-2) ,则容器的容积 V 与 x 的函数关 系式是 .

6、已知函数 y ? f ? x ? (定义域为 D ,值域为 A )有反函数 y ? f ?1 ? x ? ,则方程 f ? x ? ? 0 有 解 x ? a ,且 f ? x ? ? x ? x ? D ? 的充要条件是 y ? f ?1 ? x ? 满足 二、选择题 7、在下列四组函数中, f ? x ? 与 g ? x ? 表示同一函数的是( (A) f ? x ? ? x ? 1 , g ? x ? ? ) .

图 2-2-1

图 2-2-2

x2 ? 1 x ?1
0

? x ? 1, x ? ?1 (B) f ? x ? ? x ? 1 , g ? x ? ? ? ??1 ? x, x ? ?1

(C) f ? x ? ? 1 , g ? x ? ? ? x ? 1?

(D) f ? x ? ? 3 x3 , g ? x ? ?

? x?


2

?2 x ? 1, x ? 1 ? 8、已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若 f ? f ? 0?? ? 4a ,则实数 a ? ( ? ? ? x ? ax, x ? 1 ?
6

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1 4 (B) (C)2 2 5 9、如图 2-3 所示的图象所表示的函数的解析式为(
(A) (A) y ? (B) y ? (C) y ?

(D)9 )

3 x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2 3 3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2 2 3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2
图 2-3

(D) y ? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 10、下列图形中,不可能是函数图象的是( )

三、解答题 11、为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数
?1? 关系式为 y ? ? ? ? 16 ?
t ?a

( a 为常数) ,如图 2-4 所示.据图中提供的

信息,回答下列问题: (1) 试建立从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 y(毫 克)与时间 t (小时)之间的函数关系式; 图 2-4 (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克 以下时, 学生方可进教室, 那么药物释放开始, 至少需要经过多少小时, 学生才能回到教室.

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12、如图 2-5,直角梯形 OABC 位于直线 x ? t ? 0 ? t ? 5? 右侧的 图形的面积为 f ? t ? (其中 O 为坐标原点) . (1)求函数 f ? t ? 的解析式; (2)画出函数 f ? t ? 的图象.
图 2-5

13、已知 1 ? a ? 2 ,函数 f ? x ? ? log a x ? x 2 ? 1 ? x ? 1? . (1)求 f ? x ? 的反函数 f ?1 ? x ? 和反函数的定义域 D ; (2)设 x ? D , g ? x ? ? x2 ? 1 ,比较 f ?1 ? x ? 与 g ? x ? 的大小.

?

?

14、已知函数 y ? f ? x ? 的反函数.定义:若对给定的实数 a ? a ? 0? ,函数 y ? f ? x ? a ? 与 则称 y ? f ? x ? 满足 a 和性质” 若函数 y ? f ? ax ? 与 y ? f ?1 ? ax ? “ ; y ? f ?1 ? x ? a ? 互为反函数, 互为反函数,则称 y ? f ? x ? 满足“ a 积性质” . (1)判断函数 g ? x ? ? x2 ? 1? x ? 0? 是否满足“1 和性质” ,并说明理由; (2)求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3)设函数 y ? f ? x ?? x ? 0? 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” .求 y ? f ? x ? 的表达式.

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参考答案:
?x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ?x ?1 ? 0 ? ? ? ? x ? 1 ? x ? ? ?1,1? ? ?1, 2 ? 例 1 解: (1) ? ?2 ? x ? 0 ? x ? 2 ? ?2 ? x ? 1 ?

(2) 1 ? x ? 2 ? 2 ? 2x ? 4 ? 2 ? log2 x ? 4 ? 4 ? x ? 16 例 2 解: (1)令 u ? x ? 1? x ? 0? 则 x ? u ? 1?u ? 1? ∴ x ? ?u ? 1? ?u ? 1? ? f (u) ? ?u ? 1? ? 1?u ? 1? 即 f ? x ? ? ? x ? 1? ? 1 ? x2 ? 2x ? 2 ? x ? 1?
2 2 2

? ? 3 ?3? ?3? 3 ? 3 ? (2) f ? x ? ? x ? f ? ? ? 1 ① ? f ? ? ? ? f ? ? ? 1 ? ? f ? x ? ? 1 ② x ? x? ? x? x ? 3 ? ? ? ?x?
?3? ② ? x 得 x ? f ? ? ? 3 f ( x) ? x ③ ? x?

1 1 ③-① 得 2 f ? x ? ? ? x ? 1 ? f ? x ? ? ? x ? 2 2
例 3 解:由题意得 xy ?
1 2 x ?8? y ? 4 8? x2 4 ? 8 ? x 0? x?4 2 x x 4

?

?

? 2 ? ?3 16 ? 框架用料长度为 l ? 2 x ? 2 y ? 2 ? ? 2 x? ? ? 2 ? 2 ? x ? x ? 4 6 ? 4 2 ? ? ? ? ?
16 ?3 ? 当且仅当 ? ? 2 ? x ? 即 x ? 8 ? 4 2 时等号成立 2 x ? ?

此时 x ? 2.343 , y ? 2 2 ? 2.828 故当 x 为 2.343 m ,y 为 2.828 m 时用料最省
?1

例 4 解: (1) f

?? 1 ? x ? x ? 1? ? x? ? ?1 ? ? x ? 1? x ? 2 ? ?2

(2) y ?

2x ? 3 y?3 2x ? 3 5 ?x? 又 x ?1? y ? ? 2? ?2 x ?1 y?2 x ?1 x ?1

∴函数 f ? x ? ? 结论:函数 f ? x ? ?

2x ? 3 x?3 ? x ? R 且 x ? 1? 的反函数是 f ?1 ? x ? ? ? x ? R 且 x ? 2? x ?1 x?2

ax ? b ?dx ? b 的反函数是 f ?1 ? x ? ? . cx ? d cx ? a ?cy ? b ?cy ? b ax ? b 例 5 解: (1)令 y ? 解得 x ? 即 f ?1 ? x ? ? y?a y?a x?c

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因此

?cy ? b 2 x ? 5 ? 由对应项系数相等得 a ? 3, b ? 5, c ? ?2 ? a ? b ? c ? 6 y?a x?3
2

(2)点 P ? ?1, ?2 ? 在 f ( x) ? ax2 ? b 上,则 ?2 ? a ? ?1? ? b ① 又点 P ? ?1, ?2 ? 在 f ?1 ( x) 上 ? 点 ? ?2, ?1? 在 f ? x ? 上 ? ?1 ? a ? ?2? ? b ②
2

1 7 1 7 7? ? ① 联立解得 a ? , b ? ? ? f ? x ? ? x 2 ? ? x ? 0 ? ? f ?1 ? x ? ? 3x ? 7 ? x ? ? ? 3 3 3 3 3? ?

【当堂训练】 1.1 解 : f ? x? 的 值 域 为 R, 令 y ? log2
? x?3?
x?3 ?1 , 则 l o 2?g ? ? y ?

1 ?

2 y ?1 ? x ? 3 ? x ? 2 y ?1 ? 3

? f ?1 ? x ? ? 2x?1 ? 3
2.1 解 : 令

y ? 2x ? 2 ? 1



y









y ? ?1



2x?2 ? y ? 1 ? log2 y ?1 ? x ? 2 ? x ? log2 y?1 ? 2

? f ?1 ? x ? ? log2 x?1 ? 2

? x ?1 ? 0 ? x ? ?1?
2

3.1 解:令 y ? 1 ? ? x ? 1?
2

? 0 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 1
2

??1 ? x ? 1 ? 0 ? 0 ? ? x ? 1? ? 1
2

? 0 ? 1 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 ? 1 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 ? y ? 1
?1 ? y 2 ? ? x ? 1?
2

? y ? 1 ? ? x ? 1?

2

? x ? 1? y2 ?1

? f ?1 ? x ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? 0 ? x ? 1?

4.1 解:由题意知, y ?

1 y ?1 ? 1? ,反解为 y ? 2 x ? 1? ? x ? 1 ? x ? ?y? ? 2 2 y ?1 ? 2?

?原函数的反函数为 y ?

x ?1 ? 1? ?x ? ? 2x ?1 ? 2?
? x ? t ? 1 所以原函数可

5.1 解:?1 ? x ? 2 ?2 ? x ? 1 ? 3 令t ? x ? 1?2 ? t ? 3 ? 化为

f ? t ? ? ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 1 ? t 2 ? 2
2

即 f ? x ? ? x ? 2 ? 2 ? x ? 3?
2

? y ? f ? x ? ? x 2 ? 2 ( 2 ? y ? 7 ) ? y ? 2 ? x2 ? x ? y ? 2 ( 2 ? y ? 7 )
所以 f ? x ? 的反函数 f ?1 ? x ? ? 6.1 解: x ? 0 时, y ? x
2

x ? 2 ? 2 ? x ? 7?

则 x ? ? y ( y ? 0 ) 则 y 的反函数为 y ? ? x ( x ? 0)
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x ? 0 时, y ? ?

1 x 则 x ? ?2 y ( y ? 0 )则 y 的反函数为 y ? ?2x ? x ? 0? 2

所以原函数的泛函数 y ? ?

?? x ? ??2 x ?

( x ? 0)

? x ? 0?

注:求分段函数的反函数要分段求,最后要用分段函数的形式表示出来 7.1 解一:先求反函数 f ?1 ? x ? 解:令 y ?

2 2 2 ,得 x 2 ? 1 ? ? x ? ?1 ? x ? ? 1 ? 2 1? x y y
?1



y?0

故 f ? x ? 的反函数为 f 解二:根据性质一 解:

? x? ? ?

1?

2 x

? x ? 0?

? 2? ? f ? ? ? ? ?2 ? 3? ? 2? ? ? ?2 ? 3?

2 2 ? ? ? x ? ?2 2 1? x 3
?1

? x ? ?1 ? x ? ?2

即? f ? ?

8.1 解 : ? y ? f

? ?x 的 图 像 过 点 ? 2, 0 ?

, ? f ? x? 的 图 像 过 点

? 0, 2 ?



?2 ? a0 ? k ?k ? ?1 ? f ? x ? ? a x ?1 ?3 ? a ?1 ?a ? 2 ? f ? x ? ? 2x ?1
9.1

又? y ? f ? x ? 的图像过点 ?1,3? ,

?1 解:由题意 f ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ? x ? ? f ? x ?

令 y ? f ? x? ?

2x ?1 1 ? ay ( y ? 2) y ? x ? a ? ? 2 x ? 1 ? x ? x?a x?2 1 ? ax 1 ? ax 2 x ? 1 ?1 所以 f ? x ? ? = ? x ? 2 ? 由 f ? x? ? f ?1 ? x ? 得 x?2 x?2 x?a

解得 a ? ?2

【家庭作业】 1、3 2、 ? ??,3? ? ? 3, 4? 3、 (1) 4 x ? 1 3、 (2) f ?1 ? x ? ?

x ? x ? 1? x ?1

1 2 4、 (2)2
4、 (1) 4、 (3) ? 0, ?2?
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4、 (4) ?1, ?4?
1 1 5、 V ? x 2 25 ? x 2 (0 ? x ? 10) 3 4

6、 f ?1 ? 0? ? a ,且 f ?1 ? x? ? x ? x ? A? 或 y ? f ?1 ? x ? 的图象在直线 y ? x 的下方,且与 y 轴的 交点为 ? 0, a ? 7、B 8、C 9、B 10、D

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11、解: (1)药物释放过程中,设 y ? kt 由图象过点 ? 0.1,1? 得 1 ? 0.1k ,解得 k=10 ? y ? 10t ? 0 ? t ? 0.1?
?1? 药物释放完后由函数图象可得 ? ? ? 16 ?
0.1? a

?1? ? 1 ? 0.1 ? a ? 0 ? a ? 0.1 ? y ? ? ? ? 16 ?

t ? 0.1

?10t ,0 ? t ? 0.1 ? 所求函数解析式为 y ? ?? 1 ?t ? 0.1 ?? ? , t ? 0.1 ?? 16 ?

?1? (2) ? ? ? 16 ?

?0.1

? 0.25 ? 2t ? 0.2 ? 1 ? t ? 0.6

答:至少需要经过 0.6 小时即 36 分钟后,学生方可走进教室. 12、解: (1)设直线 x ? t 与梯形的交点为 D 、 E ? 3 ? 5? ? 2 1 1 0 ? t ? 2 时 f ? t ? ? S梯形OABC ? S? ODE ? ? t ? t ? 8 ? t2 2 2 2
2 ? t ? 5 时 f ? t ? ? S矩形DEBC ? DB ? BC ? 2 ? 5 ? t ? ? 10 ? t

? 1 2 ?8 ? t ? 0 ? t ? 2 ? 所以 f ? t ? ? ? 2 ?10 ? 2t ? 2 ? t ? 5 ? ?

(2)

13、解: (1)设 y ? log a x ? x 2 ? 1 则 ay ? x ? x2 ? 1 解得 x ?

?

?

a y ? a? y a x ? a? x ? f ?1 ( x) ? 2 2

当 x ? 1 时, x ? x2 ? 1 是增函数 ? x ? x2 ? 1 ? 1 又 1 ? a ? 2 ? log a x ? x 2 ? 1 ? ? 0, ?? ? ,故 f ?1 ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? (2) g ? x ? ? f ?1 ? x ? ?
2 x ? 2? x a x ? a ? x 1 1 ? ? ? ? ? 2 x ? ax ? ?1 ? x x ? 2 2 2 ? 2 ?a ?

?

?

?1 ? a ? x 1 ? 1 ? ax ? 2 x ? x x ? 1 ? g ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 2 ?a ?x ? 0

14、解: (1)函数 g ? x ? ? x2 ? 1? x ? 0? 的反函数是 g ?1 ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1?
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? g ? x ? 1? ?
?1

x ? x ? 0?
2

而 g ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? x ? ?1? ? 其反函数为 y ? x ? 1 ? 1? x ? 1? 故函数 g ? x ? ? x2 ? 1? x ? 0? 不满足“1 和性质” (2)设函数 f ? x ? ? kx ? b ? x ?R ? 满足“2 和性质” ,则 k ? 0 .

? f ?1 ? x ? ?

x ?b x ? 2?b ( x ??R? ? f ?1 ? x ? 2? ? k k x ? b ? 2k k

而 f ? x ? 2? ? k ? x ? 2? ? b ? x ? R ? 得反函数 y ? 由“2 和性质”定义可知

k ? 2 ? b x ? b ? 2k 对 ? x ? R ? 恒成立. ? k k

? k ? ?1, b ? R 即所求一次函数 f ? x ? ? ?x ? b ?b ? R ?
(3)设 a ? 0, x0 ? 0 且点 ? x0 , y0 ? 在y ? f ? ax ? 图象上, 则 ? y0 , x0 ? 在函数 y ? f ?1 ? ax ? 图象上

? f ? ax0 ? ? y0 ? 故? 可得 ay0 ? f ? x0 ? ? af ? ax0 ? ? f ? 1? ay0 ? ? x0 ?
令 ax0 ? x,则a ?
x f ? x0 ? x x ? f ? x0 ? ? f ? x? ? f ? x? ? 0 x0 x0 x0

综上所述, f ? x ? ? 而 f ?1 ? ax ? ?

k k k ? k ? 0? ,此时 f ? ax ? ? ,其反函数是 y ? x ax ax

k 故 y ? f ? ax ? 与y ? f ?1 ? ax ? 互为反函数. ax

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