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立体几何 竞赛训练题


立体几何 竞赛训练题
1:在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中心及正方体的中心共计 27 个点中,问 共线的三点组的个数是多少

8? 7 ? 28 个;两端点都为面的中心共线三点组共 2 6 ?1 12 ? 3 ? 3 个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有 ? 18 个,且没有别的类型的 有 2 2 共线三点组,所以总共有 28

? 3 ? 18 ? 49 个
解答:两端点都为顶点的共线三点组共有

C

2:已知一个平面与一个正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,求 sin ? . D 解答:如右图所示,平面 BCD 与正方体的 12 条棱的夹角都 等于 ? ,过 A 作 AH 垂直平面 BCD.连 DH,则 ? ? ?ADH .设正方体的边长为 b,则 DH ?
2

A

2 6 ? 2b sin 600 ? b 3 3

H

? 6 ? AH 3 3 . ? AH ? b ? ? b? ? b 所以 sin ? ? sin ?ADH ? ? 3 ? AD 3 3 ? ?
2

B

3:在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 最短,求 AP+D1P 的最小值. 解答:将等腰直角三角形 AA1B 沿 A1B 折起至 A?A B ,使三角形 A?A B 与四边形 A1BCD1 共 1 1 面,联结 A?D1 ,则 A?D1 的长即为 AP+D1P 的最小值,所以,

A?D1 ? 12 ? 12 ? 2 ?1?1? cos1350 ? 2 ? 2
4 : 已 知 单 位正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 对 棱 BB1 、 D1 上 有 两 个 动 点 E 、 F, BE=D1F= ?

1 ) 设 EF 与 AB 所成的角为 ? , BC 所成的角为 ? , ? ? ? 的最小值. . 与 求 2 1 ? ? ? 当 ? ? 时, ? ? ? . 不难证明 ? ? ? ? f (? ) 是单调减函数. 因此 ? ? ? 的最小值为 . 2 2 2
(0 ? ? ?
1 5.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= PA, 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP 2 ⊥底面 ABC. (Ⅰ)求证 OD ∥平面 PAB ;(Ⅱ) 求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦. ? 解答? OP ? 平面ABC,OA ? OC,AB ? BC, OA ? OB,OA ? OP,OB ? OP. 以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O ? xyz ?如图?,

? 2 ? ? ? ? ? 2 2 设AB ? a,则A ? ? 2 a,0,0 ? , B ? 0, 2 a,0 ? , C ? ? 2 a,0,0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设OP ? h,则P ? 0,0, h?. ???? ? ??? ? 2 ? ? 2 1 ? D为PC的中点, OD ? ? ? ? a,0, h ? , 又PA ? ? a,0, ?h ?, A ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? x ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ? OD ? ? PA. ? OD∥PA. ? OD∥平面PAB. 2

z

P D

Ⅰ ? ??

O B y

C

???? ? 7 2 14 ? a, ? OD ? ? ? ? 4 a,0, 4 a ? , ? 2 ? ? ???? ? ? ? 1? 可求得平面PBC的法向量n ? ? ?1,1, ? , ? cos?OD, n? ? ? 7? ? ?

?Ⅱ??

PA ? 2a, ? h ?

???? ? OD ? n 210 . ???? ? ? 30 OD ? n
210 , 30

???? ? 设OD与平面PBC所成的角为?, sin ? ? cos?OD, n? ? 则
? OD与平面PBC所成的角为arcsin 210 . 30

6 如图,已知长方体 ABCD ? A B1C1D1 , AB ? 2, AA ? 1 ,直线 BD 与平面 AA B1B 所成的 1 1 1 角为 30 0 , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 AE 与 BF 所成的角的余弦; (Ⅱ)求平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角(锐角)的余弦; (Ⅲ)求点 A 到平面 BDF 的距离 解答 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,以 AB 所在直线为 x 1
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A1 F B1 A C1 E C

D1

D

轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴建立空间直

角坐标系如图. 由已知 AB ? 2, AA ? 1 , 可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F (1,0,1) . AD ? 又 1 平面 AA B1B ,从面 BD 与平面 AA B1B 所成的角即为 ?DBA ? 30 1 1 又 AB ? 2, AE ? BD, AE ? 1, AD ? 从而易得 E ( ,
0

B

A1 F

z

D1

2 3 3
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1 3 2 3 , 0), D(0, , 0) 2 2 3

B1

A

C1 E C

D

y

??? ??? ? ? ?1 B ??? ??? ? ? ??? 1 3 ? ??? ? 2 AE ?BF (Ⅰ)? AE ? ( , ,0), BF ? (?1,0,1) ? cos ? AE, BF ?? ??? ??? ? x 2 ? ? ? ? 4 2 2 2 AE BF
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2 4 ? ? (Ⅱ)易知平面 AA1 B 的一个法向量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BDF 的一个法 ? ? ? ??? ? ??? ? ?x ? x ? 0 ??? ? ?n ? BF ? n ?BF ? 0 2 3 ? ? ? ? ? ? ??? 向 量 . BD ? (?2, , 0) 由 ? ? ??? ?? ? ? 2 3 3 y?0 ?n ? BD ?n ?BD ? 0 ?2 x ? ? ? 3 ? ? ? ? x?z m?n 3 15 ? ? ? ? ?? 取 n ? (1, 3,1) ∴ cos ? m, n ?? ? ? ? ? m n 1? 5 5 ? 3x ? y ?
即异面直线 AE 、 BF 所成的角为 arccos
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即平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角(锐角)大小为 arccos

??? ? ? (Ⅲ)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? AB?n | AB?n | 2 2 5 ? cos ? AB, n ? ? | AB |? ??? ? ? 所以距离 d ? | AB |? ? ? ? |n| 5 | AB |? n | | 5
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15 5

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所以点 A 到平面 BDF 的距离为

2 5 5

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7. 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2 (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; z (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的余弦. O1 C O1 C O1 C D
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D

D

A

O

B
A

O

B

O

B y

解 图3 答 x A (I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB 是 所折成的直二面角的平面角,即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0, 图1 图2 0) ,B(0,3,0) ,C(0,1, 3 )O1(0,0, 3 ) . 从而 AC ? (?3,1, 3), BO1 ? (0,?3, 3), AC ? BO ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0. 1 所以 AC⊥BO1. (II)解:因为 BO ?OC ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0, 所以 BO1⊥OC,由(I)AC⊥BO1,所以 BO1 1 ⊥平面 OAC, BO1 是平面 OAC 的一个法向量.设 n ? ( x, y, z) 是 0 平面 O1AC 的一个法
? 向 量 , 由 ?n ? AC ? 0 ? ?? 3x ? y ? 3z ? 0, ? ? ?n ? O1C ? 0 ? y ? 0. ? 取z ? 3, 得 n ? (1,0,

3) . 设 二 面 角

O—AC—O1 的大小为 ? , n 、BO1 的方向可知 ? ?? n ,BO1 >, 由 所以 COS ? ? cos ? n ,

3 BO1 >= n ? BO1 ? 3 . 即二面角 O—AC—O1 的大小是 arccos . 4 4 | n | ? | BO1 |
8. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA ? 4 , D 为 AB 的 点 1 中点
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(Ⅰ)求证 AC ? BC1 ;
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(Ⅱ) 求证; AC1 ? 平面CDB1

(Ⅲ)求异面直线 AC1

与 B1C 所成角的余弦值 解答∵直三棱锥 ABC ? A1B1C1 底面三边长

AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 , AC, BC, CC1 两两垂直 如图建立坐标系,则 3 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0) 2
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C1 z A1
E

B1

(Ⅰ)? AC1 ? (?3,0,0), BC1 ? (0,4,4) ,? AC1 ? BC1 ? 0,? AC1 ? BC1 (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2)

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

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???? ???? ? ???? 1 ???? ???? ???? ? ? 3 A C ? DE ? (? , 0, 2), AC1 ? (?3, 0, 4) ? DE ? AC1 ,? DE // AC1 D 2 2 x ? DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ? AC1 // 平面CDB1 ???? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? AC1 ? 1 CB 2 2 ? (Ⅲ)? AC1 ? (?3,0,4), CB1 ? (0,4,4), ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? ???? ? , ∴异 5 | AC1 || CB1 |
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B y

面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 5

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P

1. (07 全国)正四棱锥 P?ABCD 中,∠APC=60° ,则二面角 A?PB?C 平面角 余弦值为( B )
D

M C B

A

A.

1 7

B. ?

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

解:如图,在侧面 PAB 内,作 AM⊥PB,垂足为 M。连结 CM、AC,则∠AMC 为二面角 A?PB?C 的平面角。 不妨设 AB=2, PA ? AC ? 2 2 , 则 斜高为 7 , 2 ? 7 ? AM ? 2 2 , 故 由 此 得

7 。 在 △ AMC 2 AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 cos?AMC ? ?? 。 2 ? AM ? CM 7 CM ? AM ?

中 , 由 余 弦 定 理 得

2. (08 全国)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这 三个正方体的体积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 3 3 3 C. 586 cm 或 564 cm D. 586 cm [解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 ,不 妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? 94 , c 2 ? 31 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9, 2 8, 6. c ? 9 , a 2 ? b ? 9 ? 2 ? , 7, 若 则 易知 a ? 2 ,b ? 3 , 得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) . 4 9 1 3 若 c ? 8 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 , b ? 5 .但 2b ? 30 , b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若 b ? 5 , 2 2 则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解. 若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 2 2 2 2 若 c ? 6 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但
2

? a ? 2, ? a ? 3, ? ? b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a ? 58 ? 36 ? 22 无解.综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ?c ? 9 ? c ? 7. ? ?
2

体积为 V1 ? 23 ? 33 ? 93 ? 764 cm3 或 V2 ? 33 ? 63 ? 73 ? 586 cm3.

3.(08 江苏)设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ” 的平面 ? , ? 答: [D] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 解 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与垂线确定 的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 4.(08 湖南)连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分 别等于 2 7 和 4 3 , M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动, 有下面四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ③ MN 的最大值为 5 ④ MN 的最小值为 1 其中真命题为( ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 解答:假设 AB 、 CD 相交于点 N ,则 AB 、 CD 共面,所以 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆, 而过圆的弦 CD 的中点 N 的弦 AB 的长度显然有 AB ? CD ,所以②是错的.容易证明,当 以 AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时, MN 最大为5,故③ 对.当以 AB 为直径的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时, MN 最小为 1,故 ④对.显然是对的.①显然是对的.故选A. 5.(08 江西)四面体 ABCD的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则

CD ? D 、 27 . . A 、 7 ; B 、 13 ; C 、 18 ; 答案: B . 解: 四面体中, CD 外, 除 其余的棱皆与 AB 相邻接, 若长 13 的棱与 AB 相邻, 不妨设 BC ? 13 ,
据构成三角形条件,可知 AC ??7,18, 27? , ? AC ? 36, ? BD ? 7 ,

? ? AD, CD? ? ?18,27? ,于是 ?ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾。
6.(08 浙江)圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中 点, 动点 P 在圆锥底面内 (包括圆周) 若 AM⊥MP, P 点形成的轨迹的长度为 。 则 ( B ) A.

7

B.

7 2

C. 3

D.

3 2

7.(10 浙江)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是 ( C )A.60° B.75° C.90° D.105° 解答: 建立空间直角坐标系, A1B1 所在的直线为 x 轴, C。 以 在平面 A1B1C1 上垂直于 A1B1 的 直线为 y 轴, BB 1 所在的直线为 z 轴。则 A1 ( 2, 0, 0), C1 (

2 6 2 6 , , 0), C ( , ,1), 2 2 2 2

B(0, 0,1) , CA1 ? (

2 6 2 6 ,? , ?1), C1B ? (? ,? ,1), CA1 ? C1B ? 0 。 2 2 2 2
2

8.(11 浙江)设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 3 正视图 A. 4+ 1 侧视图 B. 4+ 1 俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几何体 2

二、填空题 1.(07 全国)已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___。

2 3 3

5 3π 6

解:如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的三 个面上,即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上;另一类在不过顶点 A 的三个面上,即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上。在面 AA1B1B 上,交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆

π π 2 3 ,AA1=1,则 ?A1 AE ? 。同理 ?BAF ? , 6 6 3 π 2 3 π 3 所以 ?EAF ? ,故弧 EF 的长为 ? ? π ,而这样的弧共 6 3 6 9
上,因为 AE ? 有三条。在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球 面 相 交 所 得 的 小 圆 上 , 此 时 , 小 圆 的 圆 心 为 B, 半 径 为

3 , 3

?FBG ?

π 3 π 3 , 所以弧 FG 的长为 这样的弧也有三条。 ? ? π。 2 3 2 6

A1 C1 E B1

3 3 5 3π 于是,所得的曲线长为 3 ? 。 π ? 3? π? 9 6 6
2.(08 全国)一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正 四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可 能接触到的容器内壁的面积是

O A

P

C B

72 3



[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径 为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为 正四面体 P ? A1 B1C1 的中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心.

1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

? 4 ?VO? A1B1C1 1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3 故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
答 12 图 1 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况,易知小球在面 PAB 上最 靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P EF ,如答 12 图 2.记正四面体 1 的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1
PP ? PO 2 ? OP 2 ? (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 1

3 ? ,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 1 6 2 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图
因 ?MPP ? 1 2 中阴影部分)

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4 又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

S?PAB ? S?PEF ? 1

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容 器内壁的面积共为 72 3 . 答 12 图 2 3.(09 湖北)已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N

7 . 48 4.(10 全国)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角
分别是棱 A1D1 和 CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为

10 . 4 解:如图, PC ? PC1 , PA ? PB . 1

B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?

设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则

OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从而 AB1 ? 平面 PA B .过 O 在平面 PA B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 1 1 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角.设 AA1 ? 2 ,则易求得

PB ? PA ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 .在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE , 1

即 又 B1O ?

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?

6 5

.

6 4 5 . ? 5 5 BO 2 10 . sin ? ? sin ?B1 EO ? 1 ? ? B1 E 4 5 4 5 5.(08 河北)在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 4 , SB ? 7 , SC ? 9 , AB ? 5 , BC ? 6 , AC ? 8 .则三棱锥 S ? ABC 体积的最大值为 . 答 案 8 6 . 解 : 设 ?SAB ? ? , 根 据 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 2 2 SA ? AB ? SB 4 ?5 ?7 1 cos ? ? ? ?? , 2 ? SA ? AB 2? 4?5 5 1 2 6 故 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ,S ?SAB ? ? SA ? AB sin ? ? 4 6 .由于棱锥的高不超过它 2 5 1 的 侧 棱 长 , 所 以 VC ? SAB ? S ?SAB ? BC ? 8 6 . 事 实 上 , 取 SB ? 7 , BC ? 6 且 3 CB ? 平面SAB 时,可以验证满足已知条件,此时 VSABC ? 8 6 ,棱锥体积可以达到最大. 0 6.(08 江西)四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上 G 的射影 H 是 ?BCD 的垂心, 是 ?ABC 的重心, AH ? 4 ,AB ? AC , GH ? 若 则 . 4 1 答案: 21 . 设面 AHD 交 BC 于 F , 解: 则因 AB ? AC , G 在 AF 上, GF ? AF , 故 且 9 3 AH 8 1 4 8 ?AFH ? 600 ,于是 AF ? ? , FH ? AF ? , GF ? ,在三角形 sin 600 2 3 3 3 3 4 GFH 中,由余弦定理得 GH ? 21 9 7. (11 浙江)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 ,CC1 上 2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
的动点(含端点) 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。 ,D
?

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 8.(11 模拟)如图,有一个半径为 20 的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半径为 12 的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球的半径是 16 。
?


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