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《圆锥曲线章末小结》导学案


第二章 圆锥曲线 小结

.. 导. 学 固思

1.椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质
椭圆 定义 方程 焦点 顶点 范围 对称性 离心率 渐近线 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
x2 y2 a b
2 + 2 =1

双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)
x2 y2 a b
2 - 2 =1

x2 y2 b a

2 + 2 =1

y2 x2

a2 b2

- =1

F(±c,0)
A(±a,0)、B(0,±b) |x|≤a,|y|≤b

F(0,±c) _
A(0,±a)、 B(±b,0) |y|≤a,|x|≤b

F(±c,0)_
A(±a,0) |x|≥a,y∈R

F(0,±c)
A(0,±a) |y|≥a,x∈R

x 轴、y 轴为对称轴, x 轴、y 轴为对称轴, x 轴、y 轴为对称轴,原 x 轴、y 轴为对称轴, 原点为对称中心 e= = 1- 2 ∈(0,1)
a a c b2

原点为对称中心 e= = 1- 2 ∈(0,1)
a a c b2

点为对称中心 e= = 1 +
a c b2 a

原点为对称中心
c b2 a2 a

2 ∈(1,+∞) e= = 1 +

∈(1,+∞) _





y=± x
a

b

_

y=± x
b

a

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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y =2px (p>0)
2

y =-2px (p>0)

2

x =2py (p>0)

2

x =-2py (p>0)

2

图形

焦点坐标 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率

( ,0)
2

p

.

(- ,0)
2

p

.

( ,0)
2

p

.

(- ,0)
2

p

.

x=-

p 2

x=

p 2

y=-

p 2

y=

p 2

x≥0 x轴 (0,0)

x≤0 x轴 (0,0)

y≥0 y轴 (0,0)

y≤0 y轴 (0,0)

e=1 .

e=1.

e=1 .

e=1 .

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3.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元方程,即 Ax + By + C = 0, 2 消去 y 后得 ax +bx+c=0, F(x,y) = 0, (1)当 a≠0 时,若 Δ>0,直线 l 与曲线 C 有 两个 交点;若 Δ=0,直线 l 与曲线 C 有 一个 交点;若 Δ<0,直线 l 与曲线 C
无 交点.

(2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 C 相交,且只有一 个交点.此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关 平行 ;若 C 是抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置 系是 关系是
平行或重合 .

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4.弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得的弦长|P1P2|=
(1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

?

?

(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算.

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方程
x2 y2 ? ?1 25 9
x2 y2 ? ?1 36 100

a

b

焦点坐 c e 标

长轴 短轴 长 长

4 x 2 ? 20y 2 ? 16

.. 导. 学 固思

方程
x2 y2 ? ?1 25 9
y 2 x2 ? ?1 9 25

a

b

焦点坐 c e 标

实轴 虚轴 长 长

? x2 ? 2 y 2 ? 1

.. 导. 学 固思

方程

2p

p

p 2

焦点 坐标

e

顶点坐 标

x ? 16 y
2

1 y ?? x 8
2

x ? ?8 y
2

1 y ? x 4
2

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例1:椭圆的标准方程及性质
例2 (1)如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且 △AB12 B2 是面积为 4 的直角三角形.则该椭圆的离心率

5 5

,标准方程为

x2

20

+ =1 . 4

y2

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为.过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且 △ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为
x2 16

+ =1.
8

y2

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x2 y2 【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),右焦点为 a b

F2(c,0).因为△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角, 因此|OA|=|OB2|,得 ∴离心率 e= =
1 2 c 2 a 5 c b= . 2

结合 c2=a2-b2,得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2, 5.
c 2
2

在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB 1 B 2 = |B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|= ·b=b . 由题设条件S△AB 1 B 2 =4,得 b2=4,从而 a2=5b2=20.
x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4

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x2 y2 (2)设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0), a b

因为离心率为

2 2 ,所以 = 2 2

b2 b2 1 1- 2 ,解得 2 = ,即 a a 2

a2=2b2.

又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a, 所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,
x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8

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例2 双曲线的焦点弦问题
过双曲线 x
2

y2 - =1 3

的左焦点

π F1,作倾斜角为 的弦 4

AB.

求(1)|AB|;(2)△F2AB 的周长(F2 为双曲线的右焦点).
【解析】由题意知 a=1,b= 3,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又直线 AB 方程为 y=x+2,且 A(x1,y1),B(x2,y2),如图, y = x + 2, 7 2 由 2 y2 得 2x -4x-7=0,∴x1+x2=2,x1x2=- . 2 x - = 1,
3

(1)|AB|= 1 + k 2 · (x1 + x2 ) -4x1 x2 = 2· 22 + 14=6. (2)由双曲线的定义:|AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,两式相加 得:|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10. ∴△F2AB 的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.

2

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例3:抛物线问题
(1)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线

焦点的距离是( B
A.4 B.6

).
C.8 D.12

(2)若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦 点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.

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【解析】(1)抛物线 y =8x 的准线是 x=-2,由条件知点 P 到 y 轴距离 为 4, ∴点 P 的横坐标 xp=4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6. (2)由抛物线定义知焦点坐标为 F(- ,0),准线方程为 x= ,
2 2 p p
2

由题意设 M 到准线的距离为|MN|, 则|MN|=|MF|=10, 即 -(-9)=10,
2 p
2

∴p=2,故抛物线方程为 y =-4x, 2 将 M(-9,y)代入 y =-4x,解得 y=±6, ∴M(-9,6)或 M(-9,-6).

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例1: 直线与椭圆的综合考查

已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的
a b 2

x2 y2

1

短半轴为半径的圆与直线 x-y+ 6=0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求OA·OB的取值范围.
【解析】(1)由题意,知 e= = 又 b=
6 1+1 c 1 a 2

,∴e2=

c 2 a 2 -b 2 1
2=

a

a2

= ,即 a2= b2,
4 3 x2 y2 4 3

4

=

3,∴a2=4,b2=3,故椭圆的方程为

+ =1.

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(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k·(x-4), 联立 y = k(x-4),
x2 4 y2 3

+

= 1,

消去 y,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,
1 4

由 Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,得 k2< . 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
32k 2 4k 2 +3

,x1x2=

64k 2 -12 4k 2 +3

,

∴y1y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2, ∴OA·OB=x1x2+y1y1=(1+k2)· ∵0≤k2< ,∴- ≤4 3 1 87 87 87 4 4k 2 +3 64k 2 -12 4k 2 +3

-4k2·

32k 2

4k 2 +3 4

+16k2=25-

87

4k 2 +3

.

<- ,∴OA·OB∈[-4, ),
13 4

13

∴OA·OB的取值范围是[-4, ).


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