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人教版[原创]等比数列等比数列求和公式


国 求 王 不 能 高 就 满 欣 足 然 他 同 的 意 诺 了 。 言 判 吗? 断

要 求 。 ” 国 王 觉 得 这 个 要

倍 。 直 到 64 个 格 子 , 请 满 足

前 一 个 格 子 里 放 的 麦 粒 的 2

粒 , 依 次 类 推 , 每 个 格 都 是

子 放 1 颗 麦 粒 , 第 2 格 放 2

说 : “ 请 在 棋 盘 上 的 第 1 格

明 者 , 问 他 要 什 么 。 发 明 者

相 传 国 王 要 奖 赏 国 际 象 棋 发

国 际 象 棋 起 源 于 古 代 印 度 。

关 于 国 际 象 棋 的 故 事

假定千颗麦子的质量为40g,据查, 目前世界年度小麦产量约6亿t,国王能
满足他的诺言吗? 让我们来分析一下:

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2
62

63

如果把每格的麦数看成是等比数列, 我们可以得到一个等比数列,求从第1 格子到第64格所放麦粒数的总和就是求 这个等比数列前64项的和

等比数列的前n项和
河田中学 饶敏

等差数列求和方法回顾:(倒序相加)

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

+ S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1
2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 )
n个相 同的数

n(a1 ? an ) Sn ? 2

如何求等比数列的Sn:
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q
2
2 3

n?2

? a1q

n ?1


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q

n ?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q) S n ? a1 ? 0 ? ? ? 0 ? a1q

(1 ? q) S n ? a1 ? a1q

n

q ? 1时 :
注意:
1. 当

? na1 (q ? 1) ? a1 ? a1q n Sn ? ? (q ? 1) ? 1? q ?

a1 ? an q a1 ? a1q Sn ? ? 1? q 1? q
n

q ? 1 时, a1 , q, n, S n ; a1 , an , q, S n “知3求1”
的情

2、使用公式求和时,需注意对 q ? 1 和 q ? 1 况加以讨论; 3、推导公式的方法:错项相消法。 2 3 n 思考:求和 1 ? x ? x ? x ? ? ? x

有上面公式我们可以解决上面问题。由

a1 ? 1, q ? 2, n ? 64,
a1 1 ? q Sn ? 1? q

?

n

? ? 1? ?1 ? 2 ? ? 2
64

64

1? 2

?1

264 ?1 这个数很大,超过 1.84 ?1019 假设千颗麦子 的质量为40g,那么麦粒的总质量超7000亿t, 因此,国王不能实现他的诺言。

公式应用:
例1:求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8

的前8项的和。

1 1 1 1 解:由 a1 ? , q ? ? ? , n ? 8 ,得 2 4 2 2

1 1 8 [1 ? ( ) ] 2 2 ? 255 Sn ? 1 256 1? 2

(2)

1 a1 ? 27, a9 ? , q ? 0 求前8项的和。 243

例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量 比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年可使总销售量达 到30000台?(保留到个位) 解:根据题意,从第一年起,每年的销售量组成一个等比数列, a1 ? 5000 , q ? 1.1, S n ? 30000 设该数列为{ },其中 an

5000 (1 ? 1.1n ) ? ? 30000 1 ? 1.1
整理,得

1.1 ? 1.6
n

两边取对数,得

答:约5年内可使总销售量达到30000台。

n lg 1.1 ? lg 1.6 n ? 5(年)

例3: 求和:

1 1 1 ? 2 ??? n y y y

( y ? 0, y ? 1)

变式1:上例中,如果去掉

y ?1

,答案又是多少?

? 1? 1 1 变式2: ? x ? ? ? ( x 2 ? 2 ) ? ? ? ( x n ? n ) ( x ? 0, x ? 1, y ? 1) ? y? y y ? ?

练习:求

1 1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? 2 4 8 16

前n项的和。

小结:
等比数列求和公式:

na1 (q ? 1) ? ? n a1 ? an q S n ? ? a1 ? a1q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
推导方法: 错位相消法

作业:
P66 练习1 思考: 1. 求和: a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n P69 习题3.5 1,2

(a ? 0)


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