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《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计


《二元一次不等式(组)与平面区域》教学设计

一、对教材背景的分析及我对本节内容的改进
在数学中的许多代数表达形式都有一个相应的几何形式与之对应, 像我们在生活中见到的东 西是“几何形式”,而它的“名称”是它的代数形式一样,通过二元一次不等式(组)与平面区 域的关系使学生对方程与直线、 不等式与平面区域的数与形关系进入深化研究和综合应用的 领域。 对于二元一次不等式(组)表示的平面区域,课本用的方法是特殊点测试法。即二元一次 不等式(组)表示平面区域间的关系的画法:直线定界,特殊点定侧。这个方法的优越性是 简浅易懂, 容易掌握。 但是, 我在教学中发现其弊端是不利于多个不等式形成组的区域判定, 学生用这个方法代点判断的时候容易引起区域混乱而且难以自纠错误, 老师也不容易给学生 讲明白。线性规划应用的重要前提是必须能够准确的找到所要表示的区域。所以 ,我通过 探索发现+使用初中代数的符号法则,可以最快的使不等式和相应的平面区域相互对应,这 个方法多年来受到了学生和同行的肯定,以下是我对本节内容的教学设计。

二、教材分析

1、教材的地位和作用
“线性规划” 这节课是在学习了直线方程的基础上,学习不等式表示平面区域的 数形结合思想,是新课程的一个亮点.反映了新课程中的新理念。使得基础数学 中的数与形、理论与实际的应用得到应有的重视。在实际生活中,经常会遇到一 定的人力、物力、财力等资源条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源取得 最大的效益是线性规划研究的基本内容,它在实际生活中有着非常广泛的应 用.当然,中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分,但这部分内容,也 能体现数学的工具性、应用性,同时渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生 解决实际问题提供了良好素材。

本节课选自人教版高中实验教科书《数学》(必修 5):3.3.1《二元一次不等式(组)与平 面区域》,这个内容分两节课完成,本节课是第一节,它要为后续的《简单的线性规划》打 下扎实的基础,也是再加深数形结合思想在数学学习中的认识及应用。 ⒉教材的重点和难点 (1)使学生学会用二元一次不等式表示平面区域,将二元一次不等式与直线方程进行了拓 展性的结合。 (2)准确画出二元一次不等式表示的平面区域。 ⒊教材内容的安排和处理 《二元一次不等式(组)与平面区域》的第一课时使学生重点掌握二元一次不等式与表示平 面区域的关系:(1)把二元一次不等式(组)表示的区域画出,(2)写出所给平面区域对 应的不等式是什么? 三、设计理念:
根据“诱思探究教学”中提出的教学模式,设计的教学过程,遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三 个层次要素, 侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习, 由旧知识类比得出新知识。 让学生动脑思, 动手探, 教师的“诱” 要在点子上,在精不在多。整个教学过程始终贯穿“体验为主线,思维为主攻”,学生的学习目的要达到“探索找核 心,研究获本质”。

四、教学对象的设计分析 教学的设计考虑到普通学生的整体素质, 对学生的综合思维能力不能有过高的要 求, 只能循环渐进的开展。 这堂课要借助于课件的展示以动画的形式给学生提供 学习材料,使本节课更加生动、形象。 五、教学策略及方法的分析 培养学生数学素质,首先是数学课堂教学要素质化,即在课堂教学过程中,加强 学生对知识的发生和发展过程的教学,充分调动学生思维的主动性、积极性;有 效地渗透数学的思维方法, 发展学生个性品质,从而达到提高学生整体的数学素 养的目的。 根据这样的原则和所要完成的教学目标,我采用如下的教学方法和手 段:

(1)教学方法:创设问题情境,老师启发引导由学生观察探索发现相结合的教 学方法。启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控,帮助学生优化思 维过程;在此基础上,提供给学生相互交流的机会,使学生学会对自己的数学思 想进行组织和澄清,并能清楚地、准确地表达自己的数学思想;能通过对其他人 的思维和策略的考察, 扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力;使学生学会 自觉地、主动地、积极地学习。 (2)教学手段:适当使用课件,目的是通过它们的演示,增强学生的知识形成 过程,另外,也提高了课堂的教学效率,节省了时间,激发了学生的学习兴趣。 六、教学媒体的设计
1.本课电脑辅助软件:课件用 PowerPoint 课件做成;

2.同时注重教师的板书演示。
七、教学过程的设计 主要强调了教学过程的内在逻辑线索; 给出学生以思考和操作的具体描述; 突出核心概念的 思维形成和技能操作过程;突出思想方法的领悟过程。 以“问题串”方式的呈现为主,认真思考每一问题的设计意图、对师生活动预先设计, 强调概念要点、思想方法和技能训练的培养能力等。 设计的几个主要问题是: 问题 1 一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业和个人贷款,希望这笔资 金至少可带来 30 000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%,那 么,信贷部分应该如何分配资金呢? ——追究(1)在这个问题中,有哪些不等关系? (2)怎么刻画问题中存在的一些不等关系? (3)怎样找到这个不等关系的解? 问题 2 二元一次不等式 x-y<6 的解集表示怎样的点集? ——追究对用平面区域表示的理由。

引导语:不在直线上的点都不满足等式 x-y=6,点(x,y)不在直线上,那么它的坐标 就一定满足 x-y<6 或 x-y>6。平面上的点被直线 x-y=6 分为三部分,直线上的点满足方 程 x-y=6,其余两部分的点的坐标与不等式 x-y<6 或 x-y>6 之间有什么内在联系呢? 点 P(x, y) 在直线 L 的“左上方”、 “右下方”、 “左下方”、 “右上方”的含义是什么? 追究平面区域表示二元一次不等式的本源。 问题 3:怎样判断 Ax+By+C=0 表示的区域?请你给出用平面区域表示二元一次不等式 (组)的一般步骤。 问题 4:能将上述具体例子抽象成一般二元一次不等式解集表示的方法吗? 通过对习题、练习的检测,要明确每一个习题或练习的设计目的,加强检测的针对性、有 效性。 教学程序 设 计 意 图 [多媒体展示] ( 1) 从简单问题 问题 1 一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至 入手, 使学生容易 少可带来 30 000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%,那么,信 接受 贷部分应该如何分配资金呢? (2)使学生理解 (1)在这个问题中,有哪些不等关系? 平面区域的概念 (2)怎么刻画问题中存在的一些不等关系? (3)培养学生观 (3)怎样找到这个不等关系的解? 察, 表述, 归纳和 论证的能力, 激发 学生的思维力与 想象力, 有利于想 象力, 创造力的发 挥。 问题 2:在平面直角坐标系中画出直线 x-y-6=0 可能有学生提出 学生思考:在平面直角坐标系中,平面(或者平面上的点)被直线 x-y-6=0 分成了几部分? 疑问: 为什么是左 得出结论:(1)在直线 x-y-6=0 上, 上方, 或者是右下 (2)直线左上方的平面区域, 方?以什么来确 (3)直线右下方的平面区域 定? 教师提问:这些平面区域为什么叫直线左上方、直线右下方呢? 教师讲解: 我们所说的上下左右是看平面图形才产生的方位, 平面图形通过直角坐标系确定位 置:是左还是右是以 x 轴的方向确定;是上还是下是以 Y 轴的方向确定; 观察以下图形,我们看出以下几种直线: ——

图(1) x-y=1 表示的直线只能将平面分成左上区域和右下区域。 图(2) y=0 表示的直线没有 x 项就没有左右只有上下,故此平面就被分成了上方区域和下方区 域。 图(3) 3x+2y-6=0 表示的直线只能将平面分成右上方区域和左下方区域。 图(4) x=2 表示的直线只能将平面分成左右区域。 那么区域的上下左右是如何确定的呢?大家可以对比图形和方程的 x 项 y 项的系数来确定, 例 如:图(1)x-y=1 的 x 项、y 项的系数是异号,x 轴 y 轴被同时分成(—、+)(+、—), 所以区域只可能是左(—)上(+)方区域和右(+)下(—)方区域。图(3) 3x+2y-6=0 的 x 项 y 项的系数是同号(+、+)(—、—),所以区域只可能是左(—)下(—)方区域和右 (+)上(+)方区域。 方程可以划分区域,不等式则可以表示出具体的区域,我们只需把 x 项 y 项的系数与不等号联 系在一起用,即可确定二元一次不等式(组)表示的平面区域。 学生探索:直线 x-y-6=0 将 x 轴分为左右两部分,将 y 轴分为上下两部分。 老师提问:直线右下方的点能使 x-y-6>0 成立,那么右下方与 x 的系数符号(+)、y 的系数符 号(—)、(>即为+)有关系吗? 师生互动:右(+ +)下(— +) 直线左(+ -)上(- -)方的点能使 x-y-6<0 成立。 [学生练习]在平面直角坐标系中分别画出 (1)x-y+1>0 (2)y<0 (3)3x+2y-6>0 (4)x =2 所表示的平面区域。 总结方法:直线 Ax+By+C=0 将平面分为区域 Ax+By+C<0 和区域 Ax+By+C>0 两部分若: A>0,B>0 和<(-)即(-,-)表示在直线的左下方 A>0,B<0 和<(-)即(-,+)表示在直线的左上方 A<0,B<0 和<(-)即(+,+)表示在直线的右上方 A<0,B>0 和<(-)即(+,-)表示在直线的右下方 互动过程: 例1. 画出不等式 表示的平面区域。 (画成虚线). 主要看不等式的 XY系数与之对 应的符号 通过本例使用符 号法则分析。

解:先画直线

表示的平面区域内由符号法(-,-)知在 的左下方。表示的区域如图: 变式 1、画出不等式 变式 2、画出不等式 所表示的平面区域。 所表示的平面区域。

主要看不等式的 例 2.画出不等式组 的解集表示的平面区域 ,

分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面 X系数-3,对 点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 应 > , X 方 向 为 分。 (-+) 左。 Y系 数+1与之对应 解:不等式 表示直线 的 <,Y的方向符号 (+-) 下。 所以 左 (-+) 下 (+-) 方的区域, 表示直线 是 左 下 方 。 左(+-)上(++)方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的 的表示方 解集。 归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不等式所 法同理 表示的平面区域的公共部分。 变式 1、变式 2、 变式 3 通过板书 变式 1、画出不等式 表示的平面区域。 教授 培养学生观察能 变式 2、由直线 , 和 围成的三角形区域(包 力, 激发学生的思 括边界)用不等式可表示为( )。 维力与想象力, 有 利于想象力, 创造 力的发挥。

变式 3.画出不等式组

其实有了直线, 只 课堂小结 需通过一次项的 (1) 二元一次不等式与其表示的平面区域的关系; 一个系数与不等 (2) 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法: 号的方向就知道 直线 L:Ax+By+C=0 将平面分为两部分, 同时将 x 轴也分成左右两部分和 y 轴分成上下两部分. 区域的位置了。 在 不等式 Ax+By+C<0 或 Ax+By+C>0 表示的区域直接通过系数 A、B 的数性符号(正负)与不 众多的不等式组 等式的不等号方向(正负:<是负,>是正)来判断。 成的区域里用这 法则是:如 Ax+By+C<0 如 A>0,则(+, <)得负, 区域在 L:Ax+By+C=0 的左方。又如 B<0 ,则 种判断就更快。 (-,<)得正,区域在 L:Ax+By+C=0 的上方,而且它们是一体的,联系在一起就是左上方。 随堂练习由学生 其实有了直线,只需通过一次项的一个系数与不等号的方向就知道区域的位置了。. 完成

表示的平面区域.

八、评价分析
1.在本节的教与学活动中,始终体现以学生的发展为本的教育理念。在学生已有的认知基础 上进行设问和引导,关注学生的认知过程,注意学生的品德、思维和心理等方面的发展。重 视知识的创新,重视学生自身潜力的开发和能力的培养,重视问题探究意识和能力的培养。 同时,考虑不同学生的个性差异和发展层次,使不同的学生得到不同的发展,体现因材施教 原则。

2.调节与反馈:
在讨论二元一次不等式与平面区域的关系时, 可能会出现有些学生无法观察到相互对应关系 的情况,此时,教师除了加以引导外,还需通过教师演示和详细讲解加以解决。

附:板书设计 课题: 《二元一次不等 问题 2: 式(组)与其表示的平 面区域 》
法则是:如 Ax+By+C<0 如 A>0, 则 ( +, < ) 得 负 , 区 域 在 L:Ax+By+C=0 的左方。又如 B<0, 则 ( - ,<) 得 正 , 区 域 在 L:Ax+By+C=0 的上方,而且它们 是一体的,联系在一起就是左上 方。

练习:

问题 3: 课题: 《二元一次不等 问题 2: 式(组)与其表示的平 面区域 》
法则是:如 Ax+By+C<0 如 A>0, 则 ( +, < ) 得 负 , 区 域 在 L:Ax+By+C=0 的左方。又如 B<0, 则 ( - ,<) 得 正 , 区 域 在 L:Ax+By+C=0 的上方,而且它们 是一体的,联系在一起就是左上

方。

练习:

问题 3:
九、教学反思:

我在考虑这个设计时, 认为这堂课不只是单纯教会学生认识二元一次不等式与其 表示的平面区域的关系, 而是要使学生通过对这些知识的探索把初中和高中的知 识有机的结合起来, 开发学生的知识创新意识。 把新课标的知识理念落实到实处。 这堂课的教学是我对这些知识的认识,它从不同的角度阐述知识,通过不等式的 系数、 符号之间的关系来分析是我自己的探索发现,在我教学的过程中达到了满 意的效果,实际应用中,90%以上的学生都掌握的很好,我把这个设计展现给大 家,作为我个人对课程尝试改革的一些想法,欢迎大家一起商讨。


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